1. Введение

Все интегральные и дифференциальные вариационные принципы [1] в конечном итоге задают нам дифференциальные уравнения движения механической системы, решая которые мы получаем траекторию движения системы. Но, как известно, свет, квантовые объекты одновременно проявляют траекторные и волновые свойства [2], [3]. Так свет в одних опытах ведет себя как волна, в других опытах как частица, это свойство света закрепляется в физической науке как корпускулярно-волновой дуализм. Поэтому напрашивается математическая модель, охватывающая одновременно и траекторные и волновые измерения реальности. Такая модель была разработана с помощью метода V-функции [4], [5], который позволяет одновременно учитывать и волновые и траекторные свойства физического объекта (частицы) [6], [7].

Предлагаемая модель разрабатывается, используя локальный вариационный принцип и новую постановку прямой и обратной задачи динамики к описанию траекторного и волнового поведения любого объекта.

Целью данной работы является раскрытие достаточного условия существования V-функции. И в качестве примера рассматривается движение объекта (электрона) в стационарном кулоновском поле водородоподобного атома, одного из известных тестовых объектов квантовой теории, а также для линейного гармонического осциллятора.

2. Метод V-функции

Метод V-функции состоит из локального вариационного принципа, базовых теорем, новой постановки прямой и обратной задачи динамики. Введем [LATEX_FORMULA]$x(t)=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)^T$[/LATEX_FORMULA] — вектор фазовых координат, [LATEX_FORMULA]$x \in R^n$[/LATEX_FORMULA] , где [LATEX_FORMULA]R^n[/LATEX_FORMULA] — n-мерное евклидово пространство и время [LATEX_FORMULA]$t \in T$[/LATEX_FORMULA] где T — интервал времени. Рассмотрим некоторую систему дифференциальных уравнений:

Будем говорить, что уравнения (1), описывающие динамическую систему, определяют состояние исследуемого объекта.

Теперь введем некоторую функцию [LATEX_FORMULA]V=V(x,t) $(x \in R^n, t \in T)$[/LATEX_FORMULA], которую будем называть волновой функцией или V-функцией и ее быстроту (скорость) изменения

[LATEX_FORMULA]$\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V^T}{\partial x} f$[/LATEX_FORMULA]

в силу системы (1).

Рассмотрим изохронную вариацию быстроты изменения волновой функции

где

При вариации быстроты изменения волновой функции объект из некоторого состояния переходит в новое состояние. Такой переход назовем волновым переходом объекта в новое состояние. Величину назовем возможным волновым переходом из исходного состояния в новое состояние. В то время как [LATEX_FORMULA]$\delta x$[/LATEX_FORMULA]определяет траекторные вариации.

Сформулируем теперь локальный вариационный принцип (ЛВП):

Из всех возможных переходов в новое состояние осуществляется тот, при котором в каждый момент времени быстрота изменения волновой функции V(x,t) принимает стационарное значение

Введем в рассмотрение полную вариацию от быстроты изменения волновой функции:

где

Пусть волновая функция (V-функция) есть дважды дифференцируемая по своим аргументам функция, удовлетворяющая уравнению:

[LATEX_FORMULA]f_i(x)[/LATEX_FORMULA] — компоненты n-мерной вектор-функции правых частей уравнений движения динамической системы (1).

Теорема 1. Если осуществлен волновой переход в новое состояние, то существует V-функция, удовлетворяющая условию:

Пусть осуществлен волновой переход динамической системы (1) в новое состояние, и V-функция удовлетворяет уравнению (4), которое в векторно-матричном представлении имеет вид:

Распишем теперь выражение (3):

Так как волновой переход осуществлен, то выполняется

Тогда (7) примет вид:

Рассмотрим следующее равенство:

Равенство (10) имеет место за счет выполнения (2) и (6).

Распишем (10) с учетом (8)

Тогда из (9) и (11) следует, что

Теорема 2 [6]. Движение объекта (1) происходит так, что в каждый момент времени вектор фазовой скорости сонаправлен с градиентом волновой функции т.е.

Прямую задачу динамики можно поставить в следующем виде:

Заданы дифференциальные уравнения, описывающие траекторию движения объекта (1).

Требуется определить волновую функцию V(x,t), удовлетворяющей уравнению (6)

Начальные и граничные условия для (6) определяются из теорем I, II и из условия связанности волновой функции V(x,t) с траекторией движения объекта (1). Так из условия связанности волны и траектории следует, что амплитуда волны V(x,t) равна нулю в точке нахождения объекта (частицы) (с координатой x=xM в момент времени t).

Из теорем I и II следуют два других условия. Из условия теоремы I

с учетом того, что

следует равенство:

Отсюда получаем:

Тогда второе начальное условие для уравнения (6) будет иметь вид:

Из условия (12) теоремы II следует:

Отсюда получается второе краевое условие:

Обратная задача динамики на базе метода V-функции ставится следующим образом:

Для заданной волновой функции V(x,t), удовлетворяющей уравнению (6), требуется определить траекторию движения объекта (1).

Используя (16) и (20) можно показать, что выполняется

Действительно, [LATEX_FORMULA]$\frac{\partial V^T}{\partial x} \frac{d}{d t} \dot{x}=k_2 \dot{x}^T \frac{d}{d t} \dot{x}=\frac{k_2}{2} \frac{d}{d t}\left(\dot{x}^T \dot{x}\right)=\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial V^T}{\partial x} \dot{x}\right)=0$.[/LATEX_FORMULA] В результате уравнение (6) с учетом (22) принимает вид

К тому же, если выполняется условие [LATEX_FORMULA]$\dot{x}_j=\lambda_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial x_j}(i, j=\overline{1, n})$[/LATEX_FORMULA], тогда уравнение (23) принимает вид:

где [LATEX_FORMULA]$\vartheta^2=\sum_{i=1}^n \dot{x}_i^2=\dot{x}^T \dot{x}$ [/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]$\Delta=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$.[/LATEX_FORMULA]

3. Решения задач динамики в новой постановке

Из формулировки локального вариационного принципа (ЛВП) и новой постановки прямой и обратной задачи динамики следует, что траекторное движение объекта (1), сопряжено волновым движением, удовлетворяющим уравнению (24).

Уравнение (24) следует рассматривать с граничными и начальными условиями для волны и траектории объекта (13), (14), (19) и (21).

Рассмотрим линейный гармонический осциллятор и движение объекта (электрона) в водородоподобном атоме. В первом случае уравнение траекторного движения объекта (частицы)

допускает первый интеграл [LATEX_FORMULA]$\frac{m \dot{x}^2}{2}+\frac{k x^2}{2}=E$.[/LATEX_FORMULA]

Отсюда получаем выражение для квадрата скорости частицы вида

Подставив (26) в уравнение (24) (n=1), получим:

Волновая функция V(x,t) ищется в виде [LATEX_FORMULA]$V(x, t)=\psi(x) \varphi(t)$[/LATEX_FORMULA]. В результате из уравнения (27) получим следующее стационарное уравнение:

Начальные условия для функции [LATEX_FORMULA]\psi(x)[/LATEX_FORMULA] и, получаются в виде:

Как видно из уравнения (29) решение [LATEX_FORMULA]\psi(x)[/LATEX_FORMULA], должно удовлетворять естественному условию, [LATEX_FORMULA]$\psi\left(x=\sqrt{\frac{2 E}{k}}\right)=0$.[/LATEX_FORMULA] Выполнение этого условия возможно лишь при конкретных значениях собственных частот уравнения (28).

Данные значения получены аналитически с помощью системы компьютерной математики Maple

[LATEX_FORMULA]$\psi(x)=\frac{1}{E} C_1 x\left(E-\frac{k x^2}{2}\right)$ hypergeom $\left(\left[\frac{5}{4}+\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4 m \omega^2}{k}+1}\right],\left[\frac{5}{4}-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4 m \omega^2}{k}+1}\right],\left[\frac{3}{2}\right], \frac{k x^2}{E}\right)$.[/LATEX_FORMULA]

и в виде ряда

С учетом результатов оптико-механической аналогии [4], [6] [LATEX_FORMULA]$2 E=\hbar \omega$[/LATEX_FORMULA], мы получаем правило квантования энергии гармонического осциллятора в следующем виде

Значит в случае, когда траекторное движение объекта непосредственно связано с волновым движением, энергия гармонического осциллятора может принять только определенные дискретные значения:

Как известно, Шредингер получил правило квантования энергии для гармонического осциллятора в виде [LATEX_FORMULA]$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_0$.[/LATEX_FORMULA] Если эти результаты подставить в равенство (46) мы будем иметь [LATEX_FORMULA]$\left(\left(n+2+\frac{1}{2}\right)^2-2\left(n+1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\right) \hbar^2 \omega_0^2=2 \hbar^2 \omega_0^2$,[/LATEX_FORMULA] т.е. получаем тождество.

В случае движения электрона в водородоподобном атоме уравнения (1) и (24) можно также свести к одному уравнению [8]

где [LATEX_FORMULA]$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$[/LATEX_FORMULA] — оператор Лапласа, m - масса объекта (частицы), E — полная энергия объекта (частицы), [LATEX_FORMULA]$U(r)=-Z e^2 / r$[/LATEX_FORMULA] — потенциальная энергия водородоподобного атома. Применив метод разделения переменных к уравнению (31) [LATEX_FORMULA]$(V=X(x, y, z) T(t))$,[/LATEX_FORMULA] получим следующее стационарное уравнение

где [LATEX_FORMULA]$\beta_0^2=-\frac{2 E}{m}, \alpha=\frac{2 Z e^2}{m}$.[/LATEX_FORMULA]

В уравнении (32) перейдем к сферической системе координат, применим также метод разделения переменных [LATEX_FORMULA]$(X=R \Phi \Theta)$[/LATEX_FORMULA] и рассмотрим уравнение для радиальной составляющей:

Если в (33) сделать замену [LATEX_FORMULA]$R=u / r$,[/LATEX_FORMULA] то получим

где

Полученное уравнение (34) при l=0 решается с помощью степенного ряда. Учитывая асимптотическое решение уравнения (34) [LATEX_FORMULA]$(r \rightarrow \infty)$,[/LATEX_FORMULA] можно искать частное решение в виде [LATEX_FORMULA]$u=e^{k_0 r} f(r)$.[/LATEX_FORMULA] Подставив его в (34) при l=0, получим следующие уравнения:

где [LATEX_FORMULA]$\beta_1=\mathrm{k}_0^2 \alpha / \beta_0^2=\frac{1}{2} \mathrm{Ze}^2 \omega^2 \mathrm{~m}_{\mathrm{e}} / \mathrm{E}^2$[/LATEX_FORMULA].

Рассмотрим решение уравнения (35) в виде следующего степенного ряда [LATEX_FORMULA]$f(r)=\sum_{m=0}^{\infty} a_m\left(r_0-r\right)^m$.[/LATEX_FORMULA] После подстановки этого решения в уравнение (35), оно принимает вид

Так как равенство (36) должно выполняться при всех степенях [LATEX_FORMULA]$\left(r_0-r\right)$,[/LATEX_FORMULA] поэтому [LATEX_FORMULA]$a_0=0$,[/LATEX_FORMULA] а коэффициенты [LATEX_FORMULA]a_{(n+1)}[/LATEX_FORMULA] удовлетворяют рекуррентному соотношению

Ряд [LATEX_FORMULA]$f(r)=\sum_{m=1}^{\infty} a_m\left(r_0-r\right)^m$[/LATEX_FORMULA] обрывается, т.е. [LATEX_FORMULA]a_m=0[/LATEX_FORMULA] при [LATEX_FORMULA]$m \geq n+1$,[/LATEX_FORMULA] при условии [LATEX_FORMULA]$\beta_1=2 k_0 n$,[/LATEX_FORMULA] что приводит к следующему решению

где С – постоянная.

Равенство [LATEX_FORMULA]$\beta_1=2 k_0 n$,[/LATEX_FORMULA] с учетом [LATEX_FORMULA]$k_0^2=-\frac{\omega^2 m}{2 E}$[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]$\beta_1=\frac{1}{2} Z e^2 \omega^2 m_e / E^2$[/LATEX_FORMULA] приводится к виду [LATEX_FORMULA]$E^3 / \omega^2=-\frac{1}{8} Z^2 e^4 m_e / n^2$[/LATEX_FORMULA]. Отсюда, учитывая связь частоты и энергии [LATEX_FORMULA]$2 E=\hbar \omega$[/LATEX_FORMULA], который вытекает из оптико-механической аналогии [4], [6], находим значение энергии n-го состояния электрона

Отметим, что энергия n-го состояния водорoдоподобного атома в точности совпадает с решением, полученным Бором на основе своей модели [11] или Шредингерем на основе своего стационарного уравнения [10]. Отметим что, квантованность энергии n-го состояния электрона (39) получена исходя из условий, вытекающих из метода V-функции, то есть в результате моделирования траекторно-волнового движения электрона в водородоподобном атоме.

4. Результаты и обсуждение

Таким образом, с помощью метода V-функции зaложены основы траекторно-волновой динамики, возможности которой показаны на конкретных примерах моделирования движения физических объектов.

При моделировании движения электрона в кулоновском поле, разработанный метод V-функции позволяет установить правило квантования энергии водородоподобного атома (39), которое полностью совпадает с классическими результатами Шредингера и Бора. При этом дискретность энергии возникает из удовлетворения условий, вытекающих из метода V-функции.

Отметим, что в настоящей работе используется подход к познанию природы частицы и её проявлений, исходя не из возможностей существующих методов измерения, а из признания его единой физической природы, которая содержит в себе без противоречий свою волновую сущность и корпускулярный (траекторный) способ существования [9]. Мы считаем, что предлагаемая в настоящей работе теория позволит пролить новый свет на фундаментальные основы теоретической физики.

5. Заключение

В проведенных исследованиях разработан единый подход для моделирования траекторно-волнового движения объекта на базе метода V-функции, состоящей из локального вариационного принципа, базовых теорем и новой постановки прямой и обратной задачи динамики. Волновое движение и траекторный способ существования частицы для гармонического осциллятора и водородоподобного атома рассмотрены соответственно на базе полученных уравнений (27) и (31). В результате решения уравнений (27), (31) получены правила квантования энергии гармонического осциллятора и водородоподобного атома, которые не противоречат ранее полученным результатам Шредингера и Бора. Результаты решенных узловых задач можно рассматривать как успешная проверка предлагаемой теории.

The additional file for this article can be found as follows: