1. Введение
В настоящее время описание процессов в жидких и газообразных средах представляет интерес для исследования. Развитие технологий и возможность их применения в производстве играют важную роль в жизни современного общества. Исследования, направленные на изучение и описание течений жидкости, используются в динамике плазмы, разработке хладогентов и т. п.
Для описания течения жидкостей применяются математические модели. Традиционно используется система уравнений тепловой конвекции [1], [2], состоящей из уравнений Навье-Стокса, уравнения теплопроводности и уравнения несжимаемости жидкости.
В статье представлены результаты анализа аналитических решений исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Нетривиальной задачей является выбор граничных условий, от которых в существенной степени зависят свойства течения. В статье исследованы случаи при условии прилипания на границе жидкости с твердой поверхностью [3]. На свободной же поверхности используется условие, задающее скорости, температуру и давление при контакте жидкости с воздухом. Такие граничные условия могут описывать воздействие ветра на слой жидкости.
2. Постановка задачи
Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном слое постоянной толщины h. Конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости традиционно описывается следующей системой уравнений [1], [2]:
- уравнение Навье-Стокса в приближении Буссинеска:
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} V_x \frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y \frac{\partial V_x}{\partial y}+V_z \frac{\partial V_x}{\partial z}=-\frac{\partial P}{\partial x}+v \frac{\partial^2 V_x}{\partial x^2}+v \frac{\partial^2 V_x}{\partial y^2}+v \frac{\partial^2 V_x}{\partial z^2}, \\ V_x \frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y \frac{\partial V_y}{\partial y}+V_z \frac{\partial V_y}{\partial z}=-\frac{\partial P}{\partial y}+v \frac{\partial^2 V_y}{\partial x^2}+v \frac{\partial^2 V_y}{\partial y^2}+v \frac{\partial^2 V_y}{\partial z^2}, \\ V_x \frac{\partial V_z}{\partial x}+V_y \frac{\partial V_z}{\partial y}+V_z \frac{\partial V_z}{\partial z}=-\frac{\partial P}{\partial z}+v \frac{\partial^2 V_z}{\partial x^2}+v \frac{\partial^2 V_z}{\partial y^2}+v \frac{\partial^2 V_z}{\partial z^2}+\mathrm{g} \beta T, \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
- уравнение теплопроводности:
[LATEX_FORMULA]V_x \frac{\partial T}{\partial x}+V_y \frac{\partial T}{\partial y}+V_z \frac{\partial T}{\partial z}=\chi \Delta T[/LATEX_FORMULA]
- уравнение несжимаемости жидкости:
[LATEX_FORMULA]\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}=0[/LATEX_FORMULA]
Здесь [LATEX_FORMULA]V_x, V_y, V_z[/LATEX_FORMULA] – компоненты скорости, параллельные соответствующим осям координат прямоугольной декартовой системы [LATEX_FORMULA]O x y z[/LATEX_FORMULA]. Система координат введена так, что ось [LATEX_FORMULA]O z[/LATEX_FORMULA]направлена строго вверх. [LATEX_FORMULA]P=P(x, y, z)[/LATEX_FORMULA] – отклонение давления от гидростатического, отнесённое к постоянной средней плотности жидкости [LATEX_FORMULA]\rho, \quad T=T(x, y, z)[/LATEX_FORMULA] – отклонение температуры от средней, [LATEX_FORMULA]\beta[/LATEX_FORMULA] – температурный коэффициент объемного расширения, [LATEX_FORMULA]v[/LATEX_FORMULA] – коэффициент кинематической вязкости, [LATEX_FORMULA]\chi[/LATEX_FORMULA] – коэффициент температуропроводности рассматриваемой жидкости.
Имеются пять уравнений (1)-(3) и 4 неизвестных [LATEX_FORMULA]V_x, V_y, P, T[/LATEX_FORMULA]. Такая система является переопределенной. Будем искать решение для ненулевых компонент вектора скорости ([LATEX_FORMULA]V_x, V_y[/LATEX_FORMULA]) в виде [3], [4], [7], [9]:
[LATEX_FORMULA]V_x=u(z)+a(z) y, V_y=v(z), P=P(x, y, z), T=T(x, y, z) .[/LATEX_FORMULA]
При подстановке представления (4) в уравнение несжимаемости (3) уравнение (3) удовлетворяется тождественно. Проблема с переопределением разрешена.
