On the 36th Order Discrete Group for a Multiplicative Class of 2nd Order Differential Equations

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2024.140.39
Issue: № 2 (140), 2024
Suggested:
29.12.2023
Accepted:
31.01.2024
Published:
16.02.2024
235
8
XML
PDF

Abstract

A class of ordinary differential equations of 2nd order with multiplicative right side is examined. The transformations closed in this class of equations are found. Discrete groups of transformations of orders 6, 12 and 36 are constructed for the studied class of equations or for its subclasses.

The method of enclosing (extending) a class of equations to construct a discrete group of 36th order is applied.

The method of obtaining exact solutions (general and partial) of the equations corresponding to the vertices of the graph, if the solution of at least one of these equations is known, i.e. the method of "multiplication" of solvable cases in the studied classes of equations, is presented.

As an example, the equation of free continuous oscillations of a pendulum is examined.

1. Введение

Дискретные группы преобразований для обыкновенных дифференциальных уравнений были открыты В. Ф. Зайцевым

, если не считать тривиальные группы преобразований, известные раньше, например, циклическая группа преобразований 2-го порядка с образующей img

Благодаря дискретно-групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений, В. Ф. Зайцеву и его научной школе удалось найти точные решения сотен ОДУ, которые включены в справочники конца 20-го – начала 21-го веков, например

,
,
,
, последний из которых является наиболее полным.

В данной работе исследуется класс ОДУ 2-го порядка с мультипликативными правыми частями:

img
(1)

а также его подкласс при img:

img
(2)

Обозначим их соответственно img.

Несколько странный 4-й сомножитель в правой части (1) имело смысл включить в (1) для получения замкнутости некоторых дискретных преобразований в классе уравнений (1), которые не являются замкнутыми в (2).

2. Основные результаты

2.1. Основные определения

Определение 1. Множество преобразований G, замкнутых на выбранном классе уравнений D, называется дискретной группой преобразований G, допускаемой классом уравнений D

.

Определение 2. Множество элементов данной дискретной группы G называется множеством порождающих (образующих) элементов, если всякий элемент группы G можно выразить в виде конечного произведения их степеней (в том числе с отрицательными показателями)

.

Определение 3. Соотношения между образующими элементами дискретной группы G называется её определяющими соотношениями, если всякое другое соотношение между образующими является их алгебраическим следствием

.

Определение 4. Кодом дискретной группы G называется совокупность образующих и определяющих соотношений

.

Замечание 1. Иногда кодом дискретной группы называют только совокупность определяющих соотношений между образующими.

Определение 5. Группой диэдра Dq порядка 2q называется дискретная группа с двумя образующими u и v, связанных следующими определяющими соотношениями:img, где Eтождественное преобразование

.

2.2. Дискретная группа преобразований 6-го порядка для класса уравнений (2)

Класс уравнений (2) включает в себя в качестве подкласса класс обобщённых уравнений Эмдена-Фаулера (ОУЭФ), когда K, L, M являются степенными функциями:

img
(3)

Обозначим его (k, l, m|A) или (k, l, m).

Класс уравнений (3) был подробно исследован В. Ф. Зайцевым и он имеет достаточно много приложений при определённых значениях показателей: модель политропного газового шара (модель звезды), уравнение Томаса-Ферми движения электронов и т.д.

.

Были найдены дискретные преобразования

, замкнутые в классе уравнений (3), например, точечное преобразование

img
(4)

а также преобразование Беклунда, зависящее от параметров исходного уравнения

img
(5)

Преобразования r и g являются образующими группы преобразований диэдра 6-го порядка:

img
(6)

(Eтождественное преобразование).

Оказалось, что аналогичные преобразования действуют и в классе уравнений (2), в частности, то же точечное преобразование

img
(7)

а также обобщение преобразования Беклунда (5) (назовём его той же буквой)

img
(8)

(показатель «-1» в (8) означает обратную функцию).

Граф группы преобразований диэдра D(6) 6-го порядка для класса уравнений (2) изображён на рис. 1.
Граф группы D3

Рисунок 1 - Граф группы D3

На рис. 1 вершины графа соответствуют уравнениям класса (2), а дуги графа обозначают преобразования группы D3 (6).

2.3. Дискретная группа преобразований 12-го порядка для класса уравнений (1)

Для класса уравнений (1) была найдена

дискретная группа диэдра D6 преобразований, замкнутых в классе уравнений (1):

img
(9)

образующими которой являются точечное преобразование

img
(10)

и касательное преобразование

img
(11)
Граф группы D6 изображён на рис. 2.
Граф группы D6

Рисунок 2 - Граф группы D6

2.4.      Дискретная группа преобразований 36-го порядка для класса уравнений (2)
Поскольку (2) является подклассом класса уравнений (1), то к вершинам графа группы D3 на рис. 1 можно присоединить графы групп D6. Таким образом, получается граф 36-го порядка, изображённый на рис. 3 (преобразование r опущено, поэтому показанные на рис. 3 18 вершин на самом деле удваиваются).
Граф группы 36-го порядка

Рисунок 3 - Граф группы 36-го порядка

Примечание: преобразование r и дополнительные 18 вершин опущены

2.5. Получение точных решений уравнений

Рассмотрим уравнение свободных колебаний маятника

img
(12)

дискретные симметрии которого были частично исследованы в работе [9].

