Finite Element Modelling of Stiffness Parameters of Stressed State of Small-Size Steel Plates from Long Products for Small-Size CNC Machine Tools with Reinforcing Elements

Вопросы жесткости различных базовых узлов станков с ЧПУ, в особенности наиболее податливых – настольных станков, остаются актуальными ввиду их прямого влияния на достигаемую точность работы оборудования

В данной работе выполнен анализ варианта изготовления торцевых плит сборной станины из сортового проката посредством его резания и приваривания призматических элементов (цельных), для снижения себестоимости, причем для проведения численной оценки был принят наиболее неблагоприятный, предельный вариант конструкции призмы, когда она изготовлена сварной из нескольких отрезков проката.

Настоящая работа является логическим продолжением и углублением ранее опубликованной статьи, где представлена конструкция станины с нагруженными армирующими элементами, схема армирования и общая технология её изготовления

Метод конечно-элементного моделирования параметров жесткости широко используется при исследовании различных металлических конструкций

Перед переходом к непосредственному объекту исследования, обратимся к конструкции станины (см. рис. 1), в которой используются рассматриваемые торцы. Конструкция станины состоит из двух стальных торцов 1, стянутых армирующими элементами 2 круглого сечения диаметром от 15 до 35 мм. Армирующие элементы упруго растянуты, закреплены контргайками 3 и, поэтому, обеспечивают жесткость стальной конструкции. Все прочее пространство заполнено полимербетоном. Более подробно конструкция, её обоснование, значимость и технология изготовления изложена в работе –

Рисунок 1 - Общая конструкция станины: 

1 – торцевые плиты станины; 2 – армирующие элементы (нагруженные); 3 – системы контргаек

Примечание: вид сверху

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.1

Рассматриваемые торцы разработанной станины (см. рис. 2), как уже отмечалось ранее, имеют призматические выступы по краям, техническая значимость которых подробно описана в предыдущей работе –

[4]

. Одним из упомянутых вариантов их изготовления являлась комбинация операций резки хлыстов проката. Существование этого альтернативного варианта изготовления конструкции обусловлено дороговизной исходного варианта, где колонны и торец являются одним литым блоком, требующим обильной механической обработки.

Для изготовления торцевых плит согласно предложенному методу предполагается использовать сортовой квадратный прокат по ГОСТ 2591-2006. Наиболее технологичным решением для реализации на практике, разумеется, будет применение проката с наибольшей стороной квадрата, а именно 120 – 150 мм, что соответствует габаритному размеру рассматриваемой призмы –

Однако, поскольку в теоретических расчетах необходимо учитывать предельный вариант, (т.е. вариант, приводящий к наименьшей жесткости), то в рамках данного исследования рассмотрим один из самых неблагоприятных, нетехнологичных вариантов и примем для моделирования сварную призму из проката, сторона которого равна лишь 10 мм. Площадь его сечения составляет 1 см2. Площадь же поперечного сечения одной треугольной призмы станины может варьироваться от 72 см2 до 112,5 см2. Важно отметить, что использование на практике данного размера проката не подразумевается и рассмотрено лишь в качестве наихудшего по жесткости случая для нашего моделирования. В практической реализации, как отмечено выше, рационально использовать цельную призму, получаемую из проката с бОльшим поперечным сечением.

Рисунок 2 - Торцы станины

Примечание: красным отмечены рассматриваемые цельные треугольно-призматические колонны

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.2

Согласно предлагаемому способу изготовления, изначально хлыст крупного проката (со стороной 120-150мм), представляющий собой прямоугольную призму, разрезается по диагонали. В результате чего, после диагональной резки хлыста, будет получено две треугольные призмы необходимого габарита, что и требуется для одного торца станины. Такая треугольная призма цельная и, фактически, обеспечивает максимальную жесткость в контексте сварной конструкции, поскольку не имеет ни одного сварного шва, помимо тех, которые обеспечивают её соединение с пластиной (см. рис. 2). Таким образом, на всю станину необходимо изготовление четырех таких треугольных призм, что соответствует одному хлысту проката со стороной квадрата 120 – 150 мм длиной 400 мм.