После неcложных преобразований получаем итоговую систему уравнений:
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} v a^{\prime \prime}=P_3\left(\text { значит, } a^{\prime \prime}=0\right) \\ v a=-P_2+v u^{\prime \prime}, \\ P_0{ }^{\prime}=g \beta T_0, \quad P_1^{\prime}=g \beta T_1, \quad P_2^{\prime}=g \beta T_2, \\ P_3=0, \quad P_1=v v^{\prime \prime}, \\ \chi T_0{ }^{\prime \prime}=u T_2+v T_1, \\ \chi T_1^{\prime \prime}=a T_2, \\ \chi T_2 "=0, \\ a T_3=0\left(\text { значит, } T_3=0\right) . \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
В итоге система уравнений в частных производных (1)-(3) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5) для нахождения неизвестных функций [LATEX_FORMULA]u, a, v, P_0, P_1, P_2, T_0, T_1, T_2[/LATEX_FORMULA].
Учитывая, что [LATEX_FORMULA]P_3=0[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]T_3=0[/LATEX_FORMULA], функции отклонения давления и температуры примут вид:
Общее решение системы (5) представляет собой набор полиномиальных функций не выше четырнадцатой степени.
3. Краевая задача
В решение системы (5) входят пятнадцать постоянных интегрирования, для их определения потребуются граничные условия. Будем рассматривать течение в слое жидкости толщины h, нижней границе которого соответствует значение z = 0 вертикальной координаты. Положим, что на нижней границе выполняется условие прилипания, а также известно распределение температуры:
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} u(0)=v(0)=a(0)=0, \\ T_0(0)=\theta_0, T_1(0)=A, T_2(0)=B . \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
На верхней же границе (при z = h) положим известными распределение поля скорости, температуры и давления:
Здесь W – значение фоновой скорости течения жидкости на верхней поверхности слоя, угол [LATEX_FORMULA]\varphi[/LATEX_FORMULA] характеризует направление вектора скорости по отношению к координатным осям [LATEX_FORMULA]O x y, \Omega[/LATEX_FORMULA] – завихренность.
По известным краевым условиям определим постоянные интегрирования, находя таким образом частное решение системы (5). Для упрощения анализа выполнен переход к безразмерной координате Z, произведя замену [LATEX_FORMULA]Z=\frac{z}{h} .[/LATEX_FORMULA] Поскольку [LATEX_FORMULA]z \in[0, h],[/LATEX_FORMULA]тогда [LATEX_FORMULA]Z \in[0,1] .[/LATEX_FORMULA] Аналогично частное решение является набором полиномов не выше четырнадцатой степени:
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} u(Z)=\sum_{i=1}^{10} u_i Z^i, \\ a(Z)=\Omega Z, \\ v(Z)=\sum_{i=1}^7 v_i Z^i, \\ P=P_0(Z)+P_1(Z) x+P_2(Z) y, \\ T=T_0(Z)+T_1(Z) x+T_2(Z) y, \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
где [LATEX_FORMULA]P_0, P_1, P_2, T_0, T_1, T_2[/LATEX_FORMULA] многочлены порядка не выше четырнадцатого.
4. Основные результаты
Анализ скорости v
Первоначально разберём свойства скорости v, определяемой выражением (6).
Проведем для дальнейшего удобства некоторые простые преобразования и введем ряд соответствующих обозначений:
При этом представим функцию [LATEX_FORMULA]f(Z)[/LATEX_FORMULA] в виде
где
а индекс i коэффициента ai соответствует члену i-ой степени (по вертикальной координате Z).
Так же заметим зависимость коэффициентов a6, a3 от коэффициентов a2, a5
Тогда функция f(Z) перепишется в виде
[LATEX_FORMULA]f(Z)=-\frac{2}{7} a_5 Z^6+a_5 Z^5-\left(\frac{1}{4} a_2+\frac{5}{2} a_5\right) Z^3+a_2 Z^2+a_1 Z+a_0[/LATEX_FORMULA]
В итоге скорость v будет описываться следующим выражением:
[LATEX_FORMULA]v=Z f(Z)=Z\left(-\frac{2}{7} a_5 Z^6+a_5 Z^5-\left(\frac{1}{4} a_2+\frac{5}{2} a_5\right) Z^3+a_2 Z^2+a_1 Z+a_0\right) .[/LATEX_FORMULA]
Как ранее было сказано, скорость v принимает нулевое значение на границе слоя Z=0, что видно из структуры выражения (8). Поэтому далее будем искать точки обращения функции f в нуль внутри слоя, таким образом определять застойные точки течения и возможные противотечения в слое [0,1].
Необходимо рассмотреть различные комбинации значений констант для анализа поведения скорости (8). Заметим, что случаи [LATEX_FORMULA]a_0, a_1, a_2, a_5=0 \text { (значит, } f \equiv 0 \text { ), }[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]a_1, a_2, a_5=0, a_0 \neq 0 \text { (значит, } f=a_0=\text { const) и }[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]a_0, a_2, a_5=0, a_1 \neq 0 \text { (значит, } f=a_1 Z \text { ) }[/LATEX_FORMULA] не представляют интерес, так как функция f либо принимает постоянное значение, либо является линейной. Поэтому рассмотрим менее тривиальные варианты комбинаций. Для схематизации дальнейшего исследования разобьем все возможные случаи на группы: для начала рассмотрим варианты, в которых лишь один коэффициент из ai равен нулю. Далее будем рассматривать все более общие случаи и, наконец, исследуем наиболее общий из них, где ни один из коэффициентов из ai в нуль не обращается.
Группа I: лишь один коэффициент из ai (i = 0,1,2,5) равен нулю
I.1) Пусть [LATEX_FORMULA]a_5=0, a_0 a_1 a_2 \neq 0[/LATEX_FORMULA] .
Профиль скорости v при a5 = 0, a0a1a2 ≠ 0
Наибольшее число внутренних застойных точек равняется двум, что проиллюстрировано на рисунке 1.
I.2) Пусть
Профиль скорости v при a2 = 0, a0a1a5 ≠ 0
Этот случай реализуется при A=0 Тогда компонента скорости v имеет не более двух нулевых точек внутри рассматриваемого слоя [9] (см. рисунок 2).
I.3) Пусть
Профиль скорости v при a1 = 0, a2a5a0 ≠ 0
Такая ситуация возможна лишь при ненулевых значениях параметров [LATEX_FORMULA]A, B, S_1, \Omega[/LATEX_FORMULA] (в противном случае автоматически получаем a2 = a5 = 0). Аналогично предыдущему [9], компонента скорости v имеет внутри слоя не более двух застойных точек (см. рисунок 3).
I.4) Пусть [LATEX_FORMULA]a_0=0, a_1 a_2 a_5 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Этот случай возможен при W = 0 и/или [LATEX_FORMULA]\sin \varphi=0[/LATEX_FORMULA] и одновременном не равенстве нулю параметров [LATEX_FORMULA]A, B, S_1, \Omega[/LATEX_FORMULA], для того, чтобы избежать ситуации [LATEX_FORMULA]a_1=a_2=a_5=0 .[/LATEX_FORMULA]
Профиль скорости v при a0 = 0, a1a2a5 ≠ 0
Исследуя монотонность этой функции, делаем вывод, что внутри исследуемого слоя скорость v также может иметь не более двух нулей (см. рисунок 4).Из приведенных выше рассуждений видно, что во всех случаях, когда только один из коэффициентов [LATEX_FORMULA]a_i \quad(i=0,1,2,5)[/LATEX_FORMULA] равен нулю, скорость v имеет одинаковое максимальное число точек застоя, равное двум (см. рисунок 1-4).
Группа II: только два коэффициента из [LATEX_FORMULA]a_i \quad(i=0,1,2,5)[/LATEX_FORMULA]равны нулю
II.1) Пусть [LATEX_FORMULA]a_2= a_5 = 0, a_0 a_1 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Профиль скорости v при a2 = a5 = 0, a0a1 ≠ 0
Такая комбинация осуществима при A=0, B=0 и/или [LATEX_FORMULA]\Omega=0 .[/LATEX_FORMULA]Функция f принимает линейный вид, и, очевидно, она имеет внутри слоя [LATEX_FORMULA]0 \leq Z \leq 1[/LATEX_FORMULA] лишь один нуль, что проиллюстрировано на рисунке 5.
II.2) Пусть [LATEX_FORMULA]a_0 = a_5 =0, a_1 a_2 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Профиль скорости v при a0 = a5 = 0, a1a2 ≠ 0
Это возможно при [LATEX_FORMULA]W \sin \varphi+\frac{A g h^3 \beta}{8 v}-\frac{h^2 S_1}{2 v}=0 \text { и } B=0 \text { и/или } \Omega=0 \text {. }[/LATEX_FORMULA] В слое не может существовать более одной нулевой точки скорости v (см. рисунок 6).
