MATHEMATICAL METHODS OF AGRO-METEOROLOGICAL FORECASTING

Тырсин А.Н.

Доктор технических наук, Институт экономики УрО РАН

Работа выполнена при поддержке гранта РГНФ № 15-02-00046а

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АГРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Аннотация

В статье проведен обзор методов агрометеорологического прогнозирования. Дан их сравнительный анализ, приведены рекомендации для практического применения в задачах прогнозирования.  

Ключевые слова: агрометеорология, прогнозирование, математические модели, методы.

Tyrsin A.N.

PhD in Engineering, Institute of Economics, Ural branch of RAS

MATHEMATICAL METHODS OF AGRO-METEOROLOGICAL FORECASTING

Abstract

This article presents a review of methods for agro-meteorological forecasting. The article contains the comparative analysis of these methods and recommendation for practical use in forecasting.

Keywords: agrometeorology, forecasting, mathematical models, methods.

Проблематика агрометеорологического прогнозирования

Прогнозирование (от греч. prognosis – знание наперед) – это вид познавательной деятельности человека, направленной на формирование прогнозов развития объекта на основе анализа тенденций  его развития [1]. Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Сам процесс разработки прогнозов называется прогнозированием. Агрометеорологические прогнозы – это прикладная область агрометеорологии, изучающая закономерности распределения и изменения во времени и пространстве агрометеорологических условий, влияющих на объект и процессы сельскохозяйственного производства, и методы прогнозирования этих условий [2].

Сельскохозяйственное производство является сложнейшим объектом с точки зрения моделирования систем. Сложность моделирования заключается в том, что большинство факторов, формирующих модель, недостаточно изучены и имеют во многом стохастический характер поведения. Если рассматривать процесс производства сельскохозяйственной продукции с общесистемных критериев, то можно заметить, что это процесс взаимодействия биологических, социальных, технических и информационных подсистем, нацеленных на получение конечного результата. Поэтому сельское хозяйство – это сложная биосоциотехническая система. Результатом является множество разных методов для построения прогнозных моделей.

По степени формализации методы прогнозирования делят на экспертные и формализованные. Экспертные методы используются, когда из-за сложности объекта прогнозирования практически невозможно аналитически учесть влияние многих факторов. Если объект прогнозирования удается с приемлемой степенью адекватности описать формальной моделью, то используют формализованные методы.

Обычно при невозможности непосредственного использования формализованных методов бывает полезным сделать процедуру прогнозирования двухэтапной. Сначала выполняют экспертное прогнозирование. А затем, на основе наблюдения за объектом и анализа соответствия результатов прогноза фактическому состоянию объекта исследования, может появиться дополнительная информация, позволяющая перейти к формализованным методам.

Формализованные методы отличаются по степени точности и абстрактности используемых моделей. Большинство авторов сходятся в том, что важнейшая цель прогнозирования состоит в формировании научных предпосылок принятия управленческих решений. Для этого необходимо стремиться к использованию абстрагированных, в первую очередь, математических моделей. Поэтому в настоящее время в различных областях, включая сельское хозяйство, преобладает тенденция использования математических методов прогнозирования.

Специфика математических методов прогнозирования состоит в том, что с увеличением степени абстрагирования растет важность соответствия типа модели прогнозируемому явлению. Действительно, с одной стороны, использование метода прогнозирования, опирающегося на адекватную математическую модель, повышает достоверность прогноза, обеспечивая эффективность управленческих решений. А, с другой стороны, если модель не позволяет адекватно описать исследуемую задачу, то в дальнейшем вряд ли удастся сделать достоверный прогноз.

Поэтому проблема обоснованного выбора математического метода агрометеорологического прогнозирования является актуальной, как при планировании и организации сельскохозяйственного производства, так и в плане адекватности разрабатываемых прогнозов.

Цель статьи – дать сравнительный обзор математических методов, которые можно применять в агрометеорологическом прогнозировании.

Совокупность основных математических методов прогнозирования с учетом их различных методологических аспектов можно представить следующими классами:

• методы прогнозной экстраполяции;
• вероятностное моделирование;
• корреляционный и регрессионный анализ;
• методы распознавания образов;
• стохастические модели временных рядов;
• спектральный анализ;
• детерминированные математические модели.

Рассмотрим далее эти методы.

Методы прогнозной экстраполяции.

Экстраполирование – построение динамических рядов развития показателей прогнозируемого процесса y_t на протяжении периодов основания прогнозов в прошлом и упреждения прогноза в будущем.

Самые простые процедуры экстраполивания – это линейные фильтры

где z_t – моделируемое значение показателя в момент t; α_i – i-й весовой коэффициент; L=2m+1 – апертура скользящего фильтра.

При наличии в исследуемом процессе значительных помех в виде выбросов, можно перейти к нелинейной, обычно, медианной фильтрации [3]

Основной недостаток этих процедур – они плохо учитывают быстрые изменения в динамике. Однако, несмотря на это, скользящее усреднение может быть полезно при достаточно гладких прогнозируемых процессах, а также для предварительного анализа процесса.

Были предложены методы, учитывающие указанный недостаток скользящего усреднения. Здесь можно выделить адаптивное сглаживание и экстраполяционное моделирование.

Адаптивное сглаживание обладает возможностью построения самокорректирующихся моделей, способных учитывать результаты прогноза, сделанного на предыдущем шаге [4]. Адаптивные методы могут успешно использоваться при краткосрочном прогнозировании, характерном для сельскохозяйственного производства с выраженной цикличностью.

Простейшим примером адаптивного подхода является экспоненциальное сглаживание, реализуемое в виде

где α – параметр сглаживания, управляющий реакцией модели на изменение динамики при одновременной фильтрации случайных отклонений.

В настоящее время предложены и более сложные адаптивные процедуры – Хольта, Брауна и т.д. [5]. Принцип их работы тот же, что и у экспоненциального сглаживания.

Основной проблемой использования адаптивного сглаживания является неоднозначность и невозможность формализации при выборе вида и параметров модели. Зачастую вопрос решается эмпирически.

Модель структурно-детерминированного ряда (экстраполяционная модель) имеет вид [6]

где  - детерминированная составляющая, называемая трендом временного ряда; ε_t – случайная составляющая.

Оценку параметров детерминированной составляющей в (1) выполняют методом наименьших квадратов (МНК) [7]. Если плотность вероятности случайной составляющей имеет более вытянутые хвосты (не работает правило «трех сигм»), то для расчета оправдан метод наименьших модулей (МНМ) [8,9].

Достоинства экстраполяционных моделей:

• хорошо описывает тенденцию процесса;
• аналитическое представление, модель имеют содержательную интерпретацию;
• разработанность аппарата регрессионного анализа для построения моделей.

Недостатки:

• невозможно формализовать процедуру выбора наилучшей модели. Форму трендовой модели или задают исходя из знания общих закономерностей прогнозируемого процесса, в противном случае можно использовать различные методы распознавания зависимостей [10–13];
• случайная составляющая  не имеет содержательного смысла;
• неустойчивость оценок параметров в условиях нестационарности случайной составляющей;
• не учитывается возможная взаимосвязь исследуемого показателя от других показателей.

Вероятностное моделирование.

К наиболее распространенным вероятностным моделям, используемым в прогнозировании, можно отнести цепи Маркова и системы массового обслуживания.

Система может быть представлена в виде цепи Маркова [14], если она имеет фиксированное число состояний, из одного в другое она может переходить через некоторые фиксированные моменты времени, вероятности переходов из одного в другое состояние должны быть заданы или оценены.

Цепь Маркова предназначена, главным образом, для вероятностного описания поведения достаточно хорошо структурированных процессов с небольшим числом различных состояний, при условии знания вероятностей переходов из одного в другое состояние. Такими состояниями, например, могут быть качественные оценки урожайности: высокая, средняя, удовлетворительная, плохая и т.д. Критичным при использовании цепей Маркова является задание или оценивание матриц вероятностей перехода.

Во многих областях важную роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач [15]. Подобные системы называют системами массового обслуживания (СМО). Для использования таких систем в агрометеорологическом прогнозировании требуется соответствие структуры исследуемой системы модели СМО.

