NUMERICAL METHOD FOR CALCULATING RIEMANN INTEGRALS USING ASYMPTOTIC POLYNOMIALS BASED ON THE FIRST-KIND CHEBYSHEV POLYNOMIALS. A PROGRAM BASED ON MICROSOFT EXCEL

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ РИМАНА С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ, ОСНОВАННЫХ НА ПОЛИНОМАХ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА. ПРОГРАММА НА БАЗЕ MICROSOFTEXCEL

Научная статья

Тормосов Е.А.^*

Северный (Арктический) Федеральный Университет, Архангельск, Россия

^* Корреспондирующий автор (tormosov.e[at]mail.ru)

Аннотация

Стандартный метод вычисления интегралов Римана с применением формулы Ньютона-Лейбница, предполагает нахождение первообразной подынтегральной функции. Однако этот метод работает не всегда. Существуют множественные численные методы для вычисления определенных интегралов от функций, не имеющих первообразную. В данной статье мы представляем численный метод вычисления приближенных значений определённых интегралов с помощью асимптотических многочленов, основанных на полиномах Чебышева первого рода. Так же покажем программу на базе MicrosoftExcel, использование которой позволит производить расчет любого интеграла Римана без промежуточных вычислений, требуя при этом минимальное количество времени.

Ключевые слова: Полиномы Чебышева первого рода, асимптотические многочлены, интеграл Римана, MicrosoftExcel.

NUMERICAL METHOD FOR CALCULATING RIEMANN INTEGRALS USING ASYMPTOTIC POLYNOMIALS BASED ON THE FIRST-KIND CHEBYSHEV POLYNOMIALS. A PROGRAM BASED ON MICROSOFT EXCEL

Research article

Tormosov E.A.^*

Northern (Arctic) Federal University, Arkhangelsk, Russia

^* Corresponding author (tormosov.e[at]mail.ru)

Abstract

The standard method for calculating Riemann integrals using the Newton-Leibniz formula involves finding a primitive subintegral function. However, this method does not always work. There are multiple numerical methods for calculating certain integrals from functions that do not have a primitive. The current article presents a numerical method for calculating approximate values of certain integrals using asymptotic polynomials based on the first-kind Chebyshev polynomials. The study also shows a program based on Microsoft Excel, the use of which will allow for calculating any Riemann integral without intermediate calculations and requiring a minimum amount of time.

Keywords:first kind Chebyshev polynomials, asymptotic polynomials, Riemann integral, Microsoft Excel.

Введение

Тема аппроксимации функции полиномами затрагивалась математиками с давних времен, в 1973 году Этерман И.И. в своей работе предоставил асимптотический многочлен, в состав которого входят полиномы Чебышева первого и второго рода. А также разложение функции по последовательности линейных функционалов.

Выводы, сделанные Этерманом И.И., нашли применение в работе Грибковой В.П., в своей работе она представляет решение определенных интегралов одной функции, решение интегралов функций нескольких переменных, а так же решение различных дифференциальных и интегральных уравнений. В основе методов лежат асимптотические многочлены, в основе которых лежат полиномы Чебышева.

Эти методы нашли так же применение в физике, механике, численном моделировании, так зарубежные авторы F. Gross, C.FOsgood, P. Karunkar., S. Chakravety, Грибкова В.П., Антонов В.В., применяют результаты для нахождения численного решения интегро-дифференциального уравнения теории упругости, либо решение задачи теории крыла, а также решения задач гидродинамики.

Актуальность, цель работы

В настоящее время компьютерное моделирование значительно упрощает расчеты. Чем выше степень полинома Чебышева, тем сложнее вычисление асимптотического многочлена, содержащего полином соответствующей степени. Известно, что для наилучшей аппроксимации функции, а следовательно, для наилучшего результата расчета, требуется вычислить не менее десяти членов последовательности. С этой целью мы подключаем компьютерное моделирование, а именно, используем программу MicrosoftExcel. Преимуществом так же является то, что использование данной программы не требует дополнительного обучения. Интерфейс программы очень прост и знаком каждому.

Научные результаты

Можно увидеть, что вычисление интегралов Римана с помощью асимптотических многочленов и разложения функции по последовательности функционалов, дают практически те же результаты, что вычисление интегралов Римана с помощью нахождения первообразной. Погрешность результатов не превышает 0,04%. Данный метод имеет огромное преимущество в том, что с его помощью можно вычислять интегралы Римана с подынтегральной функцией, не имеющей первообразную. А использование программы позволяет выполнить это без промежуточных расчетов.

Полиномы Чебышева первого рода

Полиномы Чебышева первого рода определяются формулой: [2].

Если ввести замену переменной  то можно перейти к тригонометрической форме полинома

Ввиду того, что выполняется соотношение

Для последовательного вычисления многочленов  будет справедлива рекуррентная формула

(3)

Первые 10 полиномов имеют вид:

Таблица 1 – Первые десять полиномов Чебышева первого рода

Восстановление функции по последовательности ее линейных функционалов

Любая функция  может быть представлена с помощью многочлена степени  и остаточного члена в виде бесконечной суммы [1]

При n=0 получаем

Где u(n)=1 – если разложение  на простые множители содержит их четное число и нет квадратов простых множителей;

u(n)= -1 – если множителей нечетное число и нет квадратов простых множителей;

u(n) =0 – если есть квадраты простых множителей.

Для восстановления функции по ее линейным функционалам нужно степень многочлена положить равной нулю. Тогда для всех x e (-1; 1)будет справедливо разложение, которое можно назвать рядом Фурье-Чебышева [4]

Программа на базе Microsoft Excel

Рассмотрим работу программы. Вычислим интеграл .

Основная страница программы содержит четыре основных строки (рисунок 1);

Рис. 1 – Главная страница программы

В соответствующие строки вводятся пределы интегрирования и необходимая функция по правилу ввода функций для MSExcel. В четвертой строке получаем значение интеграла. Формула значения интеграла выглядит следующим образом (рисунок 2);

 

Рис. 2 – Формула, заложенная в вычислении интеграла в MSExcel

Что соответствует формуле (12) с учетом формулы (13)

Рис. 4 – Матрица вычислений

 

Матрицу  необходимо составить с учетом формулы (11) (рисунок 6);

 Сумма чисел, найденных путем произведения линейных функционалов  и   является третьим слагаемым в формуле (12)

Сравним результаты вычисления определенных интегралов численным методом в программе с вычислением их формулой Ньютона-Лейбница

Таблица 4 – сравнение результатов вычисления интегралов Римана

Заключение 

Результаты вычисления показывают, что численный метод решения интегралов Римана с помощью асимптотических многочленов, основанных на полиномах Чебышева, практически не уступают точным расчетам этих интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Особое преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет вычислять интегралы, подынтегральные функции которых не имеют первообразных. Преимущество программы на базе MicrosoftExcelзаключается в том, что она позволяет производить расчеты данным численным методом, без промежуточных вычислений, а также требуя при этом минимальное количество времени.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. АвхадиевФ.Г. Учебно-методическое пособие по численным методам анализа / Ф.Г. Авхадиев, Р.К. Губайдуллина, Р.Г Насибуллин - Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2019. –113 с.
2. ХованскийА.Г. Полиномы Чебышeва и их обращения /А.Г Хованский// Mat. Pros., 2013, Issue 17, 93–106
3. БогомоловаО.А.Табличный процессор MicrosoftExcel: учебно-практическое пособие для бакалавров направления «Строительство» очной формы обучения / О.А Богомолова, Н.А. Михайлова, А.Д. Скороходова ; М-во образования и науки Росс. Федерации, Волгоград: ВолгГАСУ 2012.
4. ВерещагинН.К. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств / Н.К Верещагин., А Шень. – 4е изд., доп.- М.: МЦНМО, 2012. – 112 с
5. ГрибковаВ.П. Эффективные методы равномерных приближений, основанные на полиномах Чебышева / В.П Грибкова. – М.: Издательство «Спутник+», 2017 – 194 с.
6. БойковИ.В. Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: сб. ст VII междунар. Науч.-техн. Конф., посвящ. 70-летию Пензенского государственного университета (Россия г. Пенза, 22-25 октября 2013г.) / под ред. И.В Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. – 246 с.
7. Степанов М.М. Аппроксимация функции: методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Информатика» / М.М Степанов, Н.Н Потапова, Т.В. Ерещенко.м-во образования и науки Росс. Федерации, Волгогр. Госю архит-строит.ун-т. – Электрон. Текстовые и граф. Дан. – Волгоград: ВолгГАСУ, 2012
8. Тимербаев М.Р. Численные методы. Приближение функций. Численное интегрирование / М.Р. Тимербаев. Учебное пособие / Казань 2015 г – 92 с.
9. Водопьянов С.К. Интегрирование по Риману / С.К. Водопьянов: Учеб. Пособие / Новосиб. Гос. Ун-т. Новосибирск, 2012. 146 с.
10. Эверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ / Э.И. Эверович. Учебное пособие в шести частях. Часть 2. Интегральное исчисление функций скалярного аргумента. / Минск 2006 г. – 189 с.
11. Mohammad A. Generalizwted Chebyshev polynomials of the second kind /A. Mohammad. Department of Mathematics, Noethwood University, Midland, MI, USA 2015, 9p

Список литературы на английском языке / References in English

1. Avkhadiev F.G. Uchebno-metodicheskoe posobie po chislennym metodam analiza [Textbook on numerical methods of analysis] / F.G. Avkhadiev, R.K. Gubaidullina, R.G. Nasibullin - Kazan: Kazan (Volga Region) Federal University, 2019. - 113 p. [in Russian]
2. Khovansky A.G. Polinomy Chebysheva i ih obrashhenija [Chebyshev polynomials and their inversions] / A.G. Khovansky // Mat. Pros., 2013, Issue 17, 93–106 [in Russian]
3. Bogomolova O.A. Tablichnyj processor Microsoft Excel: uchebno-prakticheskoe posobie dlja bakalavrov napravlenija «Stroitel'stvo» ochnoj formy obuchenija [Microsoft Excel spreadsheet processor: an educational and practical guide for bachelors in the field of "Construction" of full-time education] / O.A. Bogomolova, N.A. Mikhailova, A.D. Skorokhodova ; M-in Education and Science Ross. Federation, Volgograd: VolgGASU 2012. [in Russian]
4. Vereshchagin N.K. Lekcii po matematicheskoj logike i teorii algoritmov. Chast' 1. Nachala teorii mnozhestv [Lectures on mathematical logic and theory of algorithms. Part 1. The Beginnings of set theory] /N.K. Vereshchagin, A. Shen. - 4th ed., dop.- M.: ICNMO, 2012. - 112 p. [in Russian]
5. Gribkova V.P. Jeffektivnye metody ravnomernyh priblizhenij, osnovannye na polinomah Chebysheva [Effective methods of uniform approximations based on Chebyshev polynomials] /V.P Gribkova. - M.: Sputnik+ Publishing House, 2017 - 194 p. [in Russian]
6. Boikov I.V. Analiticheskie i chislennye metody modelirovanija estestvenno-nauchnyh i social'nyh problem[Analytical and numerical methods of modeling of natural-scientific and social problems]: sat. st. VII International. Sci.-tech. Conf., dedicated. To the 70th anniversary of Penza State University (Penza, Russia, October 22-25, 2013) / edited by I.V. Boikov. - Penza : Publishing House of PSU, 2013. - 246 p. [in Russian]
7. Stepanov M.M. Approksimacija funkcii : metodicheskie ukazanija k laboratornym rabotam po discipline «Informatika» [Function approximation : guidelines for laboratory work in the discipline "Informatics"] /M.M. Stepanov, N.N. Potapova, T.V. Ereshchenko. m-in education and Science Ross. Federation, Volgogr. Gosyu arhit-builds.un-T. - Electron. Text and graph. Dan. - Volgograd: VolgGASU, 2012 [in Russian]
8. Timerbaev M.R. Chislennye metody. Priblizhenie funkcij. Chislennoe integrirovanie [Numerical methods. Approximation of functions. Numerical integration] / M.R. Timerbayev. Textbook / Kazan 2015 - 92 p. [in Russian]
9. Vodopyanov S.K. Integrirovanie po Rimanu [Riemann integration] / S.K. Vodopyanov: Textbook. Manual /Novosibirsk. State. Un-T. Novosibirsk, 2012. 146 p. [in Russian]
10. Everovich E.I. Veshhestvennyj i kompleksnyj analiz [Real and complex analysis] / E.I. Everovich. The textbook is in six parts.Part 2. Integral calculus of scalar argument functions. / Minsk 2006 – 189 p . [in Russian]
11. Mohammad A. Generalizwted Chebyshev polynomials of the second kind /A. Mohammad. Department of Mathematics, Noethwood University, Midland, MI, USA 2015, 9p