Итак, при рассмотрении наихудшего предельного случая использования проката, принимаем случай сварной призмы. Неизбежно требуются некоторые упрощения для моделирования, с рядом введённых допущений. В настоящем исследовании для представления в расчетной модели сварных швов между отрезками малого проката 3, нами были использованы цилиндрические тела 1, а сформированные при этом пустоты 2 призваны учесть не только пористости, сторонние включения в сварном шве и прочие внутренние дефекты, но так же и имитировать призму, полученную аддитивно (для дальнейших исследований) (см. рис. 3). На рисунке 3 изображена расчетная модель сварной призмы, содержащей высокую концентрацию сварных швов на единицу площади.

Рисунок 3 - Структура тела, моделирующего предельную сварную призму:

1 – сварные швы; 2 – пустоты; 3 – отрезки квадратного проката малого сечения

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.3

Ещё одним важным условием при моделировании является корректное наложение связей (граничных условий) на испытываемое тело

[8, С. 7-8]

. Место установки жесткой заделки на теле определяется её зафиксированными поверхностями на момент приложения возмущающей силы. Согласно

[4]

заделка должна находиться в нижней центральной части торцовой плиты станины. В нашем случае, возмущающими силами являются упругие силы сжатия, созданные в армирующих элементах станины, которые через системы контргаек действуют непосредственно на её торец. Величина этих сил – 6кН. Вектор действия силы ориентирован перпендикулярно торцевой пластине станины и направлен вовнутрь, по направлению ко второй торцевой плите. Данный факт так же проистекает из технологии изготовления станины и взаимной ориентации сопрягаемых элементов.

Итак, для наглядного отображения и обоснования как направления, места приложения возмущающих сил (см. рис. 4(б, в)), так и места установки заделки (см. рис. 4(а)), ниже представлена иллюстрация закрепления торцов станины при установке в них нагруженных армирующих элементов. Стрелками обозначены векторы действия сил сжатия в армирующих элементах.

Рисунок 4 - Обоснование мест установки заделки и приложения сил: 

а - расположение фиксирующих элементов относительно торцевых плит станины; б, в - места приложения и направление возмущающих сил F

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.4

Имея обоснованные предложенной ранее технологией и конструкцией внешние силы и связи, перенесём их на созданную модель торцевой монолитной и сварной плиты. Проведем два испытания (расчета) на жесткость, где изменяется лишь структура треугольных призм, оставляя все прочие вводные неизменными ввиду указанных выше причин.

При расчете значений жесткостей конструкций, введём в формулу (3) поправочный коэффициент заполнения сварной призмы. Выведем общую методику определения коэффициента k, исходя из параметров, обозначенных на рисунке 5. Для этого, определим площадь поперечного сечения отрезка проката с учетом полости SСЕЧ двумя способами – через длину стороны полости и через длину стороны проката, но с введением дополнительного множителя k0, показывающего, во сколько раз длина a1 отличается от длины a. Тогда, имеем:

отсюда,

отсюда, искомый коэффициент k:

(1)

Рисунок 5 - Фрагмент предельной сварной призмы из малого проката: 

a – длина стороны отрезка; a1 – длина стороны полости S и S1 – Площади отрезка и полости соответственно

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.5

Итак, коэффициент в общем случае определяется как разница между единицей и соотношением длин сторон a1 к a (см. рис. 5). Коэффициент k, фактически, учитывает меру заполнения сварной конструкции материалом. В нашем расчете, при размерах проката, используемого для моделирования предельного случая, коэффициент k согласно формуле (1) равен:

По результатам моделирования получим величины перемещений в различных точках тела в обоих случаях. Поскольку предметом данного исследования является жесткость конструкций, то примем во внимание лишь максимальные значения полученных перемещений и, зная величину приложенных сил, рассчитаем значения жесткости для их оценки. Результаты проведённых расчётов, на основе описанных выше вводных условий, представлены ниже (см. рис. 6, 7).