Корреляционный и регрессионный анализ.

Одной из наиболее распространенных моделей является причинно-следственная зависимость условного среднего прогнозируемого показателя от ряда факторов. Для построения и анализа подобных моделей используют корреляционно-регрессионный анализ. Теснота связи оценивается коэффициентами корреляции, а сама связь описывается уравнениями регрессии. Независимые переменные, используемые в агрометеорологическом прогнозировании, можно объединить в три группы:

• метеорологические и агрометеорологические показатели, характеризующие условия произрастания культуры, связанные с погодой;
• фитометрические показатели, отражающие состояние культуры;
• агротехнические показатели, характеризующие уровень культуры земледелия.

Например, в [16] получена регрессионная модель для прогнозирования урожайности, построенная по статистическим данным за несколько лет

где Y урожайность зерновых и зернобобовых культур; X₁ – площади под зерновые; X₂ – внешний минимальный ущерб; X₃ – площади обрабатываемых сельскохозяйственных культур летательными аппаратами; X₄ – рентабельность отрасли растениеводства; X₅ – себестоимость 1 тонны реализуемого зерна; X₆ – энергетические мощности сельскохозяйственных организаций.

В некоторых случаях в регрессионную модель вводят лаговые переменные. Например, инвестиции дают результат через некоторый период времени, поэтому их целесообразно вводить в модель с задержкой в несколько лет. Иногда возникают ситуации, когда имеется много факторов, но некоторые из них по-разному связаны с зависимой переменной. В результате эти факторы оказывается статистически не значимыми. Исправить ситуацию может введение в модель в качестве фактора значений зависимой переменной в предыдущие периоды времени [17].

Оценки параметров регрессионных зависимостей обычно находят с помощью МНК или МНМ.

Укажем на ряд трудностей использования регрессионного анализа.

1. Проблема выбора существенных факторов. Их поиск затруднен тем, что регрессионная модель не содержит в себе физического обоснования и оказывается справедливой лишь для тех ограниченных условий, для которых модель построена.
2. Малый объем выборки исходных данных. В регрессионном анализе для получения статистически достоверных оценок параметров модели количество переменных должно быть в разы меньше (от 3 до 7 раз в разных источниках [18]). На практике это условие часто не выполняют. Например, при построении указанной выше модели использовано 9 наблюдений (данные с 2001 по 2009 гг.) при 7 неизвестных параметрах. Объем выборки здесь должен был быть более 21 наблюдения.
3. Мультиколинеарность входных переменных приводит к смещению оценок коэффициентов при соответствующих переменных. Для ее устранения используют разные приемы – ридж-регрессию [19], факторный анализ или метод главных компонент [20], преобразования переменных [21]. Однако каждый из них не гарантирует получение корректного результата.
4. Часто исходные данные стохастически не однородны, могут содержать аномальные наблюдения, выбросы и т.д. Это требует привлечения робастных методов регрессионного анализа [22].

Достоинствами линейной регрессионной модели являются ее ясная интерпретация, простота определения параметров, возможность оценки точности прогноза путем построения доверительных интервалов.

Если корреляционная связь между входными переменными и зависимой переменной не линейна, то используют нелинейные регрессионные модели [21]. Обычно их выбирают в классе линеаризуемых моделей, что позволяет в результате замены переменных перейти к линейной модели. Однако это не является принципиальным ограничением, поскольку разработаны численные методы построения нелинейных регрессионных зависимостей [22]. Следует также указать на проблему выбора формы нелинейной модели. Обычно выбор ограничивают несколькими типовыми вариантами нелинейностей.

Если форма зависимости не известна и не может быть уверенно найдена по экспериментальным данным, то альтернативой служит непараметрический регрессионный анализ. Его суть в том, что вместо уравнения регрессии осуществляют сглаживание каждого значения зависимой переменной по входным переменным в некоторой окрестности соответствующей точки. В [23] описан ряд непараметрических алгоритмов.

Методы распознавания образов.

При агрометеорологическом прогнозировании в ряде задач можно использовать статистические методы распознавания образов [20]. Различают распознавание без обучения (кластерный анализ) и распознавание с обучением (дискриминантный анализ). Отметим, что дискриминантный анализ может выделять кластеры (состояния) не только с помощью линейных разделяющих гиперплоскостей, но и нелинейных. Пример использования распознавания образов при прогнозировании урожайности рассмотрен в [24].

Альтернативным подходом для распознавания с обучением является логистическая регрессия, где разделяющие гиперплоскости строятся как модели бинарного или, в общем случае, множественного выбора [21]. Пример использования логистической регрессии при прогнозировании зимостойкости растений приведен в [25].

Использование статистических методов распознавания позволяет оценить состояние исследуемого объекта, представленного в виде вектора компонент. Результатом прогнозирования является не конкретная величина того или иного показателя или доверительный интервал ее значений, а отнесение объекта к тому или иному кластеру, а также оценка вероятности этого результата.

Основной недостаток – необходимость наличия достаточно большого объема данных для обеспечения приемлемой достоверности прогноза.

Стохастические модели временных рядов.

Общей предпосылкой для всех стохастических моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение процесса y_t в значительной степени предопределено его предысторией, т. е. величина y_t  генерируется значениями y_t-1, y_t-2, ... согласно характерным для этого временного ряда закономерностям [26]. Математически это допущение выражается в виде

где, как и в (1), ε_t представляет собой ошибку модели в момент t.

Эти модели являются альтернативой регрессионному анализу, когда затруднительно сформировать группу существенных признаков из-за их слишком большого числа или невозможности измерения некоторых из них.

Для всех стохастических моделей временных рядов постулируется, что функция f в соотношении (2) выражает характер взаимосвязей, сложившихся в рассматриваемом временном ряду у_t. При удачном подборе этой функции «детерминированная» часть выражения (2) будет в некотором смысле близка к реальным значениям этого ряда. Как и ранее степень близости обычно устанавливают по свойствам ошибок e_t, включая минимум дисперсии, соответствие белому шуму, нормальность распределения.

В настоящее время получили распространение линейные стохастические модели временных рядов [27]:

• авторегрессии порядка p (АР(p)–модель)

• скользящего среднего порядка q (СС(q)–модель)

• авторегрессии–скользящего среднего порядка p, q (АРСС(p, q)–модель)

Модели (3)–(5) могут описывать как стационарные, так и не стационарные процессы, коэффициенты a_i, b_j считают постоянными величинами произвольного знака, относительно ε_t ограничиваются стационарностью в широком смысле. Пока достаточно формализован анализ стационарных процессов. В случае нестационарных процессов временной ряд обычно моделируется в виде [27]

где x_t – стационарный временной ряд вида (3)–(5), g(t) – некоторая нестационарная составляющая трендового вида.

Для процесса (6) вначале выделяют трендовую компоненту [28]. Следует отметить не проработанность теории для случая произвольного тренда g(t). В настоящее время предложен подход только для частного случая, когда g(t) представляет собой полином порядка d [27]. Эту модель называют интегрированной моделью авторегрессии–скользящего среднего порядка p, d, q и обозначают АРИСС(p, d, q), где d – порядок разности (интеграции) при котором достигается стационарность процесса

Достоинства стохастических моделей временных рядов:

• возможность прогнозирования случайных процессов;
• разработанность теории моделирования для стационарных случайных процессов;
• формализована процедура идентификации модели;

Недостатки:

• описывают ограниченный класс нестационарных относительно среднего процессов;
• в целом отсутствует интерпретация параметров моделей;
• неустойчивость оценки параметров в условиях нестационарности случайной составляющей.

Еще одним перспективным методом прогнозирования на основе стохастических временных рядов является интегрированность и коинтегрированность переменных [5]. Метод позволяет исследовать в динамике наличие или отсутствие линейной корреляционной взаимосвязи между различными показателями.

Спектральный анализ.

Спектральная плотность – частотная функция, характеризующая распределение мощности процесса по частотам спектра. Спектральную плотность определяют с помощью дискретного преобразования Фурье [29] или на основе параметрических АРСС-моделей [30]. Использование спектрального анализа в прогнозировании основано на анализе динамики спектральных составляющих, например изменения величин дискретных составляющих (гармоник), а также перераспределения энергии в характерных диапазонах частот и т.д. Метод получил наибольшее развитие при прогнозировании в технике и экономике. Однако многие задачи агрометеорологического прогнозирования могут также успешно решаться методами спектрального анализа.

Детерминированные математические модели.

Детерминированные математические модели [31–33] имеют ясную интерпретацию, но ввиду стохастического характера факторов могут успешно использоваться при агрометеорологическом прогнозировании лишь в первом приближении. Их основными недостатками являются:

- они ограничены краткосрочными прогнозами;

- имеют низкую достоверность прогноза (поскольку не учитывают случайных факторов).

Следует отметить, что данные методы можно использовать при решении различных оптимизационных и вариационных задач для повышения эффективности управленческих решений.

Заключение.

В настоящее время разработан широкий спектр математических методов для агрометеорологического прогнозирования. Эти методы позволяют прогнозировать, как количественные, так и качественные показатели.

В первом случае могут успешно применяться прогнозная экстраполяция, вероятностное моделирование, корреляционно- регрессионный анализ и стохастические модели временных рядов. Во втором – методы распознавания образов, спектральный анализ и прогнозирование на основе детерминированных математических моделей.

Использование того или иного математического метода должно опираться на исследование специфики конкретной задачи, формирование предварительной модели исследуемого явления в терминах предметной области, а не наоборот. Это позволит с большей надежностью выбрать математический метод, который будет опираться на адекватную математическую модель и позволит обеспечить максимальную достоверность прогнозирования.

Литература

1. Статистическое моделирование и прогнозирование: учеб. пособие / Под ред. А.Г. Гранберга. М.: Финансы и статистика, 2000. – 383 с.
2. Полевой А.Н. Прикладное моделирование и прогнозирование продуктивности посевов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1988. – 320 с.
3. 3. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ. – М.: Мир, 1981. – 696 с.
4. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 206 с.
5. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003.– 416 с.
6. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 432 с.
7. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. – 334 с.
8. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1983. – 304 с.
9. Тырсин А.Н., Максимов К.Е. Оценивание линейных регрессионных уравнений с помощью метода наименьших модулей // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2012. – Т.78, №7. – С.65-71.
10. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. – М.: Физматлит, 1979. – 448 с.
11. Букреев В.Г., Колесникова С.И., Янковская А.Е. Выявление закономерностей во временных рядах в задачах распознавания состояний динамических объектов. – 2-е изд., испр. и доп. ‒ Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 254 с.
12. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии // Автометрия. – 2005. – Т.41, №1. – С.43-49.
13. Тырсин А.Н., Серебрянский С.М. Распознавание зависимостей во временных рядах на основе структурных разностных схем // Автометрия. – 2015. – Т.51, №2. – С.54-60.
14. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. – М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. – 436 с.
15. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере: учеб. пособие для вузов. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. – 319 с.
16. Огородников П.И., Усик В.В. Прогнозированиее производства и урожайности зерновых культур на основе регрессионных моделей // Вестник ОГУ. – 2011, №13(132). – С.354-359.
17. Тырсин А.Н., Тужиков Е.Н. Математическая модель эффективного прогнозирования ущерба от пожаров // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2013. №4(40). – С.111-114.
18. Эконометрика: учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 344 с.
19. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 2. – М.: Финансы и статистика, 1987. – 351 с.
20. Многомерный статистический анализ в экономике: учеб. пособие для вузов / Под ред. В.Н. Тамашевича. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 598 с.
21. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2004. – 576 с.
22. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 302 с.
23. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия. – М.: Мир, 1993. – 349 с.
24. Загайтов И.Б., Раскин В.Г., Яновский Л.П. Применение теории распознавания образов к прогнозированию колебаний урожайности зерновых культур // Экономика и математические методы. – 1982. – Т.18, №5. – С.861-867.
25. Васильев Н.П., Егоров А.А. Опыт расчета параметров логистической регрессии методом Ньютона–Рафсона для оценки зимостойкости растений // Математическая биология и биоинформатика. – 2011. – Т.6, №2. – С.190-199. URL: http:// www.matbio.org/2011/Vasiliev2011(6_190).pdf (дата обращения: 30.08.2015).
26. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: учебник. – М.: Экзамен, 2003. – 512 с.
27. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. – М.: Мир, 1974. – 408 с.
28. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.
29. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Спектральный анализ случайных процессов. – М.: Энергия, 1974. – 240 с.
30. 3 Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, 1990. – 584 с.
31. Сиротенко О.Д. Основы сельскохозяйственной метеорологии. Том II. Методы расчетов и прогнозов в агрометеорологии. Книга 1. Математические модели в агрометеорологии: учеб. пособие. – Обнинск: ВНИИГМИ-МЦД, 2012. – 136 с.
32. Франс Дж., Торнли Дж. Х. М. Математические модели в сельском хозяйстве. М.: Агропромиздат, 1987. – 400 с.
33. Гринева И.В., Михайлов А.Н. Использование методов линейного программирования для прогнозирования урожайности зерновых культур // Обеспечение эффективного функционирования производственного потенциала АПК России в условиях рыночных отношений: тезисы докл. межрегион. науч.-практ. конф. – Воронеж: ВГАУ, 1993. – С.32-34.

References

1. Statisticheskoe modelirovanie i prognozirovanie: ucheb. posobie / Pod red. A.G. Granberga. M.: Finansy i statistika, 2000. – 383 s.
2. Polevoj A.N. Prikladnoe modelirovanie i prognozirovanie produktivnosti posevov. – L.: Gidrometeoizdat, 1988. – 320 s.
3. T'juki Dzh. Analiz rezul'tatov nabljudenij. Razvedochnyj analiz. – M.: Mir, 1981. – 696 s.
4. Dubrova T.A. Statisticheskie metody prognozirovanija: ucheb. posobie dlja vuzov. – M.: JuNITI-DANA, 2003. – 206 s.
5. Lukashin Ju.P. Adaptivnye metody kratkosrochnogo prognozirovanija vremennyh rjadov: ucheb. posobie. – M.: Finansy i statistika, 2003.– 416 s.
6. Berezhnaja E.V., Berezhnoj V.I. Matematicheskie metody modelirovanija jekonomicheskih sistem: ucheb. posobie. – 2-e izd., pererab. i dop. – M.: Finansy i statistika, 2006. – 432 s.
7. Linnik Ju.V. Metod naimen'shih kvadratov i osnovy teorii obrabotki nabljudenij. – M.: FIZMATLIT, 1958. – 334 s.
8. Mudrov V.I., Kushko V.L. Metody obrabotki izmerenij: Kvazipravdopodobnye ocenki. – 2-e izd., pererab. i dop. – M.: Radio i svjaz', 1983. – 304 s.
9. Tyrsin A.N., Maksimov K.E. Ocenivanie linejnyh regressionnyh uravnenij s pomoshh'ju metoda naimen'shih modulej // Zavodskaja laboratorija. Diagnostika materialov. – 2012. – T.78, №7. – S.65-71.
10. Vapnik V.N. Vosstanovlenie zavisimostej po jempiricheskim dannym. – M.: Fizmatlit, 1979. – 448 s.
11. Bukreev V.G., Kolesnikova S.I., Jankovskaja A.E. Vyjavlenie zakonomernostej vo vremennyh rjadah v zadachah raspoznavanija sostojanij dinamicheskih ob#ektov. – 2-e izd., ispr. i dop. ‒ Tomsk: Izd-vo Tomskogo politehnicheskogo universiteta, 2011. – 254 s.
12. Tyrsin A.N. Identifikacija zavisimostej na osnove modelej avtoregressii // Avtometrija. – 2005. – T.41, №1. – S.43-49.
13. Tyrsin A.N., Serebrjanskij S.M. Raspoznavanie zavisimostej vo vremennyh rjadah na osnove strukturnyh raznostnyh shem // Avtometrija. – 2015. – T.51, №2. – S.54-60.
14. Romanovskij V.I. Diskretnye cepi Markova. – M.-L.: Gosudarstvennoe izdatel'stvo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1949. – 436 s.
15. Labsker L.G., Babeshko L.O. Teorija massovogo obsluzhivanija v jekonomicheskoj sfere: ucheb. posobie dlja vuzov. – M.: Banki i birzhi, JuNITI, 1998. – 319 s.
16. Ogorodnikov P.I., Usik V.V. Prognozirovaniee proizvodstva i urozhajnosti zernovyh kul'tur na osnove regressionnyh modelej // Vestnik OGU. – 2011, №13(132). – S.354-359.
17. Tyrsin A.N., Tuzhikov E.N. Matematicheskaja model' jeffektivnogo prognozirovanija ushherba ot pozharov // Sovremennye tehnologii. Sistemnyj analiz. Modelirovanie. – 2013. №4(40). – S.111-114.
18. Jekonometrika: uchebnik / Pod red. I.I. Eliseevoj. – M.: Finansy i statistika, 2003. – 344 s.
19. Drejper N., Smit G. Prikladnoj regressionnyj analiz: V 2-h kn. Kn. 2. – M.: Finansy i statistika, 1987. – 351 s.
20. Mnogomernyj statisticheskij analiz v jekonomike: ucheb. posobie dlja vuzov / Pod red. V.N. Tamashevicha. – M.: JuNITI-DANA, 1999. – 598 s.
21. Magnus Ja.R., Katyshev P.K., Pereseckij A.A. Jekonometrika. Nachal'nyj kurs: uchebnik. – 6-e izd., pererab. i dop. – M.: Delo, 2004. – 576 s.
22. Demidenko E.Z. Linejnaja i nelinejnaja regressija. – M.: Finansy i statistika, 1981. – 302 s.
23. Hardle V. Prikladnaja neparametricheskaja regressija. – M.: Mir, 1993. – 349 s.
24. Zagajtov I.B., Raskin V.G., Janovskij L.P. Primenenie teorii raspoznavanija obrazov k prognozirovaniju kolebanij urozhajnosti zernovyh kul'tur // Jekonomika i matematicheskie metody. – 1982. – T.18, №5. – S.861-867.
25. Vasil'ev N.P., Egorov A.A. Opyt rascheta parametrov logisticheskoj regressii metodom N'jutona–Rafsona dlja ocenki zimostojkosti rastenij // Matematicheskaja biologija i bioinformatika. – 2011. – T.6, №2. – S.190-199. URL: http:// www.matbio.org/2011/Vasiliev2011(6_190).pdf (data obrashhenija: 30.08.2015).
26. Tihomirov N.P., Dorohina E.Ju. Jekonometrika: uchebnik. – M.: Jekzamen, 2003. – 512 s.
27. Boks Dzh., Dzhenkins G. Analiz vremennyh rjadov. Prognoz i upravlenie. Vyp. 1. – M.: Mir, 1974. – 408 s.
28. Ajvazjan S.A., Mhitarjan V.S. Prikladnaja statistika i osnovy jekonometriki: uchebnik. – M.: JuNITI, 1998. – 1022 s.
29. Gribanov Ju.I., Mal'kov V.L. Spektral'nyj analiz sluchajnyh processov. – M.: Jenergija, 1974. – 240 s.
30. Marpl-ml. S.L. Cifrovoj spektral'nyj analiz i ego prilozhenija. – M.: Mir, 1990. – 584 s.
31. Sirotenko O.D. Osnovy sel'skohozjajstvennoj meteorologii. Tom II. Metody raschetov i prognozov v agrometeorologii. Kniga 1. Matematicheskie modeli v agrometeorologii: ucheb. posobie. – Obninsk: VNIIGMI-MCD, 2012. – 136 s.
32. Frans Dzh., Tornli Dzh. H. M. Matematicheskie modeli v sel'skom hozjajstve. M.: Agropromizdat, 1987. – 400 s.
33. Grineva I.V., Mihajlov A.N. Ispol'zovanie metodov linejnogo programmirovanija dlja prognozirovanija urozhajnosti zernovyh kul'tur // Obespechenie jeffektivnogo funkcionirovanija proizvodstvennogo potenciala APK Rossii v uslovijah rynochnyh otnoshenij: tezisy dokl. mezhregion. nauch.-prakt. konf. – Voronezh: VGAU, 1993. – S.32-34.