ТРИГОНОМЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСЛЕДНЕЙ (ВЕЛИКОЙ) ТЕОРЕМЫ П. ФЕРМА

Научная статья
Выпуск: № 8 (39), 2015
Опубликована:
2015/09/15
PDF

Соколов Г.М.

Профессор доктор технически наук, Поволжский государственный технологический университет

ТРИГОНОМЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСЛЕДНЕЙ (ВЕЛИКОЙ) ТЕОРЕМЫ П. ФЕРМА

Аннотация

Рассмотрено тригонометрическое отображение действительных чисел. На основании этого получено элементарное доказательств последней (великой) теоремы П. Ферма.

Ключевые слова: действительные, числа, теорема, Ферма.

Sокоlоv G.М.

Professor doctor of  Technical  Sciences, Volga State University of Technology

TRIGONOMETRICAL REPRESENTATION OF REAL NUMBERS ELEMENTARY LAST (GREAT) P. FERMAT’S THEOREM PROOF

Abstract

Trigonometrical representation of real numbers has been considered.  On the grounds of that the elementary last (Great) P. Fermat’s theorem proof has been achieved.

Keywords: real, numbers, theorem, Ferma.

Теорема. Если a, b, c - положительные целые числа, то an+bncn при где n - целое положительное число.

Напишем выражение

03-09-2015 12-38-48

откуда

03-09-2015 12-38-54

Смысл доказательства теоремы состоит в том, что следует установить, при каких целочисленных значениях n в выражении (1) совмещаются одновременно целые числа a, b, c.

Рассмотрим  один из трех равнозначных случаев. Установим, при каких целочисленных значениях n в выражении (1) при целых a, b число c является  целым. (В двух других  при целых a, c в отношении целостной совместимости аналогично исследуется число b или при целых b, c исследуется a).

Справедливы  неравенства 03-09-2015 13-20-24

Следовательно, числа  a,b,c выражают стороны треугольника (рис.1-а).

03-09-2015 12-40-04

Рис. 1. Числа a, b, c  как стороны треугольника

В векторной форме  (рис. 1-б)

03-09-2015 12-40-33

В  дальнейшем вектор 03-09-2015 12-40-49  считаем  постоянным и 03-09-2015 12-41-04

По теореме косинусов

03-09-2015 12-41-13

откуда с учетом (1')

03-09-2015 12-41-24

При n=1; 2 угол φ не зависит от a, b

03-09-2015 12-42-26

При n=1 равенство (1) имеет вид

03-09-2015 12-42-41

При n=2 в соответствии с теоремой Пифагора имеем

03-09-2015 12-43-01

В обоих случаях годограф вектора 03-09-2015 12-43-10 является прямой,  совпадающей  с вектором  03-09-2015 12-43-19 (прямые 1 (AK) и 2 (AG) на рис. 3).

В остальных случаях (n1; 2) при постоянных n он является криволинейным.

03-09-2015 13-24-02

Рис. 2. К выводу тригонометрических выражений

Рассмотрим случай b=a. В равнобедренном треугольнике OAB (рис. 2) OB=c, OA=AB=a, α=φ/2 Обозначим m=n.

На основании (1') c=21/ma. Отсюда

03-09-2015 12-45-28

Угол α  в радианах при a=1 численно равен половине дуги окружности  03-09-2015 12-45-58

03-09-2015 12-48-33

При известных α и sin α  можно определить все остальные тригонометрические функции.

Таким образом, тригонометрические функции и их углы являются функциями одной переменной m, выражающей действительные числа.

Напишем выражение

03-09-2015 12-49-16

что повторяет случаи (4'), поэтому n=m=1; 2.

Заметим, что при m=const  (cosφ=const)  годограф вектора 03-09-2015 12-50-44 является прямой, совпадающей с  линией вектора 03-09-2015 12-50-54 (это прямые AB  рис. 1, 2 ).

На основании (4) теорема косинусов имеет вид

03-09-2015 12-51-24

Число c в (8) при целых a,b является целым только тогда, когда подкоренное выражение является полным  квадратом суммы, что может быть только при n=m=1; 2

В случае n=m=1

03-09-2015 12-53-21

В остальном (при n1;2, m1;2)  это условие не выполняется.

Таким образом, теорема доказана.

Установим диапазон изменения m  для кривой с постоянным n.

Ясно, что верхний предел m=n при b=a.

Нижний предел находим из условия b0. Рассмотрим 03-09-2015 12-55-05, где на основании (4) 03-09-2015 12-55-19. И числитель, и знаменатель при b0 стремятся к нулю, если n>1. Первая реализация правила Лопиталя приводит к результату

03-09-2015 12-56-33

Пример. Рассмотрим случай  n=3. На рис. 3 03-09-2015 12-56-46.

При 0<ba число m изменяется в пределах 2<m≤3 (кривая 3 (AD).   Поэтому при целых значениях  a,b  число c целым быть не может.

03-09-2015 12-58-33

Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции 03-09-2015 12-59-30

Кривая AD (n=3) построена  по формулам (10), где 03-09-2015 12-58-46,

03-09-2015 12-59-46

К примеру, для точки B (b=0,75a) по (10) имеем 03-09-2015 13-00-21, а из  (8) находится m=2,9393.

Теореме Ферма (∞>n≥2) соответствует область AGL (затемнена).

Результаты расчета приведены в таблице.

Таблица

03-09-2015 13-01-50

 

Содержащиеся в таблице численные значения иллюстративно дополняют выполненное доказательство теоремы.

Литература

  1. Соколов Г. М. Общая последняя теорема П. Ферма (элементарное доказательство). Издание четвертое, переработанное. Йошкар-Ола, 2006. 36 с.

References

  1. Gennadiy Sokolov. Fermat’s last theorem (elementary proof). 4th edition, revised. Yoshkar-Ola. 2006. 36 s.