II.3) Пусть[LATEX_FORMULA]a_0= a_1 = 0, a_2 a_5 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Этот случай возможен при [LATEX_FORMULA]\frac{h^2 S_1}{2 v}=\frac{A g h^3 \beta}{4 v}-\frac{B g h^5 \beta \Omega}{120 v \chi}, W \sin \varphi-\frac{A g h^3 \beta}{8 v}-\frac{143 B g h^5 \beta \Omega}{10080 v \chi}=0, A \neq 0, B \Omega \neq 0 .[/LATEX_FORMULA]
Скорость v имеет не более двух нулей в слое [LATEX_FORMULA]Z \in[0,1],[/LATEX_FORMULA] что показано на рисунке 7.
Профиль скорости v при a0 = a1 = 0, a2a5 ≠ 0
II.4) Пусть [LATEX_FORMULA]a_1= a_2 = 0, a_0 a_5 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Данная ситуация реализуется при [LATEX_FORMULA]A=0, B \Omega \neq 0, \frac{B g h^5 \beta \Omega}{120 v \chi}=-\frac{h^2 S_1}{2 v}[/LATEX_FORMULA]
Профиль скорости v при a1 = a2 = 0, a1a5 ≠ 0
Исследовав монотонность функции, выясняем, что f монотонна на всем промежутке (0,1) и поэтому может иметь лишь один нуль внутри рассматриваемого слоя. Соответствующий профиль скорости v изображен на рис. 8.
II.5) Пусть [LATEX_FORMULA]a_0= a_2 = 0, a_1 a_5 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Этот случай возможен при [LATEX_FORMULA]B \Omega \neq 0, A=0, W \sin \varphi-\frac{h^2 S_1}{2 v}=\frac{59 B g h^3 \beta \Omega}{10080 v \chi} .[/LATEX_FORMULA] Так как функция оказывается монотонной на отрезке [0,1], она имеет лишь один нуль на этом отрезке. Получаем профиль, представленный на рисунке 9.
Профиль скорости v при a0 = a2 = 0, a1a5 ≠ 0
II.6) Пусть [LATEX_FORMULA]a_1= a5 = 0, a_0 a_2 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Профиль скорости v при a1 = a5 = 0, a0a2 ≠ 0
Этот случай осуществим при [LATEX_FORMULA]A \neq 0, B \Omega=0, \quad \frac{h^2 S_1}{2 v}=\frac{\operatorname{Agh}^3 \beta}{4 v}[/LATEX_FORMULA]. Функция строго монотонна на этом интервале (0,1) и имеет одну нулевую точку (см. рисунок 10).Заметим, что в случаях II.1)-II.6) (и на рисунках 5-10 соответственно) прослеживается закономерность: для случаев с двумя (из четырех) равными нулю параметрами [LATEX_FORMULA]a_i \quad(i=0,1,2,5)[/LATEX_FORMULA] скорость v имеет внутри исследуемого слоя лишь одну застойную точку.
Группа III: ровно три коэффициента из [LATEX_FORMULA]a_i \quad(i=0,1,2,5)[/LATEX_FORMULA] равны нулю.
III.1) Пусть [LATEX_FORMULA]a_0 = a1 = a2 = 0, a_5 \neq 0[/LATEX_FORMULA]
Профиль скорости v при a0 = a1 = a5 = 0, a2 ≠ 0
Тогда [LATEX_FORMULA]A=0, B \Omega \neq 0, \frac{B g h^5 \beta \Omega}{120 v \chi}=-\frac{h^2 S_1}{2 v}, W \sin \varphi=-\frac{5 B g h^5 \beta \Omega}{2016 v \chi}[/LATEX_FORMULA]. На отрезке [0,1] полином f строго монотонен и при этом имеет экстремум в точке Z=0, то есть функция f, преодолевая Z=0 далее либо возрастает, либо убывает, не пересекая ось Z. Профиль скорости v в этом случае представлен на рисунке 11.
III.2) Пусть [LATEX_FORMULA]a_0 = a_1 = a_5 =0, a_2 \neq 0[/LATEX_FORMULA].
Профиль скорости v при a0 = a1 = a5 = 0, a2 ≠ 0
Этот случай реализуется при [LATEX_FORMULA]A \neq 0, B \Omega=0, \frac{h^2 S_1}{2 v}=\frac{A g h^3 \beta}{4 v}, W \sin \varphi=\frac{A g h^3 \beta}{8 v}[/LATEX_FORMULA]. На промежутке (0,1) нулей функция не имеет. Тогда скорость v в слое [LATEX_FORMULA]Z \in[0,1],[/LATEX_FORMULA] имеет единственный нуль на границе Z=0 рассматриваемого слоя и ни одного нуля внутри (см. рисунок 12).Заметим, что случаи III.3) [LATEX_FORMULA]a_1=a_2=a_5=0, a_0 \neq 0[/LATEX_FORMULA] и III.4) [LATEX_FORMULA]a_0=a_2=a_5=0, a_1 \neq 0[/LATEX_FORMULA] обсуждались выше ввиду их тривиальности.
