ON THE DERIVATION OF LIMITS FOR HIGHER-ORDER DERIVATIVES OF THE QUADRATIC LYAPUNOV FUNCTION
ON THE DERIVATION OF LIMITS FOR HIGHER-ORDER DERIVATIVES OF THE QUADRATIC LYAPUNOV FUNCTION
Abstract
The work solves the problem of obtaining limits on higher-order derivatives of a quadratic Lyapunov function due to a linear differential system with constant coefficients. The method is based on the application of Lagrange’s method of undetermined multipliers, which allows the limits on the derivatives of the quadratic function to be replaced by limits on its coefficients. As an illustration, the problem of finding constraints on the second- and third-order derivatives of a quadratic Lyapunov function, constructed subject to constraints on its first derivative arising from the system, is examined. The case of various negative real eigenvalues of the system matrix is discussed, as well as the case where all eigenvalues have negative real parts, are distinct and real, with the exception of a pair of complex-conjugate eigenvalues having the smallest absolute value of the real part.
1. Введение
Одним из наиболее часто применяемых методов при решении задач нахождения оптимальных управлений является метод функций Ляпунова . При этом традиционно трудности представляет вопрос о получении собственно функций Ляпунова, удобных при решении задачи в каждом конкретном случае. К счастью, во многих случаях в качестве функций Ляпунова могут быть использованы положительно определенные квадратичные формы, что облегчает задачу их построения . А уже сами квадратичные функции Ляпунова подбираются со свойствами, определяемыми особенностями рассмотренной задачи .
К настоящему времени появились методы исследования, использующие наряду с первой производной функции Ляпунова в силу системы производные высших порядков , , , . В представленной работе изложена методика получения ограничений на пределы изменения производных высших порядков квадратичной функции Ляпунова. Было показано, что ее производные второго и третьего порядка в силу системы также являются квадратичными формами. Впервые задача исследования производных порядка выше первого была сведена к задаче нахождения условных экстремумов, т.е. находились наибольшие или наименьшие значения соответствующих квадратичных форм при известных условиях. Для решения задачи нахождения условных экстремумов был использован метод неопределенных множителей Лагранжа. Предложенная методика была проиллюстрирована на примере квадратичных функций Ляпунова, удовлетворяющих заданному ограничению на ее первую производную в силу линейной автономной системы дифференциальных уравнений. При этом были рассмотрены два случая: случай, когда все собственные значения матрицы системы различны и отрицательны и случай, когда все собственные значения имеют отрицательные действительные части, различны и действительны, за исключением пары комплексно-сопряженных собственных значений, имеющих наименьший модуль действительной части.
2. Общая постановка задачи и условия, дающие ее решение
Для фиксированного
Функцию Ляпунова будем подбирать в классе квадратичных форм
Элементы постоянных
Матрица
В дальнейшем будем считать, что собственные значения
Аналогично можно показать, что вторая и третья производные функции (2) в силу (1) также будут квадратичными формами
Матрицы
Задача состоит в определении пределов изменения функций (4) и (5). При решении поставленной задачи воспользуемся следующим утверждением.
Лемма. Пусть даны две квадратичные формы
Элементы постоянных
Доказательство. Предположим, что квадратичная форма (6) является положительно определенной (случай ее отрицательной определенности рассматривается аналогично). Подобно , для определения экстремальных значений (7) в силу (8) воспользуемся методом неопределенных множителей
Лагранжа. Рассмотрим поверхность уровня
Выбирая в качестве исследуемой функции
Будучи системой линейных однородных уравнений (9) имеет ненулевые решения только, когда ее определитель равен нулю, т.е. имеет место (8). Все корни этого уравнения вещественны , и каждому корню
Лемма доказана.
Используя утверждение доказанной выше леммы, докажем следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1). Тогда наибольшее и наименьшее значения величины
причем
Доказательство. В силу доказанной выше леммы, наибольшее и наименьшее значения величины
По условию теоремы квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1), поэтому квадратичная форма (3) отрицательно определена, а значит,
В случае 1) обозначим через
в силу которого получаем оценку
В случае 2) собственному значению
Выберем тот вектор
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть квадратичная форма (2) удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда наибольшее и наименьшее значения величины
причем
Доказательство. В силу доказанной выше леммы, наибольшее и наименьшее значения величины
При доказательстве теоремы 1 показано, что
а поскольку значение
Теорема доказана.
И непосредственно из утверждения леммы может быть получена.
Теорема 3. Пусть квадратичная форма (2) удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда наибольшее и наименьшее значения величины
3. Частные случаи нахождения ограничений на производные функции Ляпунова высших порядков
Пусть квадратичная функция Ляпунова для системы (1) строится в соответствии с методикой работ , , основанной на переходе к каноническим координатам.
А. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) вещественны и различны; без нарушения общности считаем, что
приводящее систему к каноническому виду
(У матрицы B её k-й столбец является собственным вектором матрицы A соответствующим собственному значению
Таким образом, не ограничивая общности, можно предполагать, что система (1) имеет канонический вид (16). Причем матрицы квадратичных форм типа (3), (4) (5) примут вид:
Построим для системы (9) квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую равенству
Квадратичную функцию Ляпунова с
где
причем
Несложно убедиться, что при условии
Заметим, что в этом случае корнями уравнения (11) являются:
Величины
То есть
При
Корнями уравнения (13) являются:
где
При этом в неравенстве
При
Б. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) различны, причём комплексно-сопряжёнными между собой являются только корни с максимальной действительной частью.
Если
Кроме того будем считать, что
Заметим, что в этом случае корнями уравнения (11) являются:
Величины
При этом в неравенстве
При
Корнями уравнения (13) являются:
При
4. Заключение
В работе предложена новая методика получения ограничений на производные высших порядков квадратичной функции Ляпунова в силу линейной автономной системы дифференциальных уравнений, основанная на методе нахождения условных экстремумов квадратичных форм. Методика проиллюстрирована на примере квадратичных функций Ляпунова, удовлетворяющих заданному ограничению на первую производную в силу системы.