PROBLEMS AND PROSPECTS FOR TEACHING NUMBER THEORY UNDER THE NEW EDUCATIONAL STANDARDS

Образовательная роль математики связана не только с получением математических знаний; это мощнейший фактор познавательного развития и теории чисел, как одному из фундаментальных разделов математики, отводится в этом аспекте немаловажная роль в рамках формирования логического и абстрактного мышления. В условиях цифровизации образования и обновляющихся ФГОС возрастает потребность в усилении математической подготовки учащихся и среди критериев, определяющих направление развития этого процесса, в частности, выделяют развитие алгоритмической культуры, формирование умения работать с абстрактными понятиями, что и отмечается в

Сейчас много говорят об улучшении образования, его реорганизации. Студенты, поступающие в вуз, нацелены на обучение, но в большей степени они ориентированы на то, что их может захватить, что дает очевидную пользу. Изучать то, что им интересно, становится потребностью, а те знания, которые ни личной ценности, ни непосредственной практической значимости не представляют, становятся неактуальны. И это естественно. Довольно продуктивна увлекательная исследовательская учебная деятельность, но во время самостоятельной работы ей отводит время лишь небольшая группа обучающихся. Не потому, что остальные не хотят, а потому, что большинство этого делать не умеет: обучающиеся не имеют необходимых навыков самостоятельной деятельности и тем более опыта. В школе на уроках математики этому не учат. Такому положению вещей есть объективные причины: у учителя чаще всего не хватает времени, нет специальных методических разработок, а запланированная на занятии самостоятельная работа предполагает выполнение обязательного задания репродуктивного характера. Многие школьники сталкиваются с исследовательскими заданиями только при подготовке к олимпиадам и к творческим заданиям единого государственного экзамена, на что обращено внимание в

В свете вышесказанного, одна из главных задач образования — заинтересовать обучающихся, развить потребность в самостоятельной деятельности по приобретению новых знаний и развитию уже имеющихся. Только мотивированная учебно-познавательная деятельность может привести к воспитанию всесторонне развитой личности. Опыт авторов показывает, что познавательный интерес к математическим дисциплинам проявляется прежде всего в ситуации успеха: обучающийся чувствует, что у него что-то получается самостоятельно без помощи преподавателя или с его минимальной помощью. Это происходит только в специально созданных педагогических условиях, в которых студенту удается почувствовать уверенность в своих силах, достичь видимого положительного результата и, таким образом, закрепить эту мотивацию для дальнейшего обучения. Каждый успех дает новое продвижение вперед. Такой шаг становится отправной точкой для перехода к более сложным заданиям. Задачи должны быть трудными, но посильными, то есть соответствовать уровню возможностей студента и заставлять думать. Присутствие обратной связи, когда происходит признание преподавателем достижений, также обязательная характеристика ситуации успеха.

Хорошим мотивирующим потенциалом обладает материал с доступным прикладным значением. Далеко не всякие математические понятия можно проиллюстрировать на практических примерах прикладного характера. При подборе задачного материала, примеров, иллюстрирующих те или иные понятия, желательно находить образцы с полезным практическим опытом, и чтобы контроль нес развивающую функцию, привлекать задания в новой, измененной форме, или в новой ситуации. Такой подход будет иметь мотивирующий эффект, обеспечивающий познавательный интерес обучающихся через реализацию деятельностного подхода, на что обращено внимание в

Теория чисел является одним из ключевых разделов математики, который входит в программу как в школе, так и в вузе и способствует развитию основных компетенций, зарождению интереса к математической деятельности. Изучая свойства целых чисел и их взаимосвязи, этот раздел учит строгим доказательствам, по сути, формируя математическую культуру. Задачи на делимость, логика простых чисел, применение теории сравнений развивают аналитические навыки. В то же время это подготовка к современным технологиям. Школа дает базовый уровень: делимость чисел, наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), алгоритм Евклида, простые и составные числа, основы теории сравнений

Например, уже в среднем звене школы рассматривается разложение целых чисел на простые множители, которое потом используется для поиска НОД и НОК. В вузе формулируется и доказывается теорема о том, что любое целое положительное число, отличное от 1, представимо в виде произведения положительных простых чисел, и отмечается, что это представление единственно с точностью до порядка сомножителей. Это уже другой уровень осознания материала. Здесь важно использовать эту информацию для развития практических навыков. Для закрепления и проверки понимания материала, можно использовать задачи, заключающиеся в решении в целых числах следующих уравнений (диофантовы уравнения):

1. x2-py2=0, p — простое число.

