В статье рассматривается аналитический метод оценки постоянных линейной изотропной среды Коссера по краевым задачам с известными классическими жесткостями. В качестве базовых задач выбраны кручение прямоугольного бруса, антикластический и синкластический осесимметричный изгиб круглой тонкой пластины. Для каждой из рассмотренных задач построены аналитические вилки жесткости системы. Верхняя оценка определялась при помощи вариационного принципа Лагранжа, а нижняя при помощи вариационного принципа Кастильяно. Сопоставляя полученные оценки с жесткостью системы из классической теории упругости, были получены замкнутые вилки, чувствительные к разным наборам постоянных микрополярной среды. Доказано, что выбранные краевые задачи позволяют сформировать замкнутую аналитическую систему, из которой возможно определить диапазоны допустимых значений для постоянных микрополярной среды (α, β, γ, κ).
1. Введение
Материалы с хорошо выраженной микро- или макроструктурой, очень часто могут проявлять свойства, которые плохо описываются классической теорией упругости. К таким эффектам можно отнести локальные повороты частиц материала, моментные напряжения или же масштабные эффекты для интегральных характеристик образцов. Наиболее естественным будет использование среды Коссера (или же микрополярной среды) для описания подобных явлений. В ней на ряду с полем перемещений учитывается также поле микроповоротов, что позволяет хорошо описывать не только обобщенное поведение материала, но и локальные эффекты, возникающие от взаимодействия его частиц [1], [2]. Использование среды Коссера позволяет учесть не только микроструктуру материала, но и возникающие за счет нее масштабные эффекты, которые напрямую влияют на деформационных отклик тела, что невозможно при использовании классической теории упругости [3], [4].
Значительный интерес к микрополярной среде в современной науке, обусловлен необходимостью создания корректных математических моделей для ячеистых материалов, композитов, пен, трещиноватых горных пород и гранулированных сред. Так, в работах [5], [6], [7], [8], [9] авторы указывают, что при деформациях кручения и изгиба образцов, у которых хотя бы один характерный размер сопоставим с размером ячейки микроструктуры, микрополярные эффекты становятся весьма ощутимыми. Например, образцы в виде тонкого стержня, давали значительно большую жесткость на изгиб и кручение, чем предполагалось из классической теории упругости. В работах [6], [7], [8] дополнительно были экспериментально получены зависимости интегральных характеристик от характерного размера микроструктуры.
В отечественной науке также активно ведутся исследования в данной области. Рассматриваются как общие постановки для среды Коссера, так и ее использование, применительно к стержневым и континуальным моделям среды. Так, в статье [10], рассматривают среду Коссера, применительно к стержневым моделям. В работах [11], [12] рассматриваются вариационные и ковариантные формулировки микрополярной среды, а также численные и аналитические решения различных задач с использованием среды Коссера. Отдельно стоит отметить труды [13], [14], [15]. В них описаны исследования, направленные на определение констант среды Коссера, через их связь с некоторыми интегральными механическими величинами. Эти работы хорошо показывают, что проблемы, связанные с определением констант среды Коссера, являются актуальными не только для теоретического, но и для прикладного развития науки.
Несмотря на значительное количество теоретических исследований, задача определения констант среды Коссера все еще является наиболее актуальной, ввиду ее значительной трудоемкости. Как было отмечено в обзорной статье [4], реальных экспериментальных данных об определении констант среды Коссера не так много, а степень их достоверности сильно варьируется. Это связано напрямую с высокой сложностью проведения самих экспериментов, а также их значительной чувствительности к постановке испытания. С другой стороны, комбинация аналитического и экспериментального подходов, может позволить существенно облегчить как формирование постановки эксперимента, так и его верификацию [5], [7], [14].
В данной работе рассматривается аналитический подход к оценке констант среды Коссера, который основан на решении краевых задач с известными классическими жесткостями. Фактически, определяется допустимая область значений, которые могут принимать постоянные микрополярной среды ()
Целью исследования является вывод аналитических вилок для констант среды Коссера через краевые задачи с известными классическими жесткостями. Для достижения цели формируются соответствующие постановки, через которые определяются верхние и нижние оценки жесткости системы, после чего выполняется их сопоставление с эталонными классическими жесткостями систем. Из систем неравенств определяются итоговые вилки для параметров
2. Методы и принципы исследования
2.1. Основные математические соотношения модели среды
В статье рассматривается линейная изотропная среда Коссера в трехмерной постановке. Ее кинематическое состояние описывается через вектор перемещений (1) и вектор микроповоротов (2).
Симметричная и антисимметричная части вектора компонент тензора деформаций, а также вектор компонент тензора кривизны записываются в виде (3-5).
Геометрические соотношения записываются в виде (6–8) [4], [10].
где A1, A2, A3 – матрицы дифференцирования (9-11) [16].
Симметричная и антисимметричная части вектора компонент тензора напряжений, а также вектор компонент тензора моментных напряжений записываются в виде (12-14) [4], [10].
Уравнения равновесия записываются в виде (15, 16).
где
— векторы объемных сил и объемных моментов соответственно. Во всех задачах, рассмотренных в работе, исследовались постановки при
Физические соотношения можно записать в виде (17–19) [4], [10].
Где D классическая матрица упругих констант Ламе; B – матрица, характеризующая связь антисимметричной части деформаций с антисимметричной частью напряжений через постоянную κ; С матрица, содержащая дополнительные постоянные среды Коссера .
Плотность потенциальной энергии определяется по формуле (20).
Через напряжения плотность потенциальной энергии записывается в виде выражения (21).
2.2. Принцип построения аналитических вилок для постоянных среды Коссера
Для рассматриваемых в работе задач строятся две оценки жесткости системы. Верхняя оценка определяется через вариационный принцип Лагранжа, на основе выбранного кинематически допустимого анзаца. Для этого задается некоторое поле перемещений и микроповоротов, которое удовлетворяет выбранным кинематическим граничным условиям задачи. Из геометрических соотношений, определяются векторы деформаций εS, εA, Далее определяется плотность потенциальной энергии W. После интегрирования по объему тела, определяется полная потенциальная энергия При наличии в анзаце некоторого внутреннего параметра, по нему выполняется минимизация потенциальной энергии. Из минимума потенциальной энергии определяется верхняя оценка жесткости для рассматриваемой задачи.
Нижняя оценка жесткости системы определяется при помощи вариационного принципа Кастильяно, для чего выбирается некоторый статически допустимый анзац, включающий в себя S, A, Выбранный анзац должен удовлетворять уравнениям равновесия, а также силовым и моментным условиям на границах. После проверки статической допустимости, определяется плотность потенциальной энергии W*, а после ее интегрирования по объему потенциальная энергия Через обобщенную силовую или моментную реакцию, определяется связь между выбранными параметрами анзаца и некоторой интегральной характеристикой нагружения. После минимизации определяется нижняя оценка жесткости системы.
Таким образом, для каждой задачи может быть получена аналитическая вилка оценки жесткости системы. Так как в работе рассматриваются задачи, для которых известны жесткости из классической теории упругости, общий вид вилки можно записать в виде (22).
где
жесткость рассматриваемой системы из классической теории упругости.
Благодаря такому сопоставлению появляется возможность получить систему ограничений на постоянные среды Коссера.
Подход, который используется в статье, опирается на тот факт, что классическая эталонная жесткость имеет ясный механический смысл и известна независимо от дополнительных постоянных среды Коссера. Благодаря этому, отклонение жесткости системы в микрополярной постановке, от эталонного значения, позволяет определить диапазоны возможных значений, которые могут принимать постоянные микрополярной среды.
3. Основные результаты
3.1. Кручение бруса
В задаче рассматривается прямоугольный параллелепипед . Принята ортогональная система координат (x1, x2, x3), кручение происходит вокруг оси x1.
Эталонная классическая жесткость для такой задачи кручения определяется по формуле (23) [17].
где
модуль сдвига.
В качестве кинематических граничных условий принято поле перемещений, которое соответствует кручению с некоторой интенсивностью
Для верхней оценки принимается кинематически допустимый анзац (24).
где заданная интенсивность кручения; q внутренний параметр анзаца.
По выбранной методике вычисляется верхняя оценка крутильной жесткости (25).
Для нижней оценки принимается статически допустимый анзац (24).
где s, l параметры статически допустимого анзаца.
По выбранной методике определяется нижняя оценка крутильной жесткости (27).
3.2. Антикластический изгиб тонкой круглой пластины
В задаче рассматривается тонкая круглая пластина с радиусом R и толщиной h (x1, x2, x3), где лежат в плоскости пластины, перпендикулярная плоскости пластины.
Эталонная классическая жесткость для такой задачи кручения определяется по формуле (28) [18].
В качестве кинематических граничных условий принимается поле перемещений, которое соответствует антикластическому изгибу с некоторой интенсивностью
Для получения верхней оценки выбирается кинематически допустимый анзац (29).
где заданная интенсивность антикластического изгиба; q – внутренний параметр анзаца.
По выбранной методике вычисляется верхняя оценка жесткости системы (30).