Поскольку уравнение (12) принадлежит классу уравнений (1), то к нему можно применить группу преобразований D(9).

Уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 2, помещены в таблицу 1.

Таблица 1 - Уравнения-вершины графа на рис. 1

Примечание: уравнение 1 – уравнение колебаний маятника (12)

Уравнение колебаний маятника (12) легко разрешимо, общее его решение приведено, например, в
. В таблице 1 уравнение (12) имеет номер 1.

Так как уравнения 2-6’ в таблице 1 связаны с уравнением 1 известными преобразованиями – преобразованиями группы D(9), то общие решения этих 11 уравнений также можно вычислить, поскольку решения уравнений связаны теми же самыми преобразованиями, что и сами уравнения.

Пример 1.

Легко проверить, что уравнение (12) под номером 1 в таблице 1 имеет следующее частное решение в параметрическом виде:

img
(13)

где img – параметр.

Найдём, к примеру, решение уравнения 2’.

По графу на рис. 2 легко видеть, что уравнение 2’

img
(14)

приводится к уравнению 1 с помощью преобразования hr:  img

где hr – известное преобразование Лежандра:

img
(15)

Следовательно, решения уравнений 1 и 2’ связаны этим же преобразованием. Таким образом, решение уравнения 2’ (14) является композицией преобразования (15) и решения (13) уравнения колебаний маятника 1:

img
(16)

2.6. Пример построения дискретной группы 36-го порядка. Метод расширения

Уравнение (12) принадлежит обоим классам уравнений – (1) и (2), для которых построены дискретные группы диэдра – D6 и D3 соответственно.

Группа D6 применена к уравнению (12) в пункте 5. А вот группа D3 не может быть полностью применена к уравнению (12) в силу теоремы, приведенной в [1]: класс уравнений (2) допускает группу D3 при img. А для уравнения (12) img.

Чтобы снять это ограничение, применим метод расширения: поместим уравнение (12) в следующий класс уравнений:

img
(16)

который обозначим

img
(17)

Коэффициент A в (17) опустим, так как он несущественен: его можно изменять с помощью преобразования масштабирования.

Класс уравнений (16), в отличие от уравнения (12), допускает группу преобразований D3. Уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 1, помещены в таблицу 2.

Таблица 2 - Уравнения-вершины графа на рис. 1

Преобразование img зависит от функций K, L, M исходного уравнения (в соответствии с (8)), поэтому оно имеет различный вид, будучи применённым к разным уравнениям-вершинам:

img

Так как класс уравнений (16) принадлежит классу уравнений (1), то он допускает группу D6, которую можно применить к вершинам 1, 2, 3 графа на рис. 2. В результате, уравнение (16) допускает дискретную группу преобразований 36-го порядка, граф которой изображён на рис. 3.

2.7. Пример получения точного решения с помощью группы 36-го порядка

Рассмотрим уравнение

img
(18)
в качестве исходного. Пусть оно соответствует вершине 1.1 на рис. 4
Граф группы 36-го порядка для примера 2

Рисунок 4 - Граф группы 36-го порядка для примера 2

Примечание: преобразование r и дополнительные 18 вершин опущены

Согласно
, общее решение уравнения (18):
img
(19)

где img – коэффициенты, зависящие от A и C1 (C1, C2 – произвольные постоянные).

Найдем, к примеру, общее решение уравнения

img
(20)

соответствующее вершине 2.6 графа на рис. 4.

Легко видеть, что img, поэтому общее решение уравнения 2.6 (20) есть композиция преобразования hg2 и общего решения уравнения 1.1 (19):

img
(21)

где imgimg, где a2 и b2 – коэффициенты, зависящие от B и C1; P4 указано выше.

3. Заключение

В данной работе продолжено исследование мультипликативных классов уравнений (1), (2), (3), начатое в работах

,
,
.

В работе

исследовались только классы уравнений (3) и (2); в
рассматривался подкласс класса уравнений (1) со степенной правой частью; в статье
было продолжено изучение класса уравнений (2) и начато изучение класса уравнений (1).

Для класса уравнений (1) построена дискретная группа преобразований 12-го порядка, а для класса уравнений (2) – 36-го порядка.

Изложен метод «размножения» – получения новых разрешимых случаев в исследуемых классах уравнений. Приведены примеры нахождения точных решений уравнений редукцией к уравнению колебаний маятника (по группе 12-го порядка), а также с помощью общего решения одного из обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера (по группе 36-го порядка).

В дальнейшем можно попытаться применить рассмотренную технику для класса уравнений с несколькими мультипликативными слагаемыми.

Article metrics

Views:235
Downloads:8
Views
Total:
Views:235