1. Введение

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием часто используются в математическом моделировании явлений и процессов в различных областях теоретической физики, механики, теории управления, биологии, биофизики, медицины, экологии, экономики и технических приложениях. В биологии и биомеханике запаздывание обусловлено ограниченной скоростью передачи нервных и мышечных реакций в живых тканях; в медицине — в задачах распространения инфекционных заболеваний — время запаздывания определяется инкубационным периодом; в динамике популяций запаздывание связано с тем, что особи участвуют в репродукции лишь после достижения определенного возраста; в теории управления запаздывание обычно связано с конечной скоростью распространения сигнала и ограниченной скоростью технологических процессов [1].

Наличие запаздывания в большинстве реальных систем управления определяет необходимость развития теории систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [1], [2], [3]. Особое внимание при этом уделяется такому важному свойству систем как устойчивость. Наиболее общим методом исследования устойчивости является прямой метод Ляпунова (или метод функций Ляпунова) [3], [4], [5]. В задачах исследования устойчивости по первому приближению систем обыкновенных дифференциальных уравнений часто применяются функции Ляпунова в виде квадратичных форм, построенные для соответствующих линеаризованных систем. Квадратичные функции Ляпунова могут применяться и в задачах исследования устойчивости систем с запаздыванием [6], [7].

В настоящей работе предлагается использовать в качестве функции Ляпунова для исследования устойчивости системы с запаздыванием квадратичной функции Ляпунова, построенной для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и удовлетворяющей заданным ограничениям на ее первую производную в силу этой системы [8], [9]. Выбор коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничениям не ее первую производную осуществляется с помощью простых аналитических соотношений работы [10]. Для оценивания знака производной функции Ляпунова в силу системы с запаздыванием рассматриваются ее свойства как в силу системы без запаздывания, так и свойства вспомогательной системы, построенной с использованием запаздывающей части.

2. Постановка задачи

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с запаздыванием вида

где

Здесь

——

Для того чтобы положительно определенная квадратичная форма

удовлетворяла требованиям теоремы Разумихина об асимптотической устойчивости системы (1), достаточно, чтобы она удовлетворяла требованиям теоремы Разумихина об асимптотической устойчивости системы первого приближения

То есть должно выполняться условие [LATEX_FORMULA]\dot{V}(x,x(t-\tau))<0[/LATEX_FORMULA] при или, что то же самое[LATEX_FORMULA]V(x(t-\tau))≤V(x)[/LATEX_FORMULA]

при

3. Некоторые вспомогательные утверждения

1. Переходя к записи через элементы матриц и используя факт симметричности матрицы K, можно показать, что [LATEX_FORMULA]\eta^T B^T Kx+x^T KB\eta=x^T (B^T K+KB)\eta[/LATEX_FORMULA] (Приложение 1).

2. Лемма 1. Наибольшее и наименьшее значения выражения

3. Лемма 2. Наибольшее и наименьшее значения выражения [LATEX_FORMULA]x^T D\eta (D^T=D) [/LATEX_FORMULA] на поверхности уровня [LATEX_FORMULA]x^T Kx=V_0[/LATEX_FORMULA] при условии, что [LATEX_FORMULA]\eta^T K\eta=\theta x^T Kx\; (0≤\theta≤1)[/LATEX_FORMULA] принимаются в таких точках, что[LATEX_FORMULA]\eta^{T} D \eta=\theta x^{T} D x[/LATEX_FORMULA] (Приложение 3).

4. Пусть квадратичная форма[LATEX_FORMULA]U(x)=x^{T} \widetilde{D} x\left(D^{T} \neq \widetilde{D}\right)[/LATEX_FORMULA], то есть матрица[LATEX_FORMULA]\breve{D}=\left(\widetilde{D}_{i j}\right)[/LATEX_FORMULA] не является симметрической. Но это выражение всегда можно переписать в виде [LATEX_FORMULA]x^{T} \widetilde{D} x=x^{T} D x[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]D_{i j}=\left(\widetilde{D}_{i j}+\widetilde{D}_{j i}\right) / 2[/LATEX_FORMULA]. И матрица[LATEX_FORMULA]D=(D_{ij})[/LATEX_FORMULA] уже является симметрической.

Лемма 3. Наибольшее и наименьшее значения выражения [LATEX_FORMULA]x^T \widetilde{D}\eta[/LATEX_FORMULA], где[LATEX_FORMULA]U(x)=x^{T} \widetilde{D} x\left(D^{T} \neq \widetilde{D}\right)[/LATEX_FORMULA] знакоопределенная квадратичная форма, при условии, что [LATEX_FORMULA]\eta^{T} D \eta=\theta x^{T} D x\;(0 \leq \theta \leq 1)[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]x^{T} D \eta=U_{0}[/LATEX_FORMULA] принимается в таких точках, что [LATEX_FORMULA]x^{T} \widetilde{D} \eta=x^{T} D \eta[/LATEX_FORMULA] т.е. [LATEX_FORMULA]x^{T} \widetilde{D} \eta=U_{0}[/LATEX_FORMULA] (Приложение 4).

4. О возможности применения квадратичной функции Ляпунова при исследовании устойчивости системы с запаздыванием

В силу приведенных выше утверждений, для левой части в (4) можно записать оценку

То есть при выполнении неравенства

неравенство (4) всегда будет иметь место.