Для вычисления нижней оценки принимается статически допустимый анзац (31).
где s, l параметры статически допустимого анзаца; r2 =
Нижняя граница для жесткости системы может быть записана в виде выражения (32).
3.3. Синкластический изгиб тонкой круглой пластины
В задаче также рассматривается тонкая круглая пластина с радиусом R и толщиной h
Эталонная классическая жесткость для синкластического изгиба определяется выражением (33) [18].
В качестве кинематических граничных условий используется поле перемещений, которое соответствует осесимметричному синкластическому изгибу с некоторой интенсивностью
Для получения верхней части вилки, принимается кинематически допустимый анзац (34).
где заданная интенсивность синкластического изгиба; q – внутренний параметр анзаца.
По используемой методике вычисляется итоговая верхняя оценка жесткости (35).
Для получения нижней части вилки, принимается статически допустимый анзац (36).
где s, l параметры статически допустимого анзаца.
Нижняя оценка жесткости, вычисленная по используемой методике, записана в виде выражения (37).
3.4. Итоговые аналитические вилки для констант среды Коссера
Для оценки используются вилки 1-3 задач. На их основе формируется ряд ограничений, которые задают его нижнюю границу (38).
[LATEX_FORMULA]\kappa>\max \left(\frac{\mu\left(b^{2}+c^{2}\right)}{4 a^{2}}, \frac{\mu h^{2}}{6 R^{2}}, \frac{h^{2} \mu(3 \lambda+2 \mu)^{2}}{96 R^{2}(\lambda+2 \mu)(\lambda+\mu)-h^{2}(3 \lambda+2 \mu)^{2}}\right)[/LATEX_FORMULA]
В рамках рассмотренных задач, получить аналитическую верхнюю границу для невозможно, так как из задач, которые замыкаются через известные интегральные характеристики (в рассмотренных случаях это жесткости), входит в вилки в связи с другими константами. Ввиду этого, на основе работы [6], было принято верхнее ограничение (39) данной константы.
где
На основе данных из литературных источников можно определить значение
–
[6]
–
[8]
–
[9]
–
[5]
На основе второй задачи, определяется вилка для параметра , которая может быть записана в виде (40).
На основе третьей задачи вычисляется итоговая вилка для постоянной (41).
На основе первой задачи определяется итоговая вилка для (42).
3.5. Верификация методики
Для верификации полученных аналитических вилок рассмотрим расчетный пример на основе экспериментальных данных. В работе [19] рассмотрена полимерная решетка с размером ячейки 9-10 мм, для которой экспериментальным путем были получены следующие постоянные:μ = 1,495 МПа, λ = 0,166 кПа, lt =9,4 мм, lb = 8,8 мм, N = 0,99, Ψ = 1, β/γ = 0,5, где E модуль упругости материала, lt крутильная характеристическая длина, определяемая формулой (43), lb изгибная характеристическая длина, определяемая формулой (44), Ψ полярное отношение, характеризующее относительный вклад моментных постоянных (определяется по формуле (45)). Постоянная в статье [19] определяется по формуле (39).
Переходя от экспериментальных данных к постоянным средам Коссера, получим:
В качестве исходных данных о геометрии образца для задачи кручения принимаем
Тогда по формуле (38), нижняя граница для
[LATEX_FORMULA]\kappa>\max (0,00748 ; 0,00249 ; 0,00036)=0,00748 {МПа}[/LATEX_FORMULA]
Ограничение для
По формуле (40), определим ограничение для параметра
Ограничение для
По формуле (41), определим ограничение для параметра
Ограничение для
По формуле (42), определим ограничение для параметра
Ограничение для
4. Обсуждение
Результаты, полученные в данной работе, показывают, что краевые задачи с известными классическими жесткостями могут быть использованы как аналитический инструмент для определения допустимых диапазонов постоянных среды Коссера. Главным преимуществом такого подхода является возможность оценки микрополярных констант через известные величины из классической теории упругости.
В работах об определении постоянных среды Коссера, как правило, рассматривается экспериментальный подход, численные расчеты или же обратные задачи [4], [5], [6], [7]. Использование таких методик позволяет определить конкретные значения параметров для выбранного материала, однако являются весьма трудоемкими с точки зрения практической реализации. Кроме того, результаты, получаемые таким образом являются очень чувствительными к геометрии образца, типу нагружения и методике испытаний в целом [4]. В настоящей работе, основной акцент сделан на аналитическом определении допустимых диапазонов постоянных среды Коссера через краевые задачи с известными классическими жесткостями рассмотренных систем. Каждая из предлагаемых задач несет самостоятельную информацию о постоянных микрополярной среды. Совокупность этих задач образует аналитическую систему, которая связывает классические жесткости с микрополярными.
В работах об исследовании среды Коссера, задачи на кручение и изгиб часто рассматриваются как наиболее чувствительные к проявлению микрополярных эффектов. В трудах [6], [7], [14] анализируются задачи кручения, в которых описано влияние микрополярной среды на жесткость системы, депланацию сечений и проявление масштабного эффекта. , что при изгибе образцов с размером сечения, сопоставимым с размером ячейки микроструктуры, отклик материала существенно отличается от классического прогноза[5], [6]. Таким образом, в данной работе методика, хорошо согласуется с существующими исследованиями, так как опираются на наиболее чувствительные к микрополярным эффектам задачи.
Полученные оценки явно указывают на наличие масштабных эффектов в среде Коссера. Если в классической теории упругости, некоторые геометрические величины описывают главным образом саму жесткость, то в микрополярной среде они дополнительно определяют чувствительность задачи к искомым постоянным. Другими словами, размер образца следует воспринимать как дополнительную ступень оценки констант среды Коссера не только для определенного материала, но и для конкретного масштаба задачи.
В связи с вышесказанным возникает необходимость ввода требований к размерам тел, которые могут быть рассмотрены в выбранных краевых задачах. Ввиду того, что при малых значениях N, эффекты среды Коссера выражены слабо, необходимо подбирать такие геометрические характеристики для рассматриваемых тел, чтобы вклад их микроструктуры оказывал ощутимое влияние на интегральный отклик задачи. При уменьшении поперечного сечения рассматриваемого тела, при постоянной длине, размерный эффект, свойственный среде Коссера проявляется сильнее. Это обусловлено увеличением отношения внутреннего характерного размера материала к характерному размеру тела [6]. Для задачи с брусом предлагается принимать следующие размеры образца: a, b Для задач с пластинами рекомендуется использовать классическое условие тонкой пластины: h
Такое ограничение на выбор размеров образца позволяет получить ожидаемую чувствительность постановки к микрополярным эффектам и тем самым повысить информативность получаемых аналитических оценок.
Стоит отметить, что полученные вилки нельзя интерпретировать, как точные значения постоянных среды Коссера. С точки зрения практики, полученные интервалы дают представление о допустимых значениях. Это позволяет задавать согласованные значения констант при численном моделировании, или же отсекать экстремальные значения постоянных, которые были получены экспериментальным путем.
Определенные в работе оценки естественно считать основой для дальнейшего уточнения постоянных микрополярной среды, через аналитические, численные или экспериментальные методы.
Область применимости предложенной методики определяется допущениями линейной изотропной среды Коссера, а также способом построения аналитических оценок. Методика ориентирована на материалы с выраженной микро- или макроструктурой: пены, композиты, ячеистые материалы, трещиноватые горные породы и некоторые типы грунтов. Для таких семейств материалов характерный размер внутренней структуры может быть сопоставим с геометрическими размерами образцов, тем самым делая масштабные и микрополярные эффекты заметными в интегральном отклике системы. Однако прямое использование предложенных оценок применительно к материалам с ярко выраженной анизотропией, нерегулярной трещиноватостью или без хорошо прослеживаемой внутренней структуры не будет корректным, так как эти явления не учитываются в принятой линейной изотропной постановке.
5. Заключение
В работе предложен аналитический метод оценки постоянных среды Коссера через краевые задачи с известной классической жесткостью. В качестве основополагающих были рассмотрены следующие задачи: кручение прямоугольного бруса, антикластический изгиб тонкой круглой пластины и сикластический осесимметричный изгиб тонкой круглой пластины. Для каждой из рассмотренных задач определялись верхние оценки жесткости системы с помощью вариационного принципа Лагранжа, и нижние с помощью вариационного принципа Кастильяно. Полученные оценки сопоставлялись с известными жесткостями из классической теории упругости для получения замкнутых вилок.
По результатам работы, были получены итоговые аналитические вилки для оценки всех констант среды Коссера. Было доказано, что использование классических жесткостей позволяет перейти от общих определяющих соотношений микрополярной среды к допустимым диапазонам ее постоянных. Каждая из выбранных задач чувствительна к определенному набору параметров, что позволяет сформировать единую аналитическую систему. При ее одновременном рассмотрении, возможно определить отдельные диапазоны для каждой постоянной микрополярной среды.
Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшего уточнения параметров среды Коссера при помощи экспериментов, численного моделирования, или же дальнейших аналитических изысканий для материалов с ярко выраженной внутренней структурой.
The additional file for this article can be found as follows:
Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: