ON THE APPLICATION OF LYAPUNOV'S QUADRATIC FUNCTIONS WITH GIVEN PROPERTIES FOR STUDYING THE STABILITY OF LAGGING SYSTEMS
ON THE APPLICATION OF LYAPUNOV'S QUADRATIC FUNCTIONS WITH GIVEN PROPERTIES FOR STUDYING THE STABILITY OF LAGGING SYSTEMS
Abstract
In problems of stability research for ordinary differential equations using the direct Lyapunov method, Lyapunov functions in the form of positive definite quadratic forms (or quadratic Lyapunov functions) have found wide application. Quadratic forms can be equally widely used in stability analysis problems for lagging systems. This work proposes using a quadratic Lyapunov function as the Lyapunov function for a system of differential equations with lagging argument. This function is constructed for a certain auxiliary system of ordinary differential equations and satisfies the constraints on its first derivative due to this system. The coefficients of the quadratic Lyapunov function satisfying the restrictions on its first derivative are found by means of fairly simple analytical relations.
1. Введение
Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием часто используются в математическом моделировании явлений и процессов в различных областях теоретической физики, механики, теории управления, биологии, биофизики, медицины, экологии, экономики и технических приложениях. В биологии и биомеханике запаздывание обусловлено ограниченной скоростью передачи нервных и мышечных реакций в живых тканях; в медицине — в задачах распространения инфекционных заболеваний — время запаздывания определяется инкубационным периодом; в динамике популяций запаздывание связано с тем, что особи участвуют в репродукции лишь после достижения определенного возраста; в теории управления запаздывание обычно связано с конечной скоростью распространения сигнала и ограниченной скоростью технологических процессов .
Наличие запаздывания в большинстве реальных систем управления определяет необходимость развития теории систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом , , . Особое внимание при этом уделяется такому важному свойству систем как устойчивость. Наиболее общим методом исследования устойчивости является прямой метод Ляпунова (или метод функций Ляпунова) , , . В задачах исследования устойчивости по первому приближению систем обыкновенных дифференциальных уравнений часто применяются функции Ляпунова в виде квадратичных форм, построенные для соответствующих линеаризованных систем. Квадратичные функции Ляпунова могут применяться и в задачах исследования устойчивости систем с запаздыванием , .
В настоящей работе предлагается использовать в качестве функции Ляпунова для исследования устойчивости системы с запаздыванием квадратичной функции Ляпунова, построенной для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и удовлетворяющей заданным ограничениям на ее первую производную в силу этой системы , . Выбор коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничениям не ее первую производную осуществляется с помощью простых аналитических соотношений работы . Для оценивания знака производной функции Ляпунова в силу системы с запаздыванием рассматриваются ее свойства как в силу системы без запаздывания, так и свойства вспомогательной системы, построенной с использованием запаздывающей части.
2. Постановка задачи
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с запаздыванием вида
где
Здесь fi — непрерывно-дифференцируемые функции своих аргументов, τ — постоянная величина.
Для того чтобы положительно определенная квадратичная форма
удовлетворяла требованиям теоремы Разумихина об асимптотической устойчивости системы (1), достаточно, чтобы она удовлетворяла требованиям теоремы Разумихина об асимптотической устойчивости системы первого приближения
То есть должно выполняться условие
при
3. Некоторые вспомогательные утверждения
1. Переходя к записи через элементы матриц и используя факт симметричности матрицы K, можно показать, что
2. Лемма 1. Наибольшее и наименьшее значения выражения
3. Лемма 2. Наибольшее и наименьшее значения выражения
4. Пусть квадратичная форма
Лемма 3. Наибольшее и наименьшее значения выражения
4. О возможности применения квадратичной функции Ляпунова при исследовании устойчивости системы с запаздыванием
В силу приведенных выше утверждений, для левой части в (4) можно записать оценку
То есть при выполнении неравенства
неравенство (4) всегда будет иметь место.
Первое слагаемое в левой части (5) есть выражение для первой производной квадратичной формы (2) в силу системы без запаздывания
Будем предполагать, что собственные значения матрицы этой системы имеют отрицательные действительные части, т.е. состояние равновесия в силу этой системы устойчиво. Также будем предполагать, что коэффициенты V(x) выбраны таким образом, что она является функцией Ляпунова (6), удовлетворяющей условию равенства максимума ее первой производной в силу системы на любой поверхности уровня V(x)=V0 значению δV0, где
Но тогда второе слагаемое в левой части (5) есть выражение для первой производной квадратичной формы (2) в силу системы без запаздывания
А наибольшее значение ее на поверхности уровня V(x)=V0 будет находиться как
Но это означает, что
на любой поверхности уровня V(x)=V0. Таким образом, будет иметь место следующая теорема.
Теорема. Пусть δ есть наибольший корень уравнения (7), а
5. Заключение
Настоящая работа посвящена вопросу о возможности применения в качестве функции Ляпунова при исследовании устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом положительно определенной квадратичной формы, являющейся функцией Ляпунова вспомогательной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача об исследовании устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием является существенно более сложной, чем аналогичная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе впервые предлагается оценивать отрицательную определенность производной квадратичной функции Ляпунова в силу системы дифференциальных уравнений с запаздыванием через достаточное условие, позволяющее оценивать знак ее производных в силу двух линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построенных с использованием как части системы с запаздыванием, так и части без него. Для получения необходимых при этом оценок методом неопределенных множителей Лагранжа доказаны соответствующие неравенства.
5.1. Приложение
5.2. Приложение 2. Доказательство леммы 1
Рассмотрим выражение
Тогда координаты точек условного экстремума на поверхности
Умножая первое уравнение на xi и складывая по i, получим, что
Умножая второе уравнение на ηj и складывая по j, получим, что
Ввиду равенства правых частей, приравнивая левые части, получаем
Умножая второе уравнение на xj, складывая по j и учитывая, что Kij=Kji, получим
откуда
Решая систему (10), (11), получаем, что
а значит наибольшее и наименьшее значения выражения
Лемма доказана.
5.3. Приложение 3. Доказательство леммы 2
Рассмотрим выражение
Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. В качестве функции Лагранжа выберем
Тогда координаты точек условного экстремума на поверхности
Умножая первое уравнение на xi и складывая по i, получим, что
Умножая второе уравнение на ηj и складывая по j, получим, что
Ввиду равенства правых частей, приравнивая левые части, получаем (10).
Умножая первое уравнение на ηi и складывая по i, получим, что
Умножая второе уравнение на xj и складывая по j, получим, что
Тогда, в силу (10)
Или
Лемма доказана.
5.4. Приложение 4
Доказательство леммы 3 очевидно, поскольку