ROBUST MINIMAX LINEAR EXTRAPOLATION AND INTERPOLATION OF NON-STATIONARY PROCESS UNDER CONDITIONS OF INTERVAL FUZZY STATE MATRIX OF THE SYSTEM WITH BOUNDED VARIANCE

Исследуемые ниже вопросы рассматриваются в рамках линейной ковариационной теории оценивания для случая, когда ковариационные функции ошибок измерения и возмущений в полезном сигнале полностью известны и принадлежат некоторому множеству (здесь и ниже – множество неотрицательно определенных функций). Под гарантирующей оценкой понимается наилучшая оценка параметров полезного сигнала в смысле минимума среднеквадратической ошибки при наихудшем поведении ошибок измерения и возмущений с ковариационными функциями, принадлежащими множеству. В зависимости от вида ограничений, т.е. характеристик множества, возникают разные подходы и методы решения задачи гарантирующего оценивания (фильтрации).

В

показано, что если множество ковариационных матриц ограничено, замкнуто и выпукло, то при линейной модели поведения сигналов и ошибок измерения для дискретного случая наихудшее распределение ошибок измерения является гауссовым, оптимальное решение в классе нелинейных фильтров приводит к линейной фильтрации и в этой минимаксной задаче существует седловая точка.

Аналогичный результат получен в

. В задача отыскания фильтра при ограничении дисперсии ошибок измерения сводится к двойственной задаче, и получен алгоритм численного отыскания фильтра. В

[4]

ограничение задано по существу в виде ковариационной матрицы на весь процесс измерений и возмущений в целом. Близкие по постановке задачи рассмотрены также в , , , и многих других работах. В рассматривается минимаксная стационарная обработка информации для скалярного возмущения, в рассматривается минимаксная стационарная обработка информации, в стационарная в условиях интервальной нечеткости матрицы состояния системы с ограниченной дисперсией для скалярного возмущения, в нестационарная минимаксная задача с ограничениями на дисперсионную матрицу случайных процессов (ошибок измерения и возмущений).

В данной статье рассматривается минимаксная задача в условиях робастной интервальной устойчивости в рамках H-устойчивости (гурвицевой устойчивости) в виде интервальной робастной нечеткости, присутствующей в коэффициентах состояния и измерителя динамической слабо нестационарной системы с ограничениями на дисперсионную матрицу случайных процессов (ошибок измерения и возмущений). Цель статьи – провести аналитическое исследование по совершенствованию математического моделирования нестационарных процессов с медленно меняющимися коэффициентами

для решения задач гарантирующего оценивания (фильтрации), имеющие прикладное значение, например, в физике в области прогнозирования движения тел (наиболее характерно для космических объектов (КО)), вычисления для которых сопряжены с флюктуационными ошибками измерений, широко известна одна из классических проблем небесной механики – задача «трех тел», в задачах обнаружения космических объектов и их сопровождению с целью поддержания необходимой точности параметров орбиты КО, в своевременном обнаружении непрогнозируемых изменений параметров движения КО в процессе статистической обработки поступающих траекторных измерений и решении задачи уточнения параметров движения КО, в цифровой обработке параметров изображений в условиях априорной неопределенности и других прикладных задачах. Полученные результаты иллюстрируются примерами. Рассмотрен непрерывный случай процессов поведения сигналов, ошибок измерения и фильтрации, где это исследование проще и нагляднее.

Задана линейная непрерывная динамическая система объект-измеритель

с неопределенными непрерывными по t⁡ ∈ [t0⁡,t1⁡] матрицами , ,  и  из интервалов

или в эквивалентной записи

где – полезный сигнал,  – возмущения в поведении сигнала, – измеряемый сигнал, - ошибки измерений.

При каждом фиксированном t , , , .

Матрицы , , , имеют соответcтвующие размерности. Пусть теперь - матрица, принимает всевозможные значения из компакта при любом t из интервала наблюдения Ω=[t1,t2]. Модули матриц и матричные неравенства в (3) и далее понимаются поэлементно. Матрицы A0(t⁡),bi0(t⁡), C0(t⁡),di0(t⁡) и ΔA(t⁡),Δbi(t⁡),ΔC(t⁡), Δdi(t⁡) составлены из середин и полудлин интервалов (4), границами , , , , , , ,  интервалов служат известные непрерывные матричные функции cоответствующих размерностей. Систему (1), (2) при A(t⁡)=A0(t⁡), bi(t⁡)=bi0(t⁡), C(t⁡)=C0(t⁡) и di(t⁡)=di0(t⁡) назовем центральной.

Предполагается, что система (1), (2) в отсутствие ошибок измерения и возмущений наблюдаема. Для стационарной системы, когда , , необходимое и достаточное условие наблюдаемости

,

[20]

,

[21]

заключается в том, что

Опираясь далее на качественную сторону теоремы Харитонова для слабо стационарных систем, будем предполагать, что центральные матрицы A0(t⁡), b0(t⁡), d0(t⁡) постоянны, а возмущения ΔA(t⁡), Δbi(t⁡), ΔC(t⁡), Δdi(t⁡) удовлетворяют условиям типа

с параметрами , , , , обеспечивающие робастную устойчивость слабо стационарной интервальной системы (1), (2) в рамках гурвицевой устойчивости

на всем интервале наблюдения Ω. Здесь ||⋅|| означает некоторую матричную норму, а , , ,  – диапазоны возможных возмущений в моделях матричных неопределенностей (3). Иногда такую модель также называют структурированной матричной неопределенностью . В этом робастно устойчивом смысле далее проведено исследование задач прогнозирования и интерполяции за пределами класса стационарных задач при ограничении ковариационных функций ограничениями на их дисперсионные матрицы (дисперсии).

Известно, что возмущения ηi(t⁡), i = 1,…,N и ошибки измерений ξi(t⁡), j = 1,…,M представляют собой среднеквадратично интегрируемые, некоррелированные случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями M[ηi(t⁡)] = 0, M[ξi(t⁡)] = 0, i = 1, …, N, j = 1, …, M. Известна корреляционная функция  (t) процесса ξ0(t⁡), t, τ∈Ω.

Относительно всех остальных процессов известно, что дисперсионные матрицы их ограничены положительно определенными матрицами, т.е.

(Здесь неравенство A > B (A > B) для любых симметричных матриц A и B понимается в том смысле, что разность A-B является неотрицательно (положительно) определенной матрицей). Каждое из ограничений в (4.2) определяет множества , , так что  есть прямое произведение первых множеств.

По измерениям ,  оценивается скаляр , где q – заданный вектор-столбец q ∈ Rn. Оценка ищется в классе линейных функционалов

При s∈Ω решается задача интерполяции при t1≤s≤t2, при s∉Ω задача экстраполяции или прогнозирования (s>t2). Точности этих последних задач одинаковы.

Поэтому ограничимся только прогнозом. Пусть – фундаментальная матрица системы

Предположим, что априорное значение фазового вектора  в любой момент времени t неизвестно. Поэтому оценка должна быть несмещенной

, т.е.

В силу наблюдаемости  множество функций , удовлетворяющих (6), не пусто. Множество весовых функций , удовлетворяющих условию (6), обозначим как λ(s⁡),

А фундаментальную матрицу центральной системы

через W0(t, ⁡τ). 

Очевидно матричное неравенство

Оценим максимальные отклонения от фундаментальной матрицы центральной системы по всем допустимым  не превосходящие с учетом равномерного уменьшения норм матриц ΔA(t),Δbi(t⁡),ΔC(t⁡), Δdi(t⁡) на отрезке Ω.