Перейдем к записи: x2=py2. Данное уравнение целых ненулевых решений не имеет, так как наивысшая степень, с которой простое число p входит в левую часть — четна, а в правую — нечетна.

2. xy=p(x+y), p — простое число.

Рассмотрим равносильное уравнение: (x-p)(y-p)=p2. Приравнивая (x-p), (y-p) возможным делителям числа p2, произведение которых равно p2, найдем множество решений уравнения:

{(0, 0); (2p, 2p); (p+1,p+p2); (p+p2,p-1); (p-1,p-p2); (p-p2,p-1)}.

Обращая внимание на актуальность этих навыков, можно отметить, что разложение на простые множители, а точнее сложность этого процесса для произведения двух больших простых чисел, изучение алгоритма Евклида, решета Эратосфена, функции Эйлера, и т.д. лежат в основе алгоритмов RSA и генерации ключей. Такая связь исторических явлений и современных прикладных приложений показывает, что спустя столетия чистая абстракция становится прикладной. Китайская теорема об остатках, решающая системы сравнений, ускоряет расшифрование RSA; малая теорема Ферма и ее обобщение Эйлером стали базой проверки чисел на простоту, именно модулярная арифметика Гаусса позволяет работать с числами, записи которых представлены сотнями цифр.

Вуз предполагает углубленное, основательное изучение излагаемых фактов. По сути, в школе теория чисел вводится фрагментарно, а в вузе идет систематизация и переход к высоко абстрактным темам. Определяя возможные практические приложения (шифровка данных в интернете, примеры из программирования), ссылки на олимпиадные задачи, привлечение исторического контекста способствует выработке мотивации дальнейшего изучения дисциплины. Этому содействует и осознание преемственности: задачи по теории чисел решаются в школе, что отмечено в

Кроме этого, теория чисел имеет богатую историю преподавания, которая развивалась параллельно с её научным становлением. Из отдельных арифметических задач она вошла в современную математику полноправной фундаментальной дисциплиной. Преподавание элементов теории чисел в разное время представляло собой сначала чтение узкоспециализированных курсов, потом в составе других дисциплин, и, в результате, овладение ее основами вошло в обязательную школьную программу и стало частью математической подготовки в вузе. Приложения в науке и новых технологиях делают ее востребованной. Наличие исторических задач (например, проблема факторизации больших чисел) может стать основой для повышения мотивации изучения и осознания практической важности дисциплины, применения проблемного обучения.

Хотя теоретико-числовые знания легли в основу многих практических приложений, по-прежнему, особо значимой остается их роль в развитии математического мышления через выработку ключевых компетенций, таких как, математическое моделирование, анализ, рассуждения и аргументация, разработка стратегий решения и т.д. Решение нестандартных задач, работа с простыми числам, подключение теории сравнений, составление и решение диофантовых уравнений — это все можно отнести к инструментам, способствующим формированию исследовательских навыков. Множество нерешенных проблем, исторические задачи также дают стимул роста навыков научного поиска.

Педагогический потенциал теоретико-числовой линии в обучении математики несомненен. Однако его реализация затрудняется рядом объективных причин, среди которых, прежде всего дефицит аудиторного времени, отводимого на изучение дисциплины, а также снижение объема часов самостоятельной работы. Многие понятия, изучаемые в курсе, высоко абстрактные, слабо связаны с очевидными приложениями, это затрудняет их изучение и, как следствие, ведет к снижению мотивации со стороны обучающихся.

Определяя перспективы роли теории чисел при обучении математическим дисциплинам, можно выделить ее интеграцию с современными IT-технологиями, криптографией. С точки зрения модернизации методов преподавания, актуальным является усиление исследовательской деятельности через решение заданий творческого уровня единого государственного экзамена по математике, олимпиадных задач школьного и вузовского уровня, создание программ (практикумы на Python)

Таким образом, в условиях развития цифровых технологий в обучении, теория чисел остается важной составляющей математической подготовки выпускника технического вуза. Новые ФГОС направлены на обновление и совершенствование технологий преподавания, включающих расширение прикладной направленности и соответствующую подготовку преподавателей. Это значит, что теория чисел сохраняет свой статус актуальной дисциплины и органично вливается в процесс обновления в сфере образования.