Рисунок 6 - Результат расчёта на жесткость методом конечных элементов монолитной конструкции торца станины

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.6

Как видно из результатов расчёта, максимальное перемещение в случае монолитной конструкции торца составило 0,00343 мм. Полученное значение, как и предполагалось, является удовлетворительным для конструкции станины. Рассчитаем значение жесткости для данного случая j1, пользуясь известной формулой, выводимой из определения жесткости

[9, С. 11]

:

(2)

где, F – величина прикладываемой к конструкции внешней силы

x1 – величина перемещений, полученных в результате расчета

Рисунок 7 - Результат расчёта на жесткость методом конечных элементов конструкции торца станины со сварными призмами из малого проката

Примечание: предельные призмы

DOI:10.23670/IRJ.2024.139.72.7

По результатам расчёта конструкции, изготовленной с рассматриваемыми сварными призмами, наибольшее значение вызванных перемещений – 0,00396 мм. Такая величина перемещений так же является приемлемой для конструкции предложенной станины. Рассчитаем значение жесткости для данного случая j2, учитывая введённый ранее коэффициент k:

(3)

где, F – величина прикладываемой к конструкции внешней силы

x2 – величина перемещений, полученных в результате расчета

k – коэффициент, учитывающий контактную площадь

В соответствии со сделанными предположениями и логикой, сварная конструкция обладает меньшей жесткостью, чем монолитная, однако перемещения в обоих случаях достаточно малы. Для наглядной сравнительной оценки жесткостей двух конструкций рассчитаем относительную потерю жесткости (в процентах) при замене литой конструкции на сварную по формуле (4):

(4)

Итак, соответственно проведенному исследованию, при рассмотрении предельного случая предложенного способа изготовления призм для торцов станины из сортового проката, жесткость торцевой плиты снижается приблизительно на 38%. Такое снижение жесткости не является критическим для конструкции ввиду малых абсолютных перемещений. Более того, принимая во внимание тот факт, что был намеренно промоделирован предельный случай составной (сварной) призмы, содержащий высокую концентрацию сварных швов в её объеме, можно утверждать, что предлагаемая практическая реализация конструкции с цельным прокатом большего сечения (без сварных швов в объеме), с запасом обеспечит необходимую жесткость конструкции.

Столь низкий процент снижения жесткости, полученный по результатам моделирования, объясняется сразу несколькими факторами. Во-первых, это не совершенство математических моделей как таковых, в том числе и построенная нами для расчёта модель не учитывает всех дефектов сварных швов и отрезков проката. Во-вторых, сама геометрия конструкции торцов станины изначально предусматривала возможность изготовления методом сварки. В-третьих, модель не учитывала наличие внутренних напряжений в конструкции, векторы направления которых могли бы совпасть с вектором перемещений.

К плюсам рассмотренного метода изготовления, помимо обеспечения высокой жесткости, можно отнести применение стандартного квадратного проката ГОСТ, его относительную дешевизну, вариативность размеров и доступность. Так же, поскольку метод заключается лишь в диагональной резке и приваривании этого проката к торцевой пластине, то номенклатура инструмента для изготовления конструкции ограничивается сварочным аппаратом и отрезной пилой (либо отрезной станок).

Важно отметить, что рассмотренный в данной работе способ обладает и рядом минусов. Во-первых, при приваривании призмы к торцевой пластине невозможно обеспечить высокую точность итоговой детали, что может оказаться критично для такого ответственного узла станка как станина. Более того, в случае обеспечения точности при сварке, после окончания процесса в конструкции будут иметь место остаточные напряжения, что потенциально может привести к изменению её геометрии или разрушению в случае релаксации напряжений

Причиной же, ввиду которой в тексте статьи предлагается реализовывать на практике именно цельные, а не сварные призмы, является наличие нижнего предела величины сечения проката, при достижении которого изготовление призмы становится не только трудоемким, но и невозможным ввиду появления при сварке трещин в шве и прилегающей к нему зоне. Полученные при этом остаточные напряжения приведут к разрушению конструкции. Соответственно, можно сделать однозначный вывод о нецелесообразности использования сварных призм (т.е. проката, сторона которого меньше, чем габаритная ширина призмы).

Таким образом, предложенный вариант изготовления торцов синтеграновой станины с нагруженными армирующими элементами, является применимым, требует относительно низких затрат на материалы (сортовой прокат) и применяемый инструмент, а так же обеспечивает высокую жесткость для конструкции, но является ситуативным ввиду ряда обозначенных выше недостатков.