1. Введение

Одним из наиболее часто применяемых методов при решении задач нахождения оптимальных управлений является метод функций Ляпунова [1]. При этом традиционно трудности представляет вопрос о получении собственно функций Ляпунова, удобных при решении задачи в каждом конкретном случае. К счастью, во многих случаях в качестве функций Ляпунова могут быть использованы положительно определенные квадратичные формы, что облегчает задачу их построения [2]. А уже сами квадратичные функции Ляпунова подбираются со свойствами, определяемыми особенностями рассмотренной задачи [3].

К настоящему времени появились методы исследования, использующие наряду с первой производной функции Ляпунова в силу системы производные высших порядков [4], [5], [6], [7]. В представленной работе изложена методика получения ограничений на пределы изменения производных высших порядков квадратичной функции Ляпунова. Было показано, что ее производные второго и третьего порядка в силу системы также являются квадратичными формами. Впервые задача исследования производных порядка выше первого была сведена к задаче нахождения условных экстремумов, т.е. находились наибольшие или наименьшие значения соответствующих квадратичных форм при известных условиях. Для решения задачи нахождения условных экстремумов был использован метод неопределенных множителей Лагранжа. Предложенная методика была проиллюстрирована на примере квадратичных функций Ляпунова, удовлетворяющих заданному ограничению на ее первую производную в силу линейной автономной системы дифференциальных уравнений. При этом были рассмотрены два случая: случай, когда все собственные значения матрицы системы различны и отрицательны и случай, когда все собственные значения имеют отрицательные действительные части, различны и действительны, за исключением пары комплексно-сопряженных собственных значений, имеющих наименьший модуль действительной части.

2. Общая постановка задачи и условия, дающие ее решение

Для фиксированного [LATEX_FORMULA]n \in \mathbb{N}[/LATEX_FORMULA] будем рассматривать линейную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Функцию Ляпунова будем подбирать в классе квадратичных форм

Элементы постоянных [LATEX_FORMULA]n \times n[/LATEX_FORMULA]-матриц A и K вещественные. Первая производная [LATEX_FORMULA]\dot{V}_{(1)}(x)[/LATEX_FORMULA] квадратичной формы (2) в силу системы (1) также является квадратичной формой

Матрица [LATEX_FORMULA]A_{K}^{(1)}[/LATEX_FORMULA] симметрична.

В дальнейшем будем считать, что собственные значения [LATEX_FORMULA]\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}[/LATEX_FORMULA] матрицы A коэффициентов системы (1), т.е. корни уравнения [LATEX_FORMULA]\operatorname{det}\left(A-\lambda E_{n}\right)=0,[/LATEX_FORMULA] имеют отрицательные вещественные части, и что квадратичная форма (2) положительно определена (здесь En единичная [LATEX_FORMULA]n \times n[/LATEX_FORMULA]-матрица). Это предположение означает, в частности, что у системы (1) имеется [2] квадратичная функция Ляпунова.

Аналогично можно показать, что вторая и третья производные функции (2) в силу (1) также будут квадратичными формами

Матрицы [LATEX_FORMULA]A_{K}^{(2)}, A_{K}^{(3)}[/LATEX_FORMULA] симметричны.

Задача состоит в определении пределов изменения функций (4) и (5). При решении поставленной задачи воспользуемся следующим утверждением.

Лемма. Пусть даны две квадратичные формы

Элементы постоянных [LATEX_FORMULA]n \times n[/LATEX_FORMULA]-матриц D и C вещественные. И пусть (6) является знакоопределенной. Тогда наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\frac{Z(x)}{W(x)}[/LATEX_FORMULA] будут равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }[/LATEX_FORMULA] — наибольший и наименьший корни уравнения

Доказательство. Предположим, что квадратичная форма (6) является положительно определенной (случай ее отрицательной определенности рассматривается аналогично). Подобно [8], для определения экстремальных значений (7) в силу (8) воспользуемся методом неопределенных множителей

Лагранжа. Рассмотрим поверхность уровня [LATEX_FORMULA]W(x)=W_{0} .[/LATEX_FORMULA] Так как (6) есть положительно определенная квадратичная форма, то [LATEX_FORMULA]W(x)=W_{0}[/LATEX_FORMULA] представляет собой замкнутое ограниченное множество, и наибольшее и наименьшее значения (7) на этом множестве конечны и достигаются.

Выбирая в качестве исследуемой функции [LATEX_FORMULA]F(x)=Z(x)-\mu\left(W(x)-W_{0}\right),[/LATEX_FORMULA] для определения значений переменных и множителя Лагранжа [LATEX_FORMULA]\mu[/LATEX_FORMULA] приходим к системе уравнений

Будучи системой линейных однородных уравнений (9) имеет ненулевые решения только, когда ее определитель равен нулю, т.е. имеет место (8). Все корни этого уравнения вещественны [9], и каждому корню [LATEX_FORMULA]\mu[/LATEX_FORMULA] соответствуют значения [LATEX_FORMULA]\frac{z}{w}=\mu, \theta_{i}=\frac{x_{i}}{x_{n}},[/LATEX_FORMULA] позволяющие найти из (10) найти точки поверхности, в которых это значение достигается. Поэтому, хотя метод неопределенных множителей Лагранжа дает необходимое условие существования условных экстремумов, последнее утверждение позволяет сделать вывод, что минимальное и максимальное значения [LATEX_FORMULA]Z(x)[/LATEX_FORMULA] на поверхности уровня [LATEX_FORMULA]W(x)=W_{0}[/LATEX_FORMULA] будут равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }W_0[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}W_0[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}[/LATEX_FORMULA] - наибольший и наименьший корни уравнения (8). А т.к. [LATEX_FORMULA]W_0[/LATEX_FORMULA] - любое положительное число, то наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\frac{Z(x)}{W(x)}[/LATEX_FORMULA] будут равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}[/LATEX_FORMULA].

Лемма доказана.

Используя утверждение доказанной выше леммы, докажем следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1). Тогда наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\dot{V}_{(1)} / V[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\dot{V}_{(1)}[/LATEX_FORMULA] есть первая производная (2) в силу (1), равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(1)}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(1)}[/LATEX_FORMULA] - наибольший и наименьший корни уравнения

причем [LATEX_FORMULA]2 \max _{i=1, n} \operatorname{Re} \lambda_{i} \leq \mu_{\max }^{(1)}<0 .[/LATEX_FORMULA]

Доказательство. В силу доказанной выше леммы, наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\dot{V}_{(1)} / V[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\dot{V}_{(1)}[/LATEX_FORMULA] есть первая производная (2) в силу (1), равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(1)}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(1)}[/LATEX_FORMULA] — наибольший и наименьший корни уравнения. Осталось доказать ограничения на величину [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}.[/LATEX_FORMULA]

По условию теоремы квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1), поэтому квадратичная форма (3) отрицательно определена, а значит, [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}<0[/LATEX_FORMULA]. Следовательно, для завершения доказательства теоремы остаётся установить справедливость неравенства [LATEX_FORMULA]2 \max _{i=1, n} \operatorname{Re} \lambda_{i} \leq \mu_{\max }^{(1)}[/LATEX_FORMULA]. Пусть, без нарушения общности, вещественная часть собственного значения [LATEX_FORMULA]\lambda_{n}[/LATEX_FORMULA] матрицы A не меньше, чем вещественные части остальных её собственных значений. Могут представиться только два случая: либо 1)[LATEX_FORMULA]\operatorname{Im} \lambda_{n}=0,[/LATEX_FORMULA] либо 2) [LATEX_FORMULA]\operatorname{Im} \lambda_{n} \neq 0[/LATEX_FORMULA]. Рассмотрим каждый из них отдельно.

В случае 1) обозначим через [LATEX_FORMULA]y \in \mathbb{R}^{n}[/LATEX_FORMULA] собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению [LATEX_FORMULA]\lambda_{n}[/LATEX_FORMULA]. Тогда собственного значения [LATEX_FORMULA]A y=\lambda_{n} y[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]y^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=\lambda_{n} y^{\mathrm{T}} .[/LATEX_FORMULA] Поэтому верно равенство

в силу которого получаем оценку

В случае 2) собственному значению [LATEX_FORMULA]\lambda_{n}=\alpha+i \beta[/LATEX_FORMULA] матрицы A отвечает в пространстве [LATEX_FORMULA]\mathbb{C}^{\mathrm{T}}[/LATEX_FORMULA] собственный вектор [LATEX_FORMULA]y=y_{1}+i y_{2}, \quad y_{i} \in \mathbb{R}^{n}, \quad i=1,2 .[/LATEX_FORMULA] Раскрывая в равенстве [LATEX_FORMULA]A\left(y_{1}+i y_{2}\right)=(\alpha+i \beta)\left(y_{1}+i y_{2}\right)[/LATEX_FORMULA] скобки и отделяя вещественную и мнимую части, получаем [LATEX_FORMULA]A y_{1}=\alpha y_{1}-\beta y_{2},[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]A y_{2}=\beta y_{1}+\alpha y_{2}[/LATEX_FORMULA] и, следовательно, [LATEX_FORMULA]y_{1}^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=\alpha y_{1}^{\mathrm{T}}-\beta y_{2}^{\mathrm{T}},[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]y_{2}^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=\alpha y_{2}^{\mathrm{T}}+\beta y_{1}^{\mathrm{T}} .[/LATEX_FORMULA] В силу двух последних соотношений несложно убедиться в том, что имеет место равенство

Выберем тот вектор [LATEX_FORMULA]y_{i}[/LATEX_FORMULA], для которого второе слагаемое в правой части неотрицательно. Тогда при таком [LATEX_FORMULA]y_{i}[/LATEX_FORMULA]вследствие (12) справедливо неравенство [LATEX_FORMULA]y_{i}^{\mathrm{T}} A_{K}^{(1)} y_{i} \geq 2 \alpha y_{i}^{\mathrm{T}} K y_{i}[/LATEX_FORMULA], в силу которого и положительной определенности квадратичной формы (2) получаем оценку

[LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(1)}=\max _{x \neq 0} \frac{x^{\mathrm{T}} A_{K}^{(1)} x}{x^{\mathrm{T}} K x} \geq \frac{y_{i}^{\mathrm{T}} A_{K}^{(1)} y_{i}}{y_{i}^{\mathrm{T}} K y_{i}} \geq \frac{2 \alpha y_{i}^{\mathrm{T}} K y_{i}}{y_{i}^{\mathrm{T}} K y_{i}}=2 \alpha=2 \operatorname{Re} \lambda_{n} .[/LATEX_FORMULA]

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть квадратичная форма (2) удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\ddot{V}_{(1)} / V[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\ddot{V}_{(1)}[/LATEX_FORMULA] есть вторая производная (2) в силу (1), равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(2)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(2)}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(2)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(2)}[/LATEX_FORMULA] — наибольший и наименьший корни уравнения

причем [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)} \leq 4 \min _{i=1, n} R e^{2} \lambda_{i} .[/LATEX_FORMULA]

Доказательство. В силу доказанной выше леммы, наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\ddot{V}_{(1)} / V[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\ddot{V}_{(1)} [/LATEX_FORMULA] есть вторая производная (2) в силу (1), равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(2)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(2)}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(2)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(2)}[/LATEX_FORMULA] - наибольший и наименьший корни уравнения (13). Осталось доказать ограничения на величину [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(2)}[/LATEX_FORMULA].

При доказательстве теоремы 1 показано, что [LATEX_FORMULA]\max \dot{V}_{(1)} / V \geq 2 \max _{i=1, n} \operatorname{Re} \lambda_{i} .[/LATEX_FORMULA] А т. к. [LATEX_FORMULA]V(x)[/LATEX_FORMULA] является функцией Ляпунова системы (1), то квадратичная форма [LATEX_FORMULA]\dot{V}_{(1)} (x)[/LATEX_FORMULA] является отрицательно определенной. Поэтому, как и предыдущем случае, получаем [LATEX_FORMULA]\ddot{V}_{(1)} / \dot{V}_{(1)} \geq 2 \max _{i=1, n} \operatorname{Re} \lambda_{i} .[/LATEX_FORMULA] Но тогда

а поскольку значение [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)}=\ddot{V}_{(1)} / V[/LATEX_FORMULA] реально принимается, то [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)} \leq 4 \min _{i=1, n} R e^{2} \lambda_{i} .[/LATEX_FORMULA]

Теорема доказана.

И непосредственно из утверждения леммы может быть получена.

Теорема 3. Пусть квадратичная форма (2) удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда наибольшее и наименьшее значения величины [LATEX_FORMULA]\dddot{V}_{(1)} / V[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\dddot{V}_{(1)}[/LATEX_FORMULA] есть третья производная (2) в силу (1), равны [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(3)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(3)}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu_{\max }^{(3)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\mu_{\min}^{(3)}[/LATEX_FORMULA] — наибольший и наименьший корни уравнения

3. Частные случаи нахождения ограничений на производные функции Ляпунова высших порядков

Пусть квадратичная функция Ляпунова для системы (1) строится в соответствии с методикой работ [10], [11], основанной на переходе к каноническим координатам.

А. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) вещественны и различны; без нарушения общности считаем, что [LATEX_FORMULA]\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}<0 .[/LATEX_FORMULA] Тогда существует линейное невырожденное преобразование координат

приводящее систему к каноническому виду [10]

(У матрицы B её k-й столбец является собственным вектором матрицы A соответствующим собственному значению [LATEX_FORMULA]\lambda_{k}[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]k=\overline{1, n} .[/LATEX_FORMULA]) При этом квадратичные формы (2), (3), (4) и (5) перейдут соответственно в квадратичные формы [LATEX_FORMULA]W(\xi), \dot{W}_{(16)}(\xi), \ddot{W}_{(16)}(\xi), \dddot{W}_{(16)}(\xi),[/LATEX_FORMULA] причём [3]

Таким образом, не ограничивая общности, можно предполагать, что система (1) имеет канонический вид (16). Причем матрицы квадратичных форм типа (3), (4) (5) примут вид: [LATEX_FORMULA]A_{K}^{(1)}=\left(\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right) K_{i j}\right)_{i, j=1}^{n}, A_{K}^{(2)}=\left(\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)^{2} K_{i j}\right)_{i, j=1}^{n},[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]A_{K}^{(3)}=\left(\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)^{3} K_{i j}\right)_{i, j=1}^{n} .[/LATEX_FORMULA]

Построим для системы (9) квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую равенству [LATEX_FORMULA]\max \limits_{W=W_{0} \neq 0} \dot{W}_{(16)}=\delta W_{0},[/LATEX_FORMULA] где в качестве заранее выбранной величины [LATEX_FORMULA]\delta[/LATEX_FORMULA] можно взять любое число из полуинтервала [LATEX_FORMULA]\left[2 \lambda_{n}, 0\right) .[/LATEX_FORMULA]

Квадратичную функцию Ляпунова с [LATEX_FORMULA]\max \limits_{W=W_{0} \neq 0} \dot{W}_{(16)}=\delta W_{0},[/LATEX_FORMULA] зададим следующим образом:

где

причем [LATEX_FORMULA]K_{i i}>0, i=\overline{1, n}, K_{n-1, n}^{2}=\left(1-R(\delta) K_{n-1, n-1} K_{n n}\right),[/LATEX_FORMULA] а [LATEX_FORMULA]R(\delta)=\left(\lambda_{n-1}-\lambda_{n}\right)^{2}\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}-\delta\right)^{-2}[/LATEX_FORMULA].

Несложно убедиться, что при условии [LATEX_FORMULA]\delta \in\left[2 \lambda_{n}, 0\right)[/LATEX_FORMULA] величина [LATEX_FORMULA]R(\delta)[/LATEX_FORMULA] принадлежит полуинтервалу [LATEX_FORMULA]\left[\left(\lambda_{n-1}-\lambda_{n}\right)^{2}\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)^{-2}, 1\right),[/LATEX_FORMULA] а квадратичные формы с матрицами K и [LATEX_FORMULA]A_{K}^{(1)}[/LATEX_FORMULA]соответственно положительно и отрицательно определены. (Переходя обратно от канонических переменных к переменным [LATEX_FORMULA]x_{1}, \ldots, x_{n}[/LATEX_FORMULA], мы получим квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую заданным ограничениям).

Заметим, что в этом случае корнями уравнения (11) являются:

Величины [LATEX_FORMULA]\mu_{i}^{(2)}=4 \lambda_{i}^{2}, i=\overline{1, n-2}[/LATEX_FORMULA] очевидно положительны. А [LATEX_FORMULA]\mu_{n-1, n}^{(2)}>0[/LATEX_FORMULA] при [LATEX_FORMULA]R(\delta) \in\left(1-4 \lambda_{n-1}^{2} \lambda_{n}^{2}\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)^{-2}, 1\right][/LATEX_FORMULA].

То есть [LATEX_FORMULA]\ddot{W}_{(16)}[/LATEX_FORMULA] положительна при [LATEX_FORMULA]R(\delta) \in\left(1-4 \lambda_{n-1}^{2} \lambda_{n}^{2}\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)^{-2}, 1\right][/LATEX_FORMULA]. При этом в неравенстве [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)} \leq \frac{\ddot{V}_{(1)}}{V}=\frac{\ddot{W}_{(16)}}{W} \leq \mu_{\max }^{(2)}[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)}=\min \left\{\mu_{n-2}^{(2)}, \mu_{n-1}^{(2)}\right\}, \mu_{\max }^{(2)}=\max \left\{\mu_{1}^{(2)}, \mu_{n}^{(2)}\right\} .[/LATEX_FORMULA]

При [LATEX_FORMULA]R(\delta)=1[/LATEX_FORMULA] (т.е. [LATEX_FORMULA]\delta=2 \lambda_{n}[/LATEX_FORMULA]) [LATEX_FORMULA]\mu_{i}^{(2)}=4 \lambda_{i}^{2}, i=\overline{1, n},[/LATEX_FORMULA] т.е. вторая производная [LATEX_FORMULA]\ddot{W}_{(16)}[/LATEX_FORMULA] положительна, причем [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)}=4 \lambda_{n}^{2}, \mu_{\max }^{(2)}=4 \lambda_{1}^{2}[/LATEX_FORMULA].

Корнями уравнения (13) являются:

где

При этом в неравенстве [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(3)} \leq \frac{\dddot{V}_{(1)}}{\dot{V}_{(1)}}=\frac{\dddot{W}_{(16)}}{\dot{W}_{(16)}} \leq \mu_{\max }^{(3)}[/LATEX_FORMULA]

[LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(3)}=\min \left\{\mu_{n-1}^{(3)}, \mu_{n}^{(3)}\right\}, \mu_{\max }^{(3)}=\max \left\{\mu_{1}^{(3)}, \mu_{n-1}^{(3)}\right\} .[/LATEX_FORMULA]

При [LATEX_FORMULA]R(\delta)=1[/LATEX_FORMULA] (т.е. [LATEX_FORMULA]\delta=2 \lambda_{n}[/LATEX_FORMULA]) [LATEX_FORMULA]\mu_{i}^{(3)}=4 \lambda_{i}^{2}, i=\overline{1, n},[/LATEX_FORMULA] т.е. третья производная функции Ляпунова отрицательна, причем [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(3)}=4 \lambda_{n}^{2}, \mu_{\max }^{(3)}=4 \lambda_{1}^{2}[/LATEX_FORMULA] (здесь корни стоят в квадрате, поскольку рассматривается отношение третьей производной к первой производной, а не к самой функции Ляпунова).

Б. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) различны, причём комплексно-сопряжёнными между собой являются только корни с максимальной действительной частью.

Если [LATEX_FORMULA]\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\operatorname{Re} \lambda_{n-1}=\operatorname{Re} \lambda_{n}<0,[/LATEX_FORMULA] где [LATEX_FORMULA]\lambda_{n-1, n}=\alpha \pm i \beta,[/LATEX_FORMULA] то для канонической системы дифференциальных уравнений [11] квадратичную функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию [LATEX_FORMULA]\max \limits_{W=W_{0} \neq 0} \dot{W}=\delta W_{0},[/LATEX_FORMULA] можно искать в виде подобном (18), где

Кроме того будем считать, что [LATEX_FORMULA]K_{n-1, n-1}=K_{n n} .[/LATEX_FORMULA] (Переходя обратно от канонических переменных к переменным [LATEX_FORMULA]x_1,...x_n,[/LATEX_FORMULA], мы получим квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую заданным ограничениям).

Заметим, что в этом случае корнями уравнения (11) являются:

[LATEX_FORMULA]\mu_{n-1, n}^{(2)}=4 \alpha^{2}+(\delta-2 \alpha)^{2} \pm|\delta-2 \alpha| \sqrt{(\delta-2 \alpha)^{2}+4\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)}[/LATEX_FORMULA],

Величины [LATEX_FORMULA]\mu_{i}^{(2)}=4 \lambda_{i}^{2}, \quad i=\overline{1, n-2} [/LATEX_FORMULA] очевидно положительны. А [LATEX_FORMULA]\mu_{n-1, n}^{(2)}>0[/LATEX_FORMULA] всегда при [LATEX_FORMULA]|\alpha|>|\beta|,[/LATEX_FORMULA] а при [LATEX_FORMULA]|\alpha| \leq|\beta| \delta \in\left(2 \alpha-\frac{2 \alpha^{2}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}, 2 \alpha+\frac{2 \alpha^{2}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}\right) .[/LATEX_FORMULA] Вторая производная положительна, если [LATEX_FORMULA]\mu_{i}^{(2)}>0(i=\overline{1, n}) .[/LATEX_FORMULA]

При этом в неравенстве [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)} \leq \frac{\dddot{V}_{(1)}}{\dot{V}_{(1)}}=\frac{\dddot{W}_{(16)}}{\dot{W}_{(16)}} \leq \mu_{\max }^{(2)}[/LATEX_FORMULA]

[LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)}=\min \left\{\mu_{n-2}^{(2)}, \mu_{n-1}^{(2)}\right\}, \mu_{\max }^{(2)}=\max \left\{\mu_{1}^{(2)}, \mu_{n}^{(2)}\right\} .[/LATEX_FORMULA]

При [LATEX_FORMULA]\delta=2 \alpha[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]\mu_{n-1, n}^{(2)}=4 \alpha^{2},[/LATEX_FORMULA] причем [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(2)}=4 \alpha^{2}, \mu_{\max }^{(2)}=4 \lambda_{1}^{2}[/LATEX_FORMULA].

Корнями уравнения (13) являются:

При [LATEX_FORMULA]\delta=2\alpha[/LATEX_FORMULA] причем [LATEX_FORMULA]\mu_{\min }^{(3)}=4 \alpha^{2}, \mu_{\max }^{(3)}=4 \lambda_{1}^{2}[/LATEX_FORMULA] (здесь корни стоят в квадрате, поскольку рассматривается отношение третьей производной к первой производной, а не к самой функции Ляпунова).

4. Заключение

В работе предложена новая методика получения ограничений на производные высших порядков квадратичной функции Ляпунова в силу линейной автономной системы дифференциальных уравнений, основанная на методе нахождения условных экстремумов квадратичных форм. Методика проиллюстрирована на примере квадратичных функций Ляпунова, удовлетворяющих заданному ограничению на первую производную в силу системы.

The additional file for this article can be found as follows: