Evaluation of the parameters of Cosserat linear isotropic medium using boundary value problems with known classical stiffnesses

Материалы с хорошо выраженной микро- или макроструктурой, очень часто могут проявлять свойства, которые плохо описываются классической теорией упругости. К таким эффектам можно отнести локальные повороты частиц материала, моментные напряжения или же масштабные эффекты для интегральных характеристик образцов. Наиболее естественным будет использование среды Коссера (или же микрополярной среды) для описания подобных явлений. В ней на ряду с полем перемещений учитывается также поле микроповоротов, что позволяет хорошо описывать не только обобщенное поведение материала, но и локальные эффекты, возникающие от взаимодействия его частиц

Значительный интерес к микрополярной среде в современной науке, обусловлен необходимостью создания корректных математических моделей для ячеистых материалов, композитов, пен, трещиноватых горных пород и гранулированных сред. Так, в работах Z. Rueger и R.S. Lakes

В отечественной науке также активно ведутся исследования в данной области. Рассматриваются как общие постановки для среды Коссера, так и ее использование, применительно к стержневым и континуальным моделям среды. Так, в статье

Несмотря на значительное количество теоретических исследований, задача определения констант среды Коссера все еще является наиболее актуальной, ввиду ее значительной трудоемкости. Как было отмечено в обзорной статье S. Hassanpour и G.R. Heppler

В данной работе рассматривается аналитический подход к оценке констант среды Коссера, который основан на решении краевых задач с известными классическими жесткостями. Фактически, определяется допустимая область значений, которые могут принимать постоянные микрополярной среды (α, β, γ, κ). В статье рассматриваются три задачи: кручение прямоугольного бруса, антикластический и синкластический изгиб тонкой круглой пластины. Такой выбор краевых задач напрямую связан с тем, что они рассматривают различные типы деформационного состояния и структуру тензора кривизны среды Коссера. Так, задача кручения описывает сдвиговые деформации и позволяет оценить вклад антисимметричной части, а также связанных с ней моментных эффектов (что соответствует комбинации (κ, 2α+γ)). Изгибные задачи чувствительны к параметру κ и моментным постоянным α и β. Однако в общем случае, эти постоянные входят в энергетические выражения в виде связанных комбинаций. Следовательно, для их разделения необходимо использовать постановки с различной структурой тензора кривизны. Антикластический и синкластический изгиб являются частными случаями деформации изгиба с разной структурой ненулевых компонент тензора кривизны. Тем самым они позволяют выделить более простые комбинации: (κ, α) и (κ, β), соответственно. Таким образом, выбранные задачи образуют минимальный необходимый набор постановок для построения замкнутой системы аналитических ограничений на постоянные среды Коссера.

Целью исследования является вывод аналитических вилок для констант среды Коссера через краевые задачи с известными классическими жесткостями. Для достижения цели формируются соответствующие постановки, через которые определяются верхние и нижние оценки жесткости системы, после чего выполняется их сопоставление с эталонными классическими жесткостями систем. Из систем неравенств определяются итоговые вилки для параметров α, β, γ, κ.

2.1. Основные математические соотношения модели среды

В статье рассматривается линейная изотропная среда Коссера в трехмерной постановке. Ее кинематическое состояние описывается через вектор перемещений (1) и вектор микроповоротов (2).

Симметричная и антисимметричная части вектора компонент тензора деформаций, а также вектор компонент тензора кривизны записываются в виде (3-5).

Геометрические соотношения записываются в виде (6–8)

где A1, A2, A3 – матрицы дифференцирования (9-11)

Симметричная и антисимметричная части вектора компонент тензора напряжений, а также вектор компонент тензора моментных напряжений записываются в виде (12-14)

Уравнения равновесия записываются в виде (15, 16).

где K, e — векторы объемных сил и объемных моментов соответственно. Во всех задачах, рассмотренных в работе, исследовались постановки при K = 0, e = 0.

Физические соотношения можно записать в виде (17–19)

Где D — классическая матрица упругих констант Ламе; B – матрица, характеризующая связь антисимметричной части деформаций с антисимметричной частью напряжений через постоянную κ; С — матрица, содержащая дополнительные постоянные среды Коссера α, β, γ.