Первое слагаемое в левой части (5) есть выражение для первой производной квадратичной формы (2) в силу системы без запаздывания

Будем предполагать, что собственные значения матрицы этой системы имеют отрицательные действительные части, т.е. состояние равновесия в силу этой системы устойчиво. Также будем предполагать, что коэффициенты V(x) выбраны таким образом, что она является функцией Ляпунова (6), удовлетворяющей условию равенства максимума ее первой производной в силу системы на любой поверхности уровня V(x)=V0[8][9][10]

Но тогда второе слагаемое в левой части (5) есть выражение для первой производной квадратичной формы (2) в силу системы без запаздывания

А наибольшее значение ее на поверхности уровня будет находиться как [LATEX_FORMULA]\tilde{\delta} V_{0}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\mu=\tilde{\delta}[/LATEX_FORMULA] есть наибольший корень уравнения [9]

Но это означает, что

на любой поверхности уровня

Теорема. Пусть δ есть наибольший корень уравнения (7), а

5. Заключение

Настоящая работа посвящена вопросу о возможности применения в качестве функции Ляпунова при исследовании устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом положительно определенной квадратичной формы, являющейся функцией Ляпунова вспомогательной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача об исследовании устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием является существенно более сложной, чем аналогичная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе впервые предлагается оценивать отрицательную определенность производной квадратичной функции Ляпунова в силу системы дифференциальных уравнений с запаздыванием через достаточное условие, позволяющее оценивать знак ее производных в силу двух линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построенных с использованием как части системы с запаздыванием, так и части без него. Для получения необходимых при этом оценок методом неопределенных множителей Лагранжа доказаны соответствующие неравенства.

5.1. Приложение

5.2. Приложение 2. Доказательство леммы 1

Рассмотрим выражение [LATEX_FORMULA]x^{T} K \eta\left(K^{T}=K\right)[/LATEX_FORMULA] на поверхности уровня [LATEX_FORMULA]x^T Kx=V_0[/LATEX_FORMULA] при условии, что [LATEX_FORMULA]\eta^{T} K \eta=\theta x^{T} K x\;(0 \leq \theta \leq 1)[/LATEX_FORMULA]. Но [LATEX_FORMULA]x^{T} K \eta=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} K_{i j} x_{i} \eta_{j}[/LATEX_FORMULA], причем [LATEX_FORMULA] K_{ij}=K_{ji}[/LATEX_FORMULA] для всех Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. В качестве функции Лагранжа выберем

Тогда координаты точек условного экстремума на поверхности [LATEX_FORMULA]∑_{i=1}^n ∑_{j=1}^n K_{ij} x_i x_j =V_0[/LATEX_FORMULA] являются решениями системы уравнений

Умножая первое уравнение на xiMissing Mark : sub и складывая по i, получим, что

Умножая второе уравнение на ηjMissing Mark : sub и складывая по j, получим, что

Ввиду равенства правых частей, приравнивая левые части, получаем

Умножая второе уравнение на xjMissing Mark : sub, складывая по j и учитывая, что KijMissing Mark : sub=KjiMissing Mark : sub, получим

откуда

Решая систему (10), (11), получаем, что

а значит наибольшее и наименьшее значения выражения [LATEX_FORMULA]x^{T} K \eta=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} K_{i j} x_{i} \eta_{j}[/LATEX_FORMULA] при указанных условиях равны [LATEX_FORMULA]\pm \sqrt{\theta} V_{0}[/LATEX_FORMULA].

Лемма доказана.

5.3. Приложение 3. Доказательство леммы 2

Рассмотрим выражение [LATEX_FORMULA]x^{T} D \eta\left(D^{T}=D\right)[/LATEX_FORMULA] на поверхности уровня [LATEX_FORMULA]x^{T} K x=V_{0}[/LATEX_FORMULA] при условии, что [LATEX_FORMULA]\eta^{T} K \eta=\theta x^{T} K x\;(0 \leq \theta \leq 1)[/LATEX_FORMULA]. Но [LATEX_FORMULA]x^{T} D \eta=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} D_{i j} x_{i} \eta_{j}[/LATEX_FORMULA], причем для всех

Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. В качестве функции Лагранжа выберем

Тогда координаты точек условного экстремума на поверхности [LATEX_FORMULA]\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} K_{i j} x_{i} x_{j}=V_{0}[/LATEX_FORMULA] являются решениями системы уравнений

Умножая первое уравнение на xiMissing Mark : sub и складывая по i, получим, что

Умножая второе уравнение на ηjMissing Mark : sub и складывая по j, получим, что

Ввиду равенства правых частей, приравнивая левые части, получаем (10).

Умножая первое уравнение на ηiMissing Mark : sub и складывая по i, получим, что

Умножая второе уравнение на xjMissing Mark : sub и складывая по j, получим, что

Тогда, в силу (10)

Или

Лемма доказана.

5.4. Приложение 4

Доказательство леммы 3 очевидно, поскольку [LATEX_FORMULA]x^{T} \widetilde{D} x[/LATEX_FORMULA] есть просто перезапись выражения [LATEX_FORMULA]x^{T} D x[/LATEX_FORMULA].

The additional file for this article can be found as follows: