ON THE V-FUNCTION METHOD AND PROBLEMS IN TRAJECTORY-WAVE DYNAMICS
ON THE V-FUNCTION METHOD AND PROBLEMS IN TRAJECTORY-WAVE DYNAMICS
Abstract
A V-function method has been developed that makes it possible to study the trajectory and wave motion of an object in a continuous manner. The V-function method consists of a local variational principle, fundamental theorems, and a new formulation of the direct and inverse problems of dynamics. As an example, the motion of an object (an electron) in the stationary Coulomb field of a hydrogen-like atom, one of the well-known test objects of quantum theory, is examined, as well as that of a linear harmonic oscillator. The energy quantisation law for the harmonic oscillator and the hydrogen-like atom has been derived. It is shown that the energy levels of the hydrogen-like atom coincide completely with the classical results of quantum physics. A mathematical framework has been developed for modelling the trajectory-wave motion of a quantum object.
1. Введение
Все интегральные и дифференциальные вариационные принципы в конечном итоге задают нам дифференциальные уравнения движения механической системы, решая которые мы получаем траекторию движения системы. Но, как известно, свет, квантовые объекты одновременно проявляют траекторные и волновые свойства , . Так свет в одних опытах ведет себя как волна, в других опытах как частица, это свойство света закрепляется в физической науке как корпускулярно-волновой дуализм. Поэтому напрашивается математическая модель, охватывающая одновременно и траекторные и волновые измерения реальности. Такая модель была разработана с помощью метода V-функции , , который позволяет одновременно учитывать и волновые и траекторные свойства физического объекта (частицы) , .
Предлагаемая модель разрабатывается, используя локальный вариационный принцип и новую постановку прямой и обратной задачи динамики к описанию траекторного и волнового поведения любого объекта.
Целью данной работы является раскрытие достаточного условия существования V-функции. И в качестве примера рассматривается движение объекта (электрона) в стационарном кулоновском поле водородоподобного атома, одного из известных тестовых объектов квантовой теории, а также для линейного гармонического осциллятора.
2. Метод V-функции
Метод V-функции состоит из локального вариационного принципа, базовых теорем, новой постановки прямой и обратной задачи динамики. Введем
Будем говорить, что уравнения (1), описывающие динамическую систему, определяют состояние исследуемого объекта.
Теперь введем некоторую функцию
в силу системы (1).
Рассмотрим изохронную вариацию быстроты изменения волновой функции
где
При вариации быстроты изменения волновой функции объект из некоторого состояния переходит в новое состояние. Такой переход назовем волновым переходом объекта в новое состояние. Величину назовем возможным волновым переходом из исходного состояния в новое состояние. В то время как
Сформулируем теперь локальный вариационный принцип (ЛВП):
Из всех возможных переходов в новое состояние осуществляется тот, при котором в каждый момент времени быстрота изменения волновой функции V(x,t) принимает стационарное значение
Введем в рассмотрение полную вариацию от быстроты изменения волновой функции:
где
Пусть волновая функция (V-функция) есть дважды дифференцируемая по своим аргументам функция, удовлетворяющая уравнению:
Теорема 1. Если осуществлен волновой переход в новое состояние, то существует V-функция, удовлетворяющая условию:
Пусть осуществлен волновой переход динамической системы (1) в новое состояние, и V-функция удовлетворяет уравнению (4), которое в векторно-матричном представлении имеет вид:
Распишем теперь выражение (3):
Так как волновой переход осуществлен, то выполняется
Тогда (7) примет вид:
Рассмотрим следующее равенство:
Равенство (10) имеет место за счет выполнения (2) и (6).
Распишем (10) с учетом (8)
Тогда из (9) и (11) следует, что
Теорема 2 . Движение объекта (1) происходит так, что в каждый момент времени вектор фазовой скорости сонаправлен с градиентом волновой функции т.е.
Прямую задачу динамики можно поставить в следующем виде:
Заданы дифференциальные уравнения, описывающие траекторию движения объекта (1).
Требуется определить волновую функцию V(x,t), удовлетворяющей уравнению (6)
Начальные и граничные условия для (6) определяются из теорем I, II и из условия связанности волновой функции V(x,t) с траекторией движения объекта (1). Так из условия связанности волны и траектории следует, что амплитуда волны V(x,t) равна нулю в точке нахождения объекта (частицы) (с координатой x=xM в момент времени t).
Из теорем I и II следуют два других условия. Из условия теоремы I
с учетом того, что
следует равенство:
Отсюда получаем:
Тогда второе начальное условие для уравнения (6) будет иметь вид:
Из условия (12) теоремы II следует:
Отсюда получается второе краевое условие:
Обратная задача динамики на базе метода V-функции ставится следующим образом:
Для заданной волновой функции V(x,t), удовлетворяющей уравнению (6), требуется определить траекторию движения объекта (1).
Используя (16) и (20) можно показать, что выполняется
Действительно,
К тому же, если выполняется условие
где
3. Решения задач динамики в новой постановке
Из формулировки локального вариационного принципа (ЛВП) и новой постановки прямой и обратной задачи динамики следует, что траекторное движение объекта (1), сопряжено волновым движением, удовлетворяющим уравнению (24).
Уравнение (24) следует рассматривать с граничными и начальными условиями для волны и траектории объекта (13), (14), (19) и (21).
Рассмотрим линейный гармонический осциллятор и движение объекта (электрона) в водородоподобном атоме. В первом случае уравнение траекторного движения объекта (частицы)
допускает первый интеграл
Отсюда получаем выражение для квадрата скорости частицы вида
Подставив (26) в уравнение (24) (n=1), получим:
Волновая функция V(x,t) ищется в виде
Начальные условия для функции
Как видно из уравнения (29) решение
Данные значения получены аналитически с помощью системы компьютерной математики Maple
и в виде ряда
С учетом результатов оптико-механической аналогии ,
Значит в случае, когда траекторное движение объекта непосредственно связано с волновым движением, энергия гармонического осциллятора может принять только определенные дискретные значения:
Как известно, Шредингер получил правило квантования энергии для гармонического осциллятора в виде
В случае движения электрона в водородоподобном атоме уравнения (1) и (24) можно также свести к одному уравнению
где
где
В уравнении (32) перейдем к сферической системе координат, применим также метод разделения переменных
Если в (33) сделать замену
где
Полученное уравнение (34) при l=0 решается с помощью степенного ряда. Учитывая асимптотическое решение уравнения (34)
где
Рассмотрим решение уравнения (35) в виде следующего степенного ряда
Так как равенство (36) должно выполняться при всех степенях
Ряд
где С – постоянная.
Равенство
Отметим, что энергия n-го состояния водорoдоподобного атома в точности совпадает с решением, полученным Бором на основе своей модели или Шредингерем на основе своего стационарного уравнения . Отметим что, квантованность энергии n-го состояния электрона (39) получена исходя из условий, вытекающих из метода V-функции, то есть в результате моделирования траекторно-волнового движения электрона в водородоподобном атоме.
4. Результаты и обсуждение
Таким образом, с помощью метода V-функции зaложены основы траекторно-волновой динамики, возможности которой показаны на конкретных примерах моделирования движения физических объектов.
При моделировании движения электрона в кулоновском поле, разработанный метод V-функции позволяет установить правило квантования энергии водородоподобного атома (39), которое полностью совпадает с классическими результатами Шредингера и Бора. При этом дискретность энергии возникает из удовлетворения условий, вытекающих из метода V-функции.
Отметим, что в настоящей работе используется подход к познанию природы частицы и её проявлений, исходя не из возможностей существующих методов измерения, а из признания его единой физической природы, которая содержит в себе без противоречий свою волновую сущность и корпускулярный (траекторный) способ существования . Мы считаем, что предлагаемая в настоящей работе теория позволит пролить новый свет на фундаментальные основы теоретической физики.
5. Заключение
В проведенных исследованиях разработан единый подход для моделирования траекторно-волнового движения объекта на базе метода V-функции, состоящей из локального вариационного принципа, базовых теорем и новой постановки прямой и обратной задачи динамики. Волновое движение и траекторный способ существования частицы для гармонического осциллятора и водородоподобного атома рассмотрены соответственно на базе полученных уравнений (27) и (31). В результате решения уравнений (27), (31) получены правила квантования энергии гармонического осциллятора и водородоподобного атома, которые не противоречат ранее полученным результатам Шредингера и Бора. Результаты решенных узловых задач можно рассматривать как успешная проверка предлагаемой теории.