THEOREM OF STABILITY OF FUZZY SETS

Терновых И.И.

Аспирант, Воронежский Государственный Университет

ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА

Аннотация

В статье рассматривается устойчивость одного дифференциального уравнения с нечеткой логикой. На основе понятий нечеткой производной выводится α- устойчивость, асимптотическая α- устойчивость.

Ключевые слова: характеристическая функция, нечеткая динамическая система, нечеткая производная, α- устойчивость.

 Ternovikh I.I.

Postgraduate student, Voronezh State University

THEOREM OF STABILITY OF FUZZY SETS

Annotation

The stability of differential equation with fuzzy logic is considered. The fuzzy derivative is derived, applied to the solution of fuzzy system equation and derived α- stability and asymptotic α- stability.

Keywords: membership function, fuzzy dynamical system, fuzzy derivative, α- stability, asymptotic α- stability.

 

1. Предварительные условия, обозначения и преобразования.

Пусть  – заданное метрическое пространство, тогда нечёткое подмножество [4]    представлено функцией принадлежности . Семейство всех нечётких подмножеств на   обозначим как  .

Слабым  срезом нечёткого подмножества   для  является множество 

Динамическое поведение непрерывной нечёткой системы, чьё состояние во времени  обозначается   определяется дифференциальным уравнением вида:

,                                                                                                     (1)

Где    – состояние системы в момент времени  ,  – нечеткое отношение, определяющее переход в следующее состояние, с функцией принадлежности .

В терминах функции принадлежности (1) можем переписать в виде:

 R₊                                                              (2)

где  – нечёткое отношение, определенное на  (т.е. нечётком подмножестве ).

Обозначаем определение функции

                                                                             (3)

принимая во внимание, что, если  определяет метрику в, то для всех  должно быть выполнено следующее [1] :

1.  – компактное и непустое,
2.  – непрерывное по Липшицу, т.е. существует такое действительное , что для всех , , , мы можем показать, что нечёткая система определяется уравнением

                                                                  (4)

которое имеет единственное решение. Другими словами, если  определяет начальное значение, для всех   существует такое отображение  , что

                                                                                               (5)

и такое отображение , что

.                                                                                                  (6)

2. Устойчивость

Пусть  – замкнутое подмножество в . Для начала вспомним, чтобы избежать потери смысла, определение положительной определённости вещественнозначной функции [1-4].

Определение1. Функция  является  положительно определённой на множестве  в  тогда и только тогда, когда:

1.    – определена в окрестности множетсва ∈.
2.   для  .
3.  Для , существует такая , что  во всех случаях, когда .
4.   строго возрастающая, непрерывная и такая, что  и , для всех .

Отметим, что, так как  – замкнутое,  никогда не является пустым. Отсюда, существует такая , что

.                                                                                               (7)

Ввиду этого, если  – положительно определенная функция в  и, если некоторое нечеткое множество  ,  задано следующим образом:

,                                                                                 (8)

то всегда возможно найти такую  , что  .

(сама)

Используя  классическое определение устойчивости по Ляпунову [7-8] и работу Терновых И.И [11] получим определение 2.

Определение 2 . Подмножество  – устойчивое для нечёткой системы  если для всех , существует такое , что предполагает, что , для всех .

 Определение 3. Подмножество  дано как  устойчивое для нечёткой системы  если для  существует такая , что  предполагает, что , для всех . (сама)

Определение 4. Подмножество   дано как  притягивающее (аттрактор) если существует такая окрестность   , что для всех , для всей последовательности  ,  , при , и всей последовательности  , , тогда,  при .

Можно перефразировать эти два определения так  (сама расписала):

1.  Подмножество   является  устойчивым тогда и только тогда, когда для всех   существует такая , что   предполагает, что    для всех  , для всех  
2.  Подмножество     является  притягивающее (аттрактор) если существует такая окрестность    что для всех , для всей последовательности  ,  , при  , и всей последовательности  , такой, что  , тогда,   при  

Определение 5. Подмножество в , которое является  устойчивым и пртягивающим будем называть асимптотически устойчивое.

Критерий  устойчивости для нечёткой системы можно установить через использование понятия нечёткой производной вещественнозначной функции как в работе Де Гласс [1] также будем опираться на труды классической теории дифференциальных уравнений [4].

Теорема 1. Пусть  – нечёткая система и пусть  – подмножество . Если существует такая полунепрерывная снизу функция , что

1.  – определяется в окрестности     ,
2.  – положительно определённая по отношению к ,
3.  , для всех ,

тогда  является устойчивым.

Доказательство. Пусть . Так как , . Следовательно, так как , для всех  .

Пусть . Тогда, для всех таких , что   и . Пусть, . Предположим, что существует такая , что . Тогда, существует такая  и , что , что является противоречием. Отсюда, для всех , . Таким образом, для всех и для все , .

Так как  – положительно определённая, для всех , существует такая  , что  предполагает, что . Тогда, для всех , существует такая , что  предполагает , для всех .

Более того, согласно Определению 1, для всех  существует такая , что  , что предполагает, что . Отсюда следует, что  предполагает, что .

Таким образом, для всех , существует такая , что  предполагает, что , для всех , т.е. такая, что  предполагает, что . (сама)

Теорема 2. пусть  – нечёткая система и пусть  – подмножество . Если существует такая полунепрерывная снизу функция , что

1.  – определяется в окрестности    ,
2. – положительно определённая по отношению к ,
3.  , для всех 

тогда  является асимптотически устойчивым. 

Доказательство. Достаточно доказать, что  –  притягивающее. Если предположить, что  – не  притягивающее подмножество, это предполагает, что существует последовательность ,где , при , и такая последовательност ,что  , что . Тогда, , то есть определенной траектории на . Также возможно доказать, что , что является противоречием.

Теоремы 1 и 2 предполагают наличие предварительных знаний об эволюционном уравнении и даже о  кривых. Поскольку, так чаще всего и есть на самом деле, крайне необходимо иметь возможность переформулировать критерий  устойчивости таким образом, что более широкие знания об эволюционном уравнении не потребуются.