Плотность потенциальной энергии определяется по формуле (20).

Через напряжения плотность потенциальной энергии записывается в виде выражения (21).

2.2. Принцип построения аналитических вилок для постоянных среды Коссера

Для рассматриваемых в работе задач строятся две оценки жесткости системы. Верхняя оценка определяется через вариационный принцип Лагранжа, на основе выбранного кинематически допустимого анзаца. Для этого задается некоторое поле перемещений и микроповоротов, которое удовлетворяет выбранным кинематическим граничным условиям задачи. Из геометрических соотношений, определяются векторы деформаций εS, εA, æ. Далее определяется плотность потенциальной энергии W. После интегрирования по объему тела, определяется полная потенциальная энергия Π. При наличии в анзаце некоторого внутреннего параметра, по нему выполняется минимизация потенциальной энергии. Из минимума потенциальной энергии Π определяется верхняя оценка жесткости для рассматриваемой задачи.

Нижняя оценка жесткости системы определяется при помощи вариационного принципа Кастильяно, для чего выбирается некоторый статически допустимый анзац, включающий в себя σS, σA, M. Выбранный анзац должен удовлетворять уравнениям равновесия, а также силовым и моментным условиям на границах. После проверки статической допустимости, определяется плотность потенциальной энергии W*, а после ее интегрирования по объему — потенциальная энергия Π*. Через обобщенную силовую или моментную реакцию, определяется связь между выбранными параметрами анзаца и некоторой интегральной характеристикой нагружения. После минимизации Π*, определяется нижняя оценка жесткости системы.

Таким образом, для каждой задачи может быть получена аналитическая вилка оценки жесткости системы. Так как в работе рассматриваются задачи, для которых известны жесткости из классической теории упругости, общий вид вилки можно записать в виде (22).

где Kэталон — жесткость рассматриваемой системы из классической теории упругости.

Благодаря такому сопоставлению появляется возможность получить систему ограничений на постоянные среды Коссера.

Подход, который используется в статье, опирается на тот факт, что классическая эталонная жесткость имеет ясный механический смысл и известна независимо от дополнительных постоянных среды Коссера. Благодаря этому, отклонение жесткости системы в микрополярной постановке, от эталонного значения, позволяет определить диапазоны возможных значений, которые могут принимать постоянные микрополярной среды.

3.1. Кручение бруса

В задаче рассматривается прямоугольный параллелепипед Ω = {(x1, x2, x3): -a ≤ x1 ≤ a, -b ≤ x2 ≤ b, -c ≤ x3 ≤ c}. Принята ортогональная система координат (x1, x2, x3), кручение происходит вокруг оси x1.

Эталонная классическая жесткость для такой задачи кручения определяется по формуле (23)

где μ — модуль сдвига.

В качестве кинематических граничных условий принято поле перемещений, которое соответствует кручению с некоторой интенсивностью θ: u1 = 0, u2 = -θ⋅x1⋅x3, u3 = θ⋅x1⋅x2 на dΩ. Для микроповоротов принимается условие свободной поверхности по граням.

Для верхней оценки принимается кинематически допустимый анзац (24).

где θ — заданная интенсивность кручения; q — внутренний параметр анзаца.

По выбранной методике вычисляется верхняя оценка крутильной жесткости (25).

Для нижней оценки принимается статически допустимый анзац (24).

где s, l — параметры статически допустимого анзаца.

По выбранной методике определяется нижняя оценка крутильной жесткости (27).

3.2. Антикластический изгиб тонкой круглой пластины

В задаче рассматривается тонкая круглая пластина с радиусом R и толщиной h Ω = {(x1, x2, x3): x12 + x22 ≤ R, -h/2 ≤ x3 ≤ h/2}. Для системы принимается ортогональная система координат (x1, x2, x3), где x1, x2 — лежат в плоскости пластины, x3 — перпендикулярная плоскости пластины.

Эталонная классическая жесткость для такой задачи кручения определяется по формуле (28)

В качестве кинематических граничных условий принимается поле перемещений, которое соответствует антикластическому изгибу с некоторой интенсивностью θ: u1=-2⋅θ⋅x2⋅x3, u2=-2⋅θ⋅x1⋅x3, u3=2⋅θ⋅x1⋅x2 на dΩ. Для микроповоротов принимается условие свободной поверхности по всем граням.

Для получения верхней оценки выбирается кинематически допустимый анзац (29).

где θ — заданная интенсивность антикластического изгиба; q – внутренний параметр анзаца.

По выбранной методике вычисляется верхняя оценка жесткости системы (30).

Для вычисления нижней оценки принимается статически допустимый анзац (31).

где s, l — параметры статически допустимого анзаца; r2 = x12 + x22.

Нижняя граница для жесткости системы может быть записана в виде выражения (32).

3.3. Синкластический изгиб тонкой круглой пластины

В задаче также рассматривается тонкая круглая пластина с радиусом R и толщиной h Ω = {(x1, x2, x3): x12 + x22 ≤ R, -h/2 ≤ x3 ≤ h/2}. Система координат аналогична предыдущей задаче.

Эталонная классическая жесткость для синкластического изгиба определяется выражением (33)

В качестве кинематических граничных условий используется поле перемещений, которое соответствует осесимметричному синкластическому изгибу с некоторой интенсивностью θ: u1=-2⋅θ⋅x1⋅x3, u2=-2⋅θ⋅x2⋅x3, u3=θ⋅(x12 + x22) на dΩ. Для микроповоротов принимается условие свободной поверхности по всем граням.

Для получения верхней части вилки, принимается кинематически допустимый анзац (34).

где θ — заданная интенсивность синкластического изгиба; q – внутренний параметр анзаца.

По используемой методике вычисляется итоговая верхняя оценка жесткости (35).

Для получения нижней части вилки, принимается статически допустимый анзац (36).

где s, l — параметры статически допустимого анзаца.

Нижняя оценка жесткости, вычисленная по используемой методике, записана в виде выражения (37).

3.4. Итоговые аналитические вилки для констант среды Коссера

Для оценки κ используются вилки 1-3 задач. На их основе формируется ряд ограничений, которые задают его нижнюю границу (38).

В рамках рассмотренных задач, получить аналитическую верхнюю границу для κ невозможно, так как из задач, которые замыкаются через известные интегральные характеристики (в рассмотренных случаях это жесткости), κ входит в вилки в связи с другими константами. Ввиду этого, на основе работы

где N — параметр микрополярной связи.

На основе данных из литературных источников можно определить значение N для разных типов материалов:

– N = [0,01; 0,1] — для материалов без ярко выраженной микроструктуры. К ним можно отнести: сталь, чугун

– N = [0,1; 0,3] — для связных материалов с выраженной микроструктурой. К ним можно отнести бетон, ненарушенный скальный массив, глинистый грунт

– N = [0,3; 0,6] — для гранулярных материалов с выраженной макроструктурой частиц. К ним можно отнести трещиноватый скальный массив, песок, разные типы песчаных и скальных грунтов

– N = [0,6; 1) — для материалов с ярко выраженной микрополярной структурой. К ним относятся композиты, пены, кость

На основе второй задачи, определяется вилка для параметра α, которая может быть записана в виде (40).

На основе третьей задачи вычисляется итоговая вилка для постоянной β (41).

На основе первой задачи определяется итоговая вилка для γ (42).

3.5. Верификация методики

Для верификации полученных аналитических вилок рассмотрим расчетный пример на основе экспериментальных данных. В работе

Переходя от экспериментальных данных к постоянным средам Коссера, получим:

В качестве исходных данных о геометрии образца для задачи кручения принимаем a = 200 мм, b = c = 20 мм, а для задач изгиба R = 1000 мм, h = 100 мм.

Тогда по формуле (38), нижняя граница для κ равна:

Ограничение для κ выполняется.

По формуле (40), определим ограничение для параметра α:

Ограничение для α выполняется.

По формуле (41), определим ограничение для параметра β:

Ограничение для β выполняется.

По формуле (42), определим ограничение для параметра γ:

Ограничение для γ выполняется.

Результаты, полученные в данной работе, показывают, что краевые задачи с известными классическими жесткостями могут быть использованы как аналитический инструмент для определения допустимых диапазонов постоянных среды Коссера. Главным преимуществом такого подхода является возможность оценки микрополярных констант через известные величины из классической теории упругости.

В работах об определении постоянных среды Коссера, как правило, рассматривается экспериментальный подход, численные расчеты или же обратные задачи

В работах об исследовании среды Коссера, задачи на кручение и изгиб часто рассматриваются как наиболее чувствительные к проявлению микрополярных эффектов. В трудах

Полученные оценки явно указывают на наличие масштабных эффектов в среде Коссера. Если в классической теории упругости, некоторые геометрические величины описывают главным образом саму жесткость, то в микрополярной среде они дополнительно определяют чувствительность задачи к искомым постоянным. Другими словами, размер образца следует воспринимать как дополнительную ступень оценки констант среды Коссера не только для определенного материала, но и для конкретного масштаба задачи.

В связи с вышесказанным возникает необходимость ввода требований к размерам тел, которые могут быть рассмотрены в выбранных краевых задачах. Ввиду того, что при малых значениях N, эффекты среды Коссера выражены слабо, необходимо подбирать такие геометрические характеристики для рассматриваемых тел, чтобы вклад их микроструктуры оказывал ощутимое влияние на интегральный отклик задачи. При уменьшении поперечного сечения рассматриваемого тела, при постоянной длине, размерный эффект, свойственный среде Коссера проявляется сильнее. Это обусловлено увеличением отношения внутреннего характерного размера материала к характерному размеру тела [6]. Для задачи с брусом предлагается принимать следующие размеры образца: a, b ≤ Nc. Для задач с пластинами рекомендуется использовать классическое условие тонкой пластины: h ≤ 0,1R.

Такое ограничение на выбор размеров образца позволяет получить ожидаемую чувствительность постановки к микрополярным эффектам и тем самым повысить информативность получаемых аналитических оценок.

Стоит отметить, что полученные вилки нельзя интерпретировать, как точные значения постоянных среды Коссера. С точки зрения практики, полученные интервалы дают представление о допустимых значениях. Это позволяет задавать согласованные значения констант при численном моделировании, или же отсекать экстремальные значения постоянных, которые были получены экспериментальным путем.

Определенные в работе оценки естественно считать основой для дальнейшего уточнения постоянных микрополярной среды, через аналитические, численные или экспериментальные методы.

Область применимости предложенной методики определяется допущениями линейной изотропной среды Коссера, а также способом построения аналитических оценок. Методика ориентирована на материалы с выраженной микро- или макроструктурой: пены, композиты, ячеистые материалы, трещиноватые горные породы и некоторые типы грунтов. Для таких семейств материалов характерный размер внутренней структуры может быть сопоставим с геометрическими размерами образцов, тем самым делая масштабные и микрополярные эффекты заметными в интегральном отклике системы. Однако прямое использование предложенных оценок применительно к материалам с ярко выраженной анизотропией, нерегулярной трещиноватостью или без хорошо прослеживаемой внутренней структуры не будет корректным, так как эти явления не учитываются в принятой линейной изотропной постановке.

В работе предложен аналитический метод оценки постоянных среды Коссера через краевые задачи с известной классической жесткостью. В качестве основополагающих были рассмотрены следующие задачи: кручение прямоугольного бруса, антикластический изгиб тонкой круглой пластины и сикластический осесимметричный изгиб тонкой круглой пластины. Для каждой из рассмотренных задач определялись верхние оценки жесткости системы с помощью вариационного принципа Лагранжа, и нижние с помощью вариационного принципа Кастильяно. Полученные оценки сопоставлялись с известными жесткостями из классической теории упругости для получения замкнутых вилок.

По результатам работы, были получены итоговые аналитические вилки для оценки всех констант среды Коссера. Было доказано, что использование классических жесткостей позволяет перейти от общих определяющих соотношений микрополярной среды к допустимым диапазонам ее постоянных. Каждая из выбранных задач чувствительна к определенному набору параметров, что позволяет сформировать единую аналитическую систему. При ее одновременном рассмотрении, возможно определить отдельные диапазоны для каждой постоянной микрополярной среды.

Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшего уточнения параметров среды Коссера при помощи экспериментов, численного моделирования, или же дальнейших аналитических изысканий для материалов с ярко выраженной внутренней структурой.