Аналогично предыдущим выводам, подведем итог, что для вариантов с тремя нулевыми коэффициентами и [LATEX_FORMULA]a_i \quad(i=0,1,2,5)[/LATEX_FORMULA] скорость v не имеет внутри слоя [LATEX_FORMULA]Z \in[0,1],[/LATEX_FORMULA] застойных точек вовсе (см. рисунки 11-12).
Группа IV: ни один из коэффициентов [LATEX_FORMULA]a_i \quad(i=0,1,2,5)[/LATEX_FORMULA] не равен нулю
Профиль скорости v при a0 a1 a2a5 ≠ 0
В эту группу попадает только один случай, он вынесен в классификацию этой группы. Это наиболее общий случай из исследуемых. Это возможно при [LATEX_FORMULA]A \neq 0, B \Omega \neq 0, S_1 \neq 0, W \sin \varphi \neq 0[/LATEX_FORMULA], но не только при этом сочетании значений параметров. Функция f из выражения (7) является линейной комбинацией трех монотонных на исследуемом интервале функций. Из чего следует, что компонента скорости v имеет внутри рассматриваемого слоя [LATEX_FORMULA]Z \in[0,1],[/LATEX_FORMULA] не более трех точек застоя [9]. Данный факт проиллюстрирован на рисунке 13.Рассмотрев различные вариации значений параметров для скорости v, получили, что компонента скорости может как не иметь нулей в рассматриваемом слое вовсе, так и иметь не более трех застойных точек внутри слоя, таким образом разделяя его на четыре подслоя с возможной сменой направления течения (см. рисунок 13).
5. Анализ скорости u
Перейдем к анализу компоненты u скорости Vx, описываемой решением (6). Для скорости u справедливо представление
Произведем замену для упрощения дальнейших рассуждений.
где индексы i коэффициентов bi соответствуют степени вертикальной координаты Z и
Заметим, что не все коэффициенты являются независимыми
Тогда функция g преобразуется к виду:
В итоге компонента скорости u представима в виде:
[LATEX_FORMULA]u=Z g(Z)=Z\left(b_8 Z^6\left(-\frac{35}{8} Z^3+Z^2-\frac{30}{7}\right)+b_5 Z^5\left(-\frac{5}{28} Z+1\right)+b_4 Z^4+b_3 Z^3+b_2 Z^2+b_1 Z+b_0\right)[/LATEX_FORMULA]
Из структуры выражения (9) видно, что скорость u принимает нулевое значение на нижней границе исследуемого слоя Z=0 Для нахождения остальных нулевых точек, необходимо подробнее рассмотреть поведение функции g. Как и при анализе скорости v, можно рассмотреть все возможные сочетания значений коэффициентов [LATEX_FORMULA]b_i \quad(i=0,1,2,3,4,5,8)[/LATEX_FORMULA], но это очень трудоемкая и не эффективная аналитическая работа, так как в случае анализа функции (9) на наличие нулей придется рассмотреть 128 вариантов. Избегая такой ситуации, рассмотрим сразу общий случай (9) когда [LATEX_FORMULA]b_0 b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_8 \neq 0[/LATEX_FORMULA].
Скорость u (9) может принимать нулевое значение внутри слоя, только если полином g имеет на интервале (0,1) действительные корни.
Профиль скорости u при b0b1b2b3b4b5b8 ≠ 0
Компонента скорости u может иметь внутри слоя [LATEX_FORMULA]Z \in[0,1][/LATEX_FORMULA] не более шести застойных точек (см. рисунок 14).
6. Заключение
В данной статье рассмотрена краевая задача, описывающая конвективное течение вязкой несжимаемой вертикально завихренной жидкости в горизонтальном слое. Получено ее точное решение при условии прилипания жидкости на нижней границе слоя. Рассмотрено возможное поведение поля скорости течения в зависимости от задаваемых на верхней границе исследуемого слоя жидкости условий. Было показано, что в слое жидкости могут возникать области с обратным течением, причем в рассматриваемом слое может существовать не более четырех подслоев с разным направлением течения. Показано, что число застойных точек (и соответственно подслоев) может меняться в зависимости от значений параметров краевой задачи. Также было показано, что могут существовать области, в которых касательное напряжение меняет свой тип – с растягивающего на сжимающее и наоборот. В ходе работы также были получены аналитические выражения для компонент полей температуры и давления. Анализ этих выражений не вошел в содержание данной статьи.