ON THE PROFILE OF A LIQUID DROP IN TOUCH WITH THE SUBSTRATE

Заславский Ю.М.

C.н.с., д.ф.-м.н. Институт прикладной физики Российской академии наук, Россия, 603950, Нижний Новгород, Ульянова ул., д.46

О ПРОФИЛЕ КАПЛИ ЖИДКОСТИ В КОНТАКТЕ С ПОДЛОЖКОЙ

Аннотация

Проведено теоретическое исследование формы профиля капли жидкости в случаях растекания по твердой ровной смачиваемой подложке и для капли, свисающей с подложки вниз. Граница газ-жидкость рассматривается в условиях равновесия сил поверхностного натяжения и сил гравитации. Проанализирована зависимость радиуса растекания жидкой капли от величины краевого угла для обоих случаев верхнего и нижнего расположения капли.

Ключевые слова: профиль разреза, капля жидкости, поверхностное натяжение, краевой угол, твердая подложка

Zaslavsky Yu.M.

Leader scientist, doctor of p.-m.s., Institute of applied physics Russian academy of science, Russia, 603950, Nizhny Novgorod, Ul’yanov Str., 46.

ON THE PROFILE OF A LIQUID DROP IN TOUCH WITH THE  SUBSTRATE

Abstract

Vertical cross sections of a liquid drop spread over a rigid flat wettable substrate and the drop hanging from the substrate are studied theoretically. The gas-liquid boundary analyzed in equilibrium of the surface tension forces and the gravity forces is analyzed. The radius of spreading of a liquid drop as a function of the contact angle is considered for both cases of the upper and lower location of the drop.

Keywords: section profile, liquid drop, surface tension, contact angle, rigid substrate

Известно, что жидкость, растекшаяся по идеально ровной горизонтальной твердой смачиваемой подложке, собирается в капли, которые сохраняют устойчивую форму. Линия границы (профиль) вертикального разреза капли жидкости, удерживающейся в равновесии на идеально гладкой подложке, привлекает внимание исследователей, поскольку информация о форме профиля имеет важное практическое применение [1-5]. В [6] выполнен расчет профиля капли, находящейся в равновесии под действием центробежных сил и сил поверхностного натяжения, когда подложка и капля вращаются вокруг оси симметрии. Там, в частности, показано, что форма капли без вращения, т.е. при действии только сил поверхностного натяжения, представляет собой сферический сегмент.

Теоретический и практический интерес представляет также анализ формы огибающей поверхности капли при отсутствии вращения. Предполагается осесимметричная модель и рассматриваются два случая – капля, растекшаяся поверх твердой ровной горизонтальной подложки, и капля, свисающая с нижней стороны подложки вниз, в которых имеет место равновесие под действием сил тяжести и сил смачивания. В данной статье строится профиль вертикального разреза капли, анализируется зависимость радиуса растекания от величины контактного угла, при этом используется подход, аналогичный предложенному в [6]. Результаты работы могут использоваться в обосновании модели протекания жидкости сквозь вертикальное капиллярное отверстие с последующим срывом капли вниз, анализ которой представлен в работе [7], посвященной расчету периода цикличности капиллярного течения. Рассмотрение начнем со случая нижнего расположения, т.е. со случая капли, висящей под подложкой. 

В работе [6] показано, что давление внутри капли, имеющей осесимметричную форму, обусловленное поверхностным натяжением на границе жидкость-пар, описывается выражением

                                                                                                    (1)                                                                    

где – коэффициент поверхностного натяжения на границе жидкость-пар,  высота огибающей – линии профиля вертикального разреза капли, как функции радиуса, .

Записывая условие равновесного состояния капли в поле тяжести, в пренебрежении противодавлением со стороны газовой фазы и под действием сил натяжения, нетрудно показать справедливость уравнения: 

                                                                   (2)

интегрируя которое, можно придти к соотношению

                                                                                 (3)

При  (где  – полная высота капли) имеет место , откуда . Аналогичное условие при  записывается как , что позволяет получить выражение для постоянной составляющей давления

                                                                                        (4)

где – контактный угол, являющийся вторым из двух параметров (наряду с константой ), характеризующим область пересечения трех фаз – подложка-жидкость-пар в «тройной» точке.

Раскрывая в (3) корень и интегрируя, приходим к выражению для , как функции высоты :

                                                           (5)

Подставляя в (5) выражение  из (4) и переходя к безразмерным , получаем формулу, на основе которой проводится расчет требуемой функции профиля вертикального разреза

                                (6)

Интеграл в (6) сводится к табличному, но ввиду громоздкости результата, расчет профиля и его анализ выполнены численным способом с применением стандартных функций, реализованных в пакете Mathcad. Из расчетных формул (5), (6) следует, что вместо координат  могут использоваться отношения координат к максимальной высоте капли, при этом независимыми параметрами задачи являются величины . При графическом построении необходимо строить , как функцию от аргумента , вычитая текущие значения  из максимального значения этой величины. Легко также видеть, что переход от рассматриваемого случая капли, свисающей вниз, к случаю верхнего расположения капли, производится сменой знака  или заменой .

На рис. 1 а представлены профили капли в виде , как функции , для нижнего расположения капли (свисающей вниз, ввиду чего ордината также откладывается вниз), при значениях контактного угла  (кривая 1),  (кривая 2),  (кривая 3),  (кривая 4) и при . Последняя из представленных – кривая 4 соответствует предельному значению контактного угла , при котором кривая профиля устойчиво рассчитывается, а радиус растекания минимален. Максимальное значение радиуса растекания в единицах  (кривая 1) достигает ~ 0.8. Характерно наличие перегиба в профиле приблизительно на половинной его высоте относительно максимальной высоты . Можно предположить, что на указанном месте формируется область перетяжки у «набухающей» капли при увеличении ее массы, например, за счет конденсации влаги из соседней паровой фазы. Вероятно, разрыв в профиле и срыв капли вниз, т.е. потеря устойчивости формы, также произойдет в указанной области. Однако такое заключение может быть сделано только на основе решения динамической задачи, хотя на предварительном этапе картина статической равновесной конфигурации также может рассматриваться как пролегомен к анализу динамики.

На рис.1 б представлены аналогичные профили капли, соответствующие верхнему ее расположению, т.е. сверху на подложке, при тех же значениях угла смачивания  (кривая 1),  (кривая 2),  (кривая 3), но при . Здесь имеет место монотонный спад высоты профиля вплоть до нулевого значения с ростом радиуса и достижения им своего максимума – радиуса растекания. Величина радиуса растекания, измеренная в относительных единицах  достигает

а

б

Рис.1.а – Профиль вертикального разреза  капли, свисающей с подложки вниз. Значения контактного угла:   Параметр . б – Профиль  капли, растекшейся по подложке сверху: , . Параметр .

теперь ~ 1.6, хотя масштабная единица в этом случае может оказаться другой. Если свести к равным значениям не максимальные высоты капель (как это дается на рис.1 а, б для свисающей вниз капли и для лежащей на подложке), а радиусы растекания, то нетрудно заключить, что максимальная высота капли, растекшейся по подложке сверху, меньше в 2 раза, чем у капли, свисающей вниз.

Сравнение профилей вертикального разреза капель жидкости на подложке и свисающей с подложки вниз показывает принципиальное различие их вида и в количественных значениях таких параметров как высота капли и радиус растекания.   

Полученные результаты анализа профиля капли, находящейся в контакте с подложкой в условиях равновесия сил гравитации и сил поверхностного натяжения, могут найти применение при проведении фармацевтических исследований, при производстве продуктов питания, а также при выполнении работ, требующих сравнение результатов для обычных условий с теми, которые предполагают отсутствие силы земного тяготения.