WIND INFLUENCE ON CONVECTIVE FLOW OF VISCOUS INCOMPRESSIBLE VERTICALLY SWIRLING FLUID

Research article
DOI:
https://doi.org/10.60797/IRJ.2024.143.180
Issue: № 5 (143) S, 2024
Suggested:
27.02.2024
Accepted:
12.03.2024
Published:
31.05.2024
66
3
XML
PDF

Abstract

The article is dedicated to the study of the effect of wind influence on the convective flow of a viscous, incompressible vertically swirling fluid. The study is carried out using a mathematical model describing this flow. The authors analyse the influence of wind parameters on the main characteristics of convective flow, such as velocity, degree of vorticity, temperature and pressure.

This work presents an analytical solution of the system of differential equations describing a stationary convective fluid flow for the velocity field from the class of solutions linear in part of the variables.

The results obtained increase our knowledge of the processes occurring in the environment and may be useful for further research in the field of hydrodynamics and hydrodynamic stability.

1. Введение

В настоящее время описание процессов в жидких и газообразных средах представляет интерес для исследования. Развитие технологий и возможность их применения в производстве играют важную роль в жизни современного общества. Исследования, направленные на изучение и описание течений жидкости, используются в динамике плазмы, разработке хладогентов и т. п.

Для описания течения жидкостей применяются математические модели. Традиционно используется система уравнений тепловой конвекции

,
, состоящей из уравнений Навье-Стокса, уравнения теплопроводности и уравнения несжимаемости жидкости.

В статье представлены результаты анализа аналитических решений исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Нетривиальной задачей является выбор граничных условий, от которых в существенной степени зависят свойства течения. В статье исследованы случаи при условии прилипания на границе жидкости с твердой поверхностью

. На свободной же поверхности используется условие, задающее скорости, температуру и давление при контакте жидкости с воздухом. Такие граничные условия могут описывать воздействие ветра на слой жидкости.

2. Постановка задачи

Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном слое постоянной толщины h. Конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости традиционно описывается следующей системой уравнений

,
:

- уравнение Навье-Стокса в приближении Буссинеска:

img
(1)

- уравнение теплопроводности:

img
(2)

- уравнение несжимаемости жидкости:

img
(3)

Здесь img – компоненты скорости, параллельные соответствующим осям координат прямоугольной декартовой системы img. Система координат введена так, что ось imgнаправлена строго вверх. img – отклонение давления от гидростатического, отнесённое к постоянной средней плотности жидкости img – отклонение температуры от средней, img – температурный коэффициент объемного расширения, img – коэффициент кинематической вязкости, img – коэффициент температуропроводности рассматриваемой жидкости.

Имеются пять уравнений (1)-(3) и 4 неизвестных img. Такая система является переопределенной. Будем искать решение для ненулевых компонент вектора скорости (img) в виде

,
,
,
:

img
(4)

При подстановке представления (4) в уравнение несжимаемости (3) уравнение (3) удовлетворяется тождественно. Проблема с переопределением разрешена.

После неcложных преобразований получаем итоговую систему уравнений:

img
(5)

В итоге система уравнений в частных производных (1)-(3) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5) для нахождения неизвестных функций img.

Учитывая, что img и img, функции отклонения давления и температуры примут вид:

img.

Общее решение системы (5) представляет собой набор полиномиальных функций не выше четырнадцатой степени.

3. Краевая задача

В решение системы (5) входят пятнадцать постоянных интегрирования, для их определения потребуются граничные условия. Будем рассматривать течение в слое жидкости толщины h, нижней границе которого соответствует значение z = 0 вертикальной координаты. Положим, что на нижней границе выполняется условие прилипания, а также известно распределение температуры:

img

На верхней же границе (при z = h) положим известными распределение поля скорости, температуры и давления:

img

Здесь – значение фоновой скорости течения жидкости на верхней поверхности слоя, угол img характеризует направление вектора скорости по отношению к координатным осям img – завихренность.

По известным краевым условиям определим постоянные интегрирования, находя таким образом частное решение системы (5). Для упрощения анализа выполнен переход к безразмерной координате Z, произведя замену img Поскольку imgтогда img Аналогично частное решение является набором полиномов не выше четырнадцатой степени:

img
(6)

где img многочлены порядка не выше четырнадцатого.

4. Основные результаты

4.1. Анализ скорости v

Первоначально разберём свойства скорости v, определяемой выражением (6).

Проведем для дальнейшего удобства некоторые простые преобразования и введем ряд соответствующих обозначений:

img

При этом представим функцию img в виде

img

где

img

а индекс i коэффициента ai соответствует члену i-ой степени (по вертикальной координате Z).

Так же заметим зависимость коэффициентов a6, a3 от коэффициентов  a2, a5

img

Тогда функция f(Z) перепишется в виде

img
(7)

В итоге скорость v будет описываться следующим выражением:

img
(8)

Как ранее было сказано, скорость v принимает нулевое значение на границе слоя Z=0, что видно из структуры выражения (8). Поэтому далее будем искать точки обращения функции f в нуль внутри слоя, таким образом определять застойные точки течения и возможные противотечения в слое [0,1].

Необходимо рассмотреть различные комбинации значений констант  для анализа поведения скорости (8). Заметим, что случаи img img img не представляют интерес, так как функция f либо принимает постоянное значение, либо является линейной. Поэтому рассмотрим менее тривиальные варианты комбинаций. Для схематизации дальнейшего исследования разобьем все возможные случаи на группы: для начала рассмотрим варианты, в которых лишь один коэффициент из ai равен нулю. Далее будем рассматривать все более общие случаи и, наконец, исследуем наиболее общий из них, где ни один из коэффициентов из ai  в нуль не обращается.

Группа I: лишь один коэффициент из  ai (i = 0,1,2,5) равен нулю

I.1) Пусть img .

Наибольшее число внутренних застойных точек равняется двум, что проиллюстрировано на рисунке 1.
Профиль скорости v при a5 = 0, a0a1a2 ≠ 0

Рисунок 1 - Профиль скорости v при a5 = 0, a0a1a2 ≠ 0

I.2) Пусть img

Этот случай реализуется при A=0 Тогда компонента скорости v имеет не более двух нулевых точек внутри рассматриваемого слоя
(см. рисунок 2).
Профиль скорости v при a2 = 0, a0a1a5 ≠ 0

Рисунок 2 - Профиль скорости v при a2 = 0, a0a1a≠ 0

I.3) Пусть img

Такая ситуация возможна лишь при ненулевых значениях параметров img (в противном случае автоматически получаем a2 = a5 = 0). Аналогично предыдущему
, компонента скорости v имеет внутри слоя не более двух застойных точек (см. рисунок 3).
Профиль скорости v при  a1 = 0, a2a5a0 ≠ 0

Рисунок 3 - Профиль скорости v при  a1 = 0, a2a5a≠ 0

I.4) Пусть img

Этот случай возможен при W = 0 и/или img и одновременном не равенстве нулю параметров img, для того, чтобы избежать ситуации img

Исследуя монотонность этой функции, делаем вывод, что внутри исследуемого слоя скорость v также может иметь не более двух нулей (см. рисунок 4).
Профиль скорости v при a0 = 0, a1a2a5 ≠ 0

Рисунок 4 - Профиль скорости v при a0 = 0, a1a2a≠ 0

Из приведенных выше рассуждений видно, что во всех случаях, когда только один из коэффициентов  img равен нулю, скорость v имеет одинаковое максимальное число точек застоя, равное двум (см. рисунок 1-4).

Группа II: только два коэффициента из imgравны нулю

II.1) Пусть img

Такая комбинация осуществима при A=0, B=0 и/или imgФункция f принимает линейный вид, и, очевидно, она имеет внутри слоя img лишь один нуль, что проиллюстрировано на рисунке 5.
Профиль скорости v при a2 = a5 = 0, a0a1 ≠ 0

Рисунок 5 - Профиль скорости v при a2 = a5 = 0, a0a1 ≠ 0

II.2) Пусть img

Это возможно при img В слое не может существовать более одной нулевой точки скорости v (см. рисунок 6).
Профиль скорости v при a0 = a5 = 0, a1a2 ≠ 0

Рисунок 6 - Профиль скорости v при a= a5 = 0, a1a≠ 0

II.3) Пустьimg

Этот случай возможен при img

Скорость v имеет не более двух нулей в слое img что показано на рисунке 7.

Профиль скорости v при a0 = a1 = 0, a2a5 ≠ 0

Рисунок 7 - Профиль скорости v при a0 = a= 0, a2a≠ 0

II.4) Пусть img

Данная ситуация реализуется при img

Исследовав монотонность функции, выясняем, что f монотонна на всем промежутке (0,1) и поэтому может иметь лишь один нуль внутри рассматриваемого слоя. Соответствующий профиль скорости v изображен на рис. 8.
Профиль скорости v при a1 = a2 = 0, a1a5 ≠ 0

Рисунок 8 - Профиль скорости v при a= a= 0, a1a5 ≠ 0

II.5) Пусть img

Этот случай возможен при img Так как функция оказывается монотонной на отрезке [0,1], она имеет лишь один нуль на этом отрезке. Получаем профиль, представленный на рисунке 9.

Профиль скорости v при a0 = a2 = 0, a1a5 ≠ 0

Рисунок 9 - Профиль скорости v при a= a2 = 0, a1a5 ≠ 0

II.6) Пусть img

Этот случай осуществим при img. Функция строго монотонна на этом интервале (0,1) и имеет одну нулевую точку (см. рисунок 10).
Профиль скорости v при a1 = a5 = 0, a0a2 ≠ 0

Рисунок 10 - Профиль скорости v при a= a= 0, a0a≠ 0

Заметим, что в случаях II.1)-II.6) (и на рисунках 5-10 соответственно) прослеживается закономерность: для случаев с двумя (из четырех) равными нулю параметрами img  скорость v имеет внутри исследуемого слоя лишь одну застойную точку.

Группа III: ровно три коэффициента из img равны нулю.

III.1) Пусть img

Тогда img. На отрезке [0,1] полином f строго монотонен и при этом имеет экстремум в точке Z=0, то есть функция f, преодолевая Z=0 далее либо возрастает, либо убывает, не пересекая ось Z. Профиль скорости v в этом случае представлен на рисунке 11.
Профиль скорости v при a0 = a1 = a5 = 0, a2 ≠ 0

Рисунок 11 - Профиль скорости v при a= a= a5 = 0, a2 ≠ 0

III.2) Пусть img.

Этот случай реализуется при img. На промежутке (0,1) нулей функция не имеет. Тогда скорость v в слое img имеет единственный нуль на границе Z=0 рассматриваемого слоя и ни одного нуля внутри (см. рисунок 12).
Профиль скорости v при a0 = a1 = a5 = 0, a2 ≠ 0

Рисунок 12 - Профиль скорости v при a0 = a1 = a5 = 0, a2 ≠ 0

Заметим, что случаи III.3) img и III.4) img обсуждались выше ввиду их тривиальности.

Аналогично предыдущим выводам, подведем итог, что для вариантов с тремя нулевыми коэффициентами и img скорость v не имеет внутри слоя img застойных точек вовсе (см. рисунки 11-12).

Группа IV: ни один из коэффициентов img не равен нулю

В эту группу попадает только один случай, он вынесен в классификацию этой группы. Это наиболее общий случай из исследуемых. Это возможно при img, но не только при этом сочетании значений параметров. Функция f из выражения (7) является линейной комбинацией трех монотонных на исследуемом интервале функций. Из чего следует, что компонента скорости v имеет внутри рассматриваемого слоя img  не более трех точек застоя [9]. Данный факт проиллюстрирован на рисунке 13.
Профиль скорости v при a0 a1 a2a5  ≠ 0

Рисунок 13 - Профиль скорости v при a0 a1 a2a5 ≠ 0

Рассмотрев различные вариации значений параметров для скорости  v, получили, что компонента скорости может как не иметь нулей в рассматриваемом слое вовсе, так и иметь не более трех застойных точек внутри слоя, таким образом разделяя его на четыре подслоя с возможной сменой направления течения (см. рисунок 13).

5. Анализ скорости u

Перейдем к анализу компоненты u скорости Vx, описываемой решением (6). Для скорости u справедливо представление 

img

Произведем замену для упрощения дальнейших рассуждений.

img

где индексы i коэффициентов b соответствуют степени вертикальной координаты Z и

img

Заметим, что не все коэффициенты являются независимыми

img

Тогда функция g преобразуется к виду:

img

В итоге компонента скорости u представима в виде:

img
(9)

Из структуры выражения (9) видно, что скорость u принимает нулевое значение на нижней границе исследуемого слоя Z=0 Для нахождения остальных нулевых точек, необходимо подробнее рассмотреть поведение функции g. Как и при анализе скорости v, можно рассмотреть все возможные сочетания значений коэффициентов img, но это очень трудоемкая и не эффективная аналитическая работа, так как в случае анализа функции (9) на наличие нулей придется рассмотреть 128 вариантов. Избегая такой ситуации, рассмотрим сразу общий случай (9) когда img.

Скорость u (9) может принимать нулевое значение внутри слоя, только если полином g имеет на интервале (0,1) действительные корни.

Компонента скорости u может иметь внутри слоя img не более шести застойных точек (см. рисунок 14).
Профиль скорости u при b0b1b2b3b4b5b8  ≠ 0

Рисунок 14 - Профиль скорости u при b0b1b2b3b4b5b8  ≠ 0

6. Заключение

В данной статье рассмотрена краевая задача, описывающая конвективное течение вязкой несжимаемой вертикально завихренной жидкости в горизонтальном слое. Получено ее точное решение при условии прилипания жидкости на нижней границе слоя. Рассмотрено возможное поведение поля скорости течения в зависимости от задаваемых на верхней границе исследуемого слоя жидкости условий. Было показано, что в слое жидкости могут возникать области с обратным течением, причем в рассматриваемом слое может существовать не более четырех подслоев с разным направлением течения. Показано, что число застойных точек (и соответственно подслоев) может меняться в зависимости от значений параметров краевой задачи.  Также было показано, что могут существовать области, в которых касательное напряжение меняет свой тип – с растягивающего на сжимающее и наоборот. В ходе работы также были получены аналитические выражения для компонент полей температуры и давления. Анализ этих выражений не вошел в содержание данной статьи.

Article metrics

Views:66
Downloads:3
Views
Total:
Views:66