Используя (7) совместно с матричными экспонентами для описания пучка траекторий слабо стационарных интервальных однородных систем, можно получить оценки искомых отклонений со стационарными границами интервалов (A0(t) = A0, ΔA(t⁡) = ΔA) в виде

Последнее означает, что оценка (8) уменьшается, когда норма матрицы  равномерно на t∈Ω убывает, т.е. .

Аналогичное поведение в оценках отклонений наблюдается и в нестационарном случае, когда ||ΔA(t⁡) ||→0. Итак, для стационарного случая имеем оценку

Можно показать

, что для неоднородных слабо стационарных систем характер изменения искомых оценок в отклонениях фундаментальной матрицы системы (1), (2) не меняется, когда матричные нормы в отклонениях удовлетворяют условиям типа (4b). C учетом полученного вывода можно доказать, что характер изменения в отклонениях весовой функции минимаксного фильтра от номинального или центрального фильтра имеет аналогичное поведение c учетом условия несмещенности (6).

Если ввести относительную матричную невязку по максимальным отклонениям в фундаментальной матрице системы (1),(2) в виде  и взять ее верхнюю оценку по матричной норме , где 0<γW<1, то получим изменение по матричной норме для искомой весовой функции минимаксного экстраполятора от номинального фильтра в прежнем виде . С учетом сделанной оценки cправедливо соотношение

С учетом (6), меняя порядок интегрирования при вычислении влияния возмущения, получим то, что дисперсия ошибки оценивания  имеет вид:

где

Здесь 

Таким образом, дисперсия ошибки оценивания  есть функционал от весовой функции  и корреляционных функций

т. е.

Оптимальная гарантирующая оценка  находится минимизацией наибольшего значения дисперсии  для наихудшего поведения возмущений и неопределенных ошибок измерения в рамках ограничений, т.е.

В дальнейшем предположим, что составляющая ошибок с известной корреляционной функцией представляет собой “белый шум”, т.е.

где  – известная неособенная (положительно определенная) матрица интенсивности “белого шума”.

Приведенная постановка задачи характерна, в частности, для задач определения движения космического объекта, самолета по радиолокационным либо оптическим измерениям. Здесь флюктуационные (шумовые) ошибки измерений носят характер “белого шума”. Остальные составляющие ошибок и возмущений носят неопределенный характер – известна их дисперсия или в более общем случае дисперсионная матрица, т.е. эллипсоид, содержащий эти ошибки при фиксированном уровне доверительной информации α=0,1.

Начнем решение задачи с внутренней максимизации выражения (5) для дисперсии ошибок фильтрации. Для этого нам понадобится следующая теорема

.

Теорема 1. Пусть ξ(t⁡) – случайный (в общем случае векторный) процесс. На множестве случайных функций ξ(t⁡),t⁡∈ Ω определен линейный функционал

Относительно процесса ξ(t⁡) известно, что его дисперсионная матрица ограничена, т.е. множество его ковариационных функций определяется неравенством

Κ(t⁡) – положительно определенная матрица для любого .

Имеет место оценка дисперсии оценивания

При этом точная верхняя грань достигается на процессе вида ξ(t⁡)=μφ(t⁡), где μ – случайная величина: M[μ]=0,M[μ2]=1, φ(t⁡) – детерминированная векторная функция

 такая, что

т.е. K(t,t)=φ(t⁡)φT(t⁡).

Там, где g(t) = 0 в (16) имеет место знак равенства и

Доказательство теоремы приведено в 

.

Множество функций φ(t⁡), на которых достигается экстремум, очевидно является выпуклым, ограниченным и замкнутым в нормированном пространстве с нормой

Согласно теореме 1 максимальное значение дисперсии оценивания в (5) при фиксированной весовой функции  принимает вид:

При этом максимизирующие возмущения можно записать в виде квазидетерминированных случайных процессов

где случайные величины μi,νi не коррелированы между собой и

Неслучайные функции φi(t⁡) и ψi(t⁡) ограничены:

При этом имеет место знак равенства там, где :

Из (1) и представления случайных функций следует, что полезный сигнал можно записать в виде

Введем матрицы

 Тогда измеряемый сигнал принимает вид

где

Таким образом, задача минимизации сводится к совместной оценке параметров , , .

 Введем еще более краткую запись:

где

Обозначим также 

Имеет место:

Теорема 2. Минимизирующая весовая функция имеет вид:

 Дисперсия ошибки оценивания  имеет вид:

Здесь введены обозначения:

, E– единичная матрица размера N +M.

Доказательство этой теоремы приведено в Приложении.

Выражения (26), (27) вместе с выражениями (20), (21), (23), (24) и (27) полностью описывают искомый робастный фильтр и гарантированное качество фильтрации. При этом надо иметь в виду следующее. На множествах ,  там, где соответственно  и определяется вид функций φi(τ) и ψi(τ) таких, что в неравенствах (19) имеет место знак строгого неравенства. Эти множества характеризуют те интервалы измеряемой информации, которая не используется (отбраковывается) в фильтре. Это цена за недостаточно полное априорное описание неопределенных ошибок и возмущений. Если существует решение указанных уравнений для и функций φi(τ), ψi(τ), то существует и робастная в указанном выше нечетко - интервальном смысле седловая точка. Отметим, что критерий качества является квадратичным по робастной весовой функции и линейным по корреляционной функции возмущений.

Рассмотрим простейший случай, часто встречающийся на практике, когда на интервале наблюдения  измеряемый процесс изменяется по линейному закону , 0<γ<1, т.е. . Интервальная нечеткость модели задается параметром нечеткости . Ошибка измерений содержит флюктуационную ошибку (“белый шум” с матрицей интенсивности ) и неопределенную ошибку с дисперсией, ограниченной .

Здесь , , ,

Из (25) следует выражение для оптимальной весовой функции:

где

, ,

 где  – интервал используемой информации. Так как , .

где , , τк и τн – интервалы используемой информации соответственно в конце и начале интервала обработки. В середине интервала информация не используется.

Рассмотрим I случай.

Здесь ,  и весовая функция такая же, как и при отсутствии неопределенных ошибок (независимо от их величин)

Поскольку φ(t)=1, то должно быть  для всех .

А это возможно, если  и, следовательно, время экстраполяции относительно середины интервала обработки . Это решение задачи интерполяции для третьей части всего интервала обработки.

Рассмотрев второй и третий случаи можно сделать вывод

, что решение задачи интерполяции и прогнозирования в зависимости от соотношения ошибок в измерениях реализует все возможные ситуации. Возможно отбрасывание информации, как в конце наблюдения, так и в середине интервала. Интересно провести сравнение по гарантированной точности оценивания с робастным фильтром, настроенным только на флюктуационные ошибки, каковым является фильтр, полученный по методу наименьших квадратов в традиционном толковании. Поведение функций  и  при заданном параметре интервале нечеткости  показано на рисунке 1 при .

Фильтр, настроенный только на флюктуационные ошибки, имеет вид

и дает дисперсию суммарных ошибок

При  минимаксная интерполяция не дает выигрыша. Предельный выигрыш получается χ=0 (отсутствии флюктуационных ошибок)

и имеет вид

Наибольший выигрыш получается при оценке полезного сигнала в конце наблюдения  равен . Все случаи поведения ,  и  изображены на рисунке 1 в масштабе времени .

В качестве сравнения приведем также пример, позволяющий сравнить фильтры для устойчивой и неустойчивой слабостационарной системы первого порядка с заданной степенью устойчивости η. Рассмотрим случай неустойчивой системы первого порядка со степенью устойчивости η, измеряемый сигнал которой содержит неопределенную ошибку с дисперсией, ограниченной Dξ≤σ2 и спектральной плотностью . О корреляционной функции возмущения u(t) известно лишь ограничение на его дисперсию Mu2≤au т. е.

и быть может ограничение на область сосредоточения его спектральной плотности h(λ)=0 при λ∈Λ, Λ – заданное подмножество оси частот. Допущения (4б) обеспечивают переход системы фильтрации (уравнения (25), (26)) в стационарный режим. Обозначим . Введем обозначение

где  матричная функция, порожденная нечетко-интервальной скалярной функцией , где  – заданное нечеткое число, C0, b0 - постоянные матрицы центральной системы (1), (2). Можно показать

, что в этом случае уравнение для нахождения независимо от знака  принимает вид

где , .

Корреляционный момент  ( отнесенный к τ2) удовлетворяет уравнению

Частотная характеристика минимаксного робастно устойчивого интервального фильтра для  имеет вид

а для  -

,

где

Субоптимальный робастный минимаксный фильтр, получающийся при λ→∞ в обоих случаях имеет частотную характеристику

При этом проигрыш по отношению к среднеквадратическим не превышает 10%.

При малых λ→0 для устойчивой системы интервал неопределенности в оценке корреляционноцй функции  увеличивается приблизительно на η.

Это обстоятельство важно для практической реализации фильтра, решающего многокритериальную задачу.

Представленная работа посвящена вопросу робастного прогнозирования и интерполяции процесса, когда ковариационные функции ошибок измерения и возмущений в процессе полностью неизвестны и принадлежат к некоторому множеству  неотрицательно определенных функций в условиях робастной интервальной устойчивости в рамках H-устойчивости (гурвицевой устойчивости) в виде интервальной нечеткости присутствующей в коэффициентах состояния и измерителя динамической слабо нестационарной системы с ограничениями на дисперсионную матрицу случайных процессов (ошибок измерения и возмущений). В предположении выполнимости аналогов слабой робастной теоремы В.Л. Харитонова для непрерывного случая

получены робастно устойчивые слабо стационарные оценки весовых функций минимаксного робастного устойчивого фильтра для задач прогнозирования и интерполяции в смысле минимума среднеквадратической ошибки при наихудшем поведении ошибок измерений и возмущений с ковариационными функциями, принадлежащими множеству  неотрицательно определенных функций в условиях интервальной нечеткости в коэффициентах состояния и измерителя динамической слабо нестационарной системы с ограничениями на дисперсионную матрицу случайных процессов (ошибок измерения и возмущений) для несмещенной оценки искомых параметров полезного сигнала. При этом в работе получены оценки наибольшего значения дисперсии линейного функционала для оценок параметров полезного сигнала при наихудшем поведении возмущений и неопределенных ошибок измерения в рамках предполагаемых ограничений в виде теоремы для оптимальной робастно-устойчивой весовой функции для искомого фильтра.

Результаты данного исследования апробированы на примере линейно слабо стационарно изменяющегося процесса в виде полинома первой степени с интервальным коэффициентом нечеткости. Проведено сравнение искомого фильтра по гарантированной точности оценивания с фильтром, настроенным только на флюктуационные ошибки, каковым является фильтр, полученный по методу наименьших квадратов в традиционном толковании. Построены графики всех возможных случаев в поведении весовой функции минимаксного робастно-устойчивого фильтра первого и второго порядка при заданном параметре интервальной нечеткости, присутствующего в модели объекта, а также приведено сравнение фильтров для устойчивой и неустойчивой слабостационарной системы первого порядка с заданной степенью устойчивости η. Описанные в статье алгоритмы математического прогнозирования могут найти отражение не только в различных областях физики и других естественных наук (например, для наилучшей оценки параметров полезного сигнала), но и в гуманитарной сфере - при описании поведения систем с динамическим хаосом (эволюционизм в природе, теория фракталов сложных структур в результате самоорганизации, теория катастроф, лингвистическая прогностика и пр.). Автором рассмотрены алгоритмы вычислений в теории управления и самоорганизации, построенные на базе математических моделей и вычислительного эксперимента. Входные данные для оценки поведения нестационарного процесса в линейной ковариационной теории описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.