1. Введение
Дискретные группы преобразований для обыкновенных дифференциальных уравнений были открыты В. Ф. Зайцевым [1], если не считать тривиальные группы преобразований, известные раньше, например, циклическая группа преобразований 2-го порядка с образующей [LATEX_FORMULA]x \rightarrow-x ; y \rightarrow y .[/LATEX_FORMULA]
Благодаря дискретно-групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений, В. Ф. Зайцеву и его научной школе удалось найти точные решения сотен ОДУ, которые включены в справочники конца 20-го – начала 21-го веков, например [2], [3], [4], [5], последний из которых является наиболее полным.
В данной работе исследуется класс ОДУ 2-го порядка с мультипликативными правыми частями:
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=K(x) L(y) M\left(y_x^{\prime}\right) N\left(x y_x^{\prime}-y\right),[/LATEX_FORMULA]
а также его подкласс при [LATEX_FORMULA]N \equiv 1[/LATEX_FORMULA]:
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=K(x) L(y) M\left(y_x^{\prime}\right) .[/LATEX_FORMULA]
Обозначим их соответственно [LATEX_FORMULA](K, L, M, N) \cdot и \cdot(K, L, M)=(K, L, M, 1)[/LATEX_FORMULA].
Несколько странный 4-й сомножитель в правой части (1) имело смысл включить в (1) для получения замкнутости некоторых дискретных преобразований в классе уравнений (1), которые не являются замкнутыми в (2).
2. Основные результаты
2.1. Основные определения
Определение 1. Множество преобразований G, замкнутых на выбранном классе уравнений D, называется дискретной группой преобразований G, допускаемой классом уравнений D [1].
Определение 2. Множество элементов данной дискретной группы G называется множеством порождающих (образующих) элементов, если всякий элемент группы G можно выразить в виде конечного произведения их степеней (в том числе с отрицательными показателями) [7].
Определение 3. Соотношения между образующими элементами дискретной группы G называется её определяющими соотношениями, если всякое другое соотношение между образующими является их алгебраическим следствием [7].
Определение 4. Кодом дискретной группы G называется совокупность образующих и определяющих соотношений [7].
Замечание 1. Иногда кодом дискретной группы называют только совокупность определяющих соотношений между образующими.
Определение 5. Группой диэдра Dq порядка 2q называется дискретная группа с двумя образующими u и v, связанных следующими определяющими соотношениями:[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{u}^q=\boldsymbol{v}^2=(\boldsymbol{u} \boldsymbol{v})^2=\boldsymbol{E}[/LATEX_FORMULA], где E – тождественное преобразование [7].
2.2. Дискретная группа преобразований 6-го порядка для класса уравнений (2)
Класс уравнений (2) включает в себя в качестве подкласса класс обобщённых уравнений Эмдена-Фаулера (ОУЭФ), когда K, L, M являются степенными функциями:
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=A x^k y^l\left(y_x^{\prime}\right)^m .[/LATEX_FORMULA]
Обозначим его (k, l, m|A) или (k, l, m).
Класс уравнений (3) был подробно исследован В. Ф. Зайцевым и он имеет достаточно много приложений при определённых значениях показателей: модель политропного газового шара (модель звезды), уравнение Томаса-Ферми движения электронов и т.д. [8].
Были найдены дискретные преобразования [1], замкнутые в классе уравнений (3), например, точечное преобразование
[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{r}: x \rightleftarrows y, \boldsymbol{r}^2=\boldsymbol{E},(k, l, m) \rightarrow(l, k, 3-m),[/LATEX_FORMULA]
а также преобразование Беклунда, зависящее от параметров исходного уравнения
[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{g}:{ }^{\circ} x \rightarrow y^{\frac{1}{k+1}}, y \rightarrow\left(y_x^{\prime}\right)^{-\frac{1}{l}}, y_x^{\prime} \rightarrow x^{\frac{1}{1-m}}, \boldsymbol{g}^3=\boldsymbol{E},{ }^{\circ}(k, l, m) \rightarrow\left(\frac{1}{1-m},-\frac{k}{k+1}, \frac{2 l+1}{l}\right) .[/LATEX_FORMULA]
Преобразования r и g являются образующими группы преобразований диэдра 6-го порядка:
[LATEX_FORMULA]D_3=\left\{\boldsymbol{E}, \boldsymbol{g}, \boldsymbol{g}^2, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{g} \boldsymbol{r}, \boldsymbol{g}^2 \boldsymbol{r}\right\}, \boldsymbol{r}^2=\boldsymbol{g}^3=(\boldsymbol{g} \boldsymbol{r})^2=\boldsymbol{E}[/LATEX_FORMULA]
(E).
Оказалось, что аналогичные преобразования действуют и в классе уравнений (2), в частности, то же точечное преобразование
[LATEX_FORMULA]r:{ }^{\circ} x \rightleftarrows y,{ }^{\circ} r^2=E, y_{x x}^{\prime \prime}=K(x) L(y) M\left(y_x^{\prime}\right) \xrightarrow{{ }^{\circ} r^{\circ}} y_{x x}^{\prime \prime}=-L(x) K(y) y_x^{\prime 3} M\left(\frac{1}{y_x^{\prime}}\right),[/LATEX_FORMULA]
а также обобщение преобразования Беклунда (5) (назовём его той же буквой)
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} \boldsymbol{g}: \quad x \rightarrow \alpha(y), \quad y \rightarrow \beta\left(y_x^{\prime}\right), y_x^{\prime} \rightarrow \gamma(x), \\ \alpha(y)=\left(\int K(y) d y\right)^{-1}, \beta\left(y_x^{\prime}\right)=\left[\frac{1}{L\left(y_x^{\prime}\right)}\right]^{-1}, \gamma(x)=\left[\int \frac{d x}{M(x)}\right]^{-1}, \boldsymbol{g}^3=\boldsymbol{E}, \\ y_{x x}^{\prime \prime}=K(x) L(y) M\left(y_x^{\prime}\right) \xrightarrow{\boldsymbol{g}} y_{x x}^{\prime \prime}=\gamma(x) \frac{1}{K(\alpha(x))} \frac{y_x^{\prime}}{\beta_x^{\prime}\left(y_x^{\prime}\right)} \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
(показатель «-1» в (8) означает обратную функцию).
Граф группы D3
Граф группы преобразований диэдра D3 (6) 6-го порядка для класса уравнений (2) изображён на рис. 1.На рис. 1 вершины графа соответствуют уравнениям класса (2), а дуги графа обозначают преобразования группы D3 (6).
2.3. Дискретная группа преобразований 12-го порядка для класса уравнений (1)
Для класса уравнений (1) была найдена [9] дискретная группа диэдра D6 преобразований, замкнутых в классе уравнений (1):
[LATEX_FORMULA]D_6=\left\{\boldsymbol{E}, \boldsymbol{h}, \boldsymbol{h}^2, \boldsymbol{h}^3, \boldsymbol{h}^4, \boldsymbol{h}^5, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{h} \boldsymbol{r}, \boldsymbol{h}^2 \boldsymbol{r}, \boldsymbol{h}^3 \boldsymbol{r}, \boldsymbol{h}^4 \boldsymbol{r}, \boldsymbol{h}^5 \boldsymbol{r}\right\}, \boldsymbol{r}^2=\boldsymbol{h}^6=(\boldsymbol{h} \boldsymbol{r})^2=\boldsymbol{E},[/LATEX_FORMULA]
образующими которой являются точечное преобразование
[LATEX_FORMULA]\begin{aligned} &\boldsymbol{r}: \quad x \rightleftarrows y, \boldsymbol{r}^2=\boldsymbol{E}, y_{x x}^{\prime \prime}=K(x) L(y) M\left(y_x^{\prime}\right) N\left(x y_x^{\prime}-y\right) \xrightarrow{\boldsymbol{r}}\\ &\xrightarrow{r} y_{x x}^{\prime \prime}=-L(x) K(y) y_x^{\prime 3} M\left(\frac{1}{y_x^{\prime}}\right) N\left(-\frac{x y_x^{\prime}-y}{y_x^{\prime}}\right) \end{aligned}[/LATEX_FORMULA]
и касательное преобразование
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} \boldsymbol{h}: \quad x \rightarrow \frac{1}{y_x^{\prime}}, y \rightarrow-\frac{x y_x^{\prime}-y}{y_x^{\prime}}, y_x^{\prime} \rightarrow y, x y_x^{\prime}-y \rightarrow x, \boldsymbol{h}^6=\boldsymbol{E}, \\ y_{x x}^{\prime \prime}=K(x) L(y) M\left(y_x^{\prime}\right) N\left(x y_x^{\prime}-y\right) \xrightarrow{\boldsymbol{h}} y_{x x}^{\prime \prime}=-\frac{1}{N(x)} \frac{1}{M(y)} \frac{y_x^{\prime 3}}{K\left(\frac{1}{y_x^{\prime}}\right)} \frac{1}{L\left(-\frac{x y_x^{\prime}-y}{y_x^{\prime}}\right)} . \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
Граф группы D6
Граф группы D6 изображён на рис. 2.4. Дискретная группа преобразований 36-го порядка для класса уравнений (2)
Граф группы 36-го порядка
Поскольку (2) является подклассом класса уравнений (1), то к вершинам графа группы D3 на рис. 1 можно присоединить графы групп D6. Таким образом, получается граф 36-го порядка, изображённый на рис. 3 (преобразование r опущено, поэтому показанные на рис. 3 18 вершин на самом деле удваиваются).Получение точных решений уравнений
Рассмотрим уравнение свободных колебаний маятника
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=-\sin y[/LATEX_FORMULA]
дискретные симметрии которого были частично исследованы в работе [9].
Поскольку уравнение (12) принадлежит классу уравнений (1), то к нему можно применить группу преобразований D6 (9).
Уравнения-вершины графа на рис. 1
Уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 2, помещены в таблицу 1.Уравнение колебаний маятника (12) легко разрешимо, общее его решение приведено, например, в [9]. В таблице 1 уравнение (12) имеет номер 1.
Так как уравнения 2-6’ в таблице 1 связаны с уравнением 1 известными преобразованиями – преобразованиями группы D6 (9), то общие решения этих 11 уравнений также можно вычислить, поскольку решения уравнений связаны теми же самыми преобразованиями, что и сами уравнения.
Пример 1.
Легко проверить, что уравнение (12) под номером 1 в таблице 1 имеет следующее частное решение в параметрическом виде:
[LATEX_FORMULA]x= \pm i \ln \frac{\cos \frac{\tau}{2}+1}{\sin \frac{\tau}{2}}+C, \cdot y=\tau[/LATEX_FORMULA]
где [LATEX_FORMULA]\tau[/LATEX_FORMULA] – параметр.
Найдём, к примеру, решение уравнения 2’.
По графу на рис. 2 легко видеть, что уравнение 2’
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=-\frac{1}{\sin \left(x y_x^{\prime}-y\right)}[/LATEX_FORMULA]
приводится к уравнению 1 с помощью преобразования hr:
где hr – известное преобразование Лежандра:
[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{h r}: x \rightarrow y_x^{\prime}, \cdot y \rightarrow x y_x^{\prime}-y[/LATEX_FORMULA]
Следовательно, решения уравнений 1 и 2’ связаны этим же преобразованием. Таким образом, решение уравнения 2’ (14) является композицией преобразования (15) и решения (13) уравнения колебаний маятника 1:
[LATEX_FORMULA]x=-\frac{2\left(\sin \frac{\tau}{2}\right)^2}{1+\cos \frac{\tau}{2}}, y= \pm i \frac{2\left(\sin \frac{\tau}{2}\right)^2}{1+\cos \frac{\tau}{2}} \ln \frac{\cos \frac{\tau}{2}+1}{\sin \frac{\tau}{2}}-\tau[/LATEX_FORMULA]
Пример построения дискретной группы 36-го порядка. Метод расширения
Уравнение (12) принадлежит обоим классам уравнений – (1) и (2), для которых построены дискретные группы диэдра – D6 и D3 соответственно.
Группа D6 применена к уравнению (12) в пункте 5. А вот группа D3 не может быть полностью применена к уравнению (12) в силу теоремы, приведенной в [1]: класс уравнений (2) допускает группу D3 при [LATEX_FORMULA]K, L \neq \text { const }[/LATEX_FORMULA]. А для уравнения (12) [LATEX_FORMULA]K \equiv 1(\text { и } M \equiv 1)[/LATEX_FORMULA].
Чтобы снять это ограничение, применим метод расширения: поместим уравнение (12) в следующий класс уравнений:
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=A x^k \sin y\left(y_x^{\prime}\right)^m[/LATEX_FORMULA]
который обозначим
[LATEX_FORMULA]\left(x^k, \sin y,\left(y_x^{\prime}\right)^m\right)[/LATEX_FORMULA]
Коэффициент A в (17) опустим, так как он несущественен: его можно изменять с помощью преобразования масштабирования.
Уравнения-вершины графа на рис. 1
Класс уравнений (16), в отличие от уравнения (12), допускает группу преобразований D3. Уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 1, помещены в таблицу 2.зависит от функций K, L, M исходного уравнения (в соответствии с (8)), поэтому оно имеет различный вид, будучи применённым к разным уравнениям-вершинам:
Так как класс уравнений (16) принадлежит классу уравнений (1), то он допускает группу D6, которую можно применить к вершинам 1, 2, 3 графа на рис. 2. В результате, уравнение (16) допускает дискретную группу преобразований 36-го порядка, граф которой изображён на рис. 3.
Пример получения точного решения с помощью группы 36-го порядка
Рассмотрим уравнение
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=A x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{7}{3}}\left(y_x^{\prime}\right)^3[/LATEX_FORMULA]
Граф группы 36-го порядка для примера 2
в качестве исходного. Пусть оно соответствует вершине 1.1 на рис. 4Согласно [6], общее решение уравнения (18):
[LATEX_FORMULA]x=a_1 P_2 P_3^{-\frac{1}{2}}, y=b_1 P_2^4,[/LATEX_FORMULA]
где [LATEX_FORMULA]P_2= \pm\left(\tau^2-1\right), P_3=\tau^3-3 \tau+C_2, P_4= \pm\left(\tau^4-6 \tau^2+4 C_2 \tau-3\right), a_1 \text { и } b_1[/LATEX_FORMULA] – коэффициенты, зависящие от A и C1 (C1, C2 – произвольные постоянные).
Найдем, к примеру, общее решение уравнения
[LATEX_FORMULA]y_{x x}^{\prime \prime}=B x^{-\frac{10}{7}}\left(y_x^{\prime}\right)^{\frac{5}{2}}\left(x y_x^{\prime}-y\right)^{\frac{1}{2}}[/LATEX_FORMULA]
соответствующее вершине 2.6 графа на рис. 4.
Легко видеть, что [LATEX_FORMULA]2.6 \xrightarrow{h \boldsymbol{g}^2} 1.1[/LATEX_FORMULA], поэтому общее решение уравнения 2.6 (20) есть композиция преобразования hg2
[LATEX_FORMULA]x=a_2 P_4^{\frac{7}{3}}, y=b_2 P_9[/LATEX_FORMULA]
где
, где a2 и b2 – коэффициенты, зависящие от B и C1; P4 указано выше.
3. Заключение
В данной работе продолжено исследование мультипликативных классов уравнений (1), (2), (3), начатое в работах [1], [9], [10].
В работе [1] исследовались только классы уравнений (3) и (2); в [10] рассматривался подкласс класса уравнений (1) со степенной правой частью; в статье [9] было продолжено изучение класса уравнений (2) и начато изучение класса уравнений (1).
Для класса уравнений (1) построена дискретная группа преобразований 12-го порядка, а для класса уравнений (2) – 36-го порядка.
Изложен метод «размножения» – получения новых разрешимых случаев в исследуемых классах уравнений. Приведены примеры нахождения точных решений уравнений редукцией к уравнению колебаний маятника (по группе 12-го порядка), а также с помощью общего решения одного из обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера (по группе 36-го порядка).
В дальнейшем можно попытаться применить рассмотренную технику для класса уравнений с несколькими мультипликативными слагаемыми.