Разработка метода ограничения динамических нагрузок управляемых машин на основе решения обратной задачи динамики

Актуальной проблемой создания многих современных машин и оборудования с программным управлением, которые могут быть отнесены к классу мехатронных систем, является ограничение уровня колебательных движений исполнительных механизмов, которые снижают быстродействие, точность выполнения движений и надежность работы. Особенно большое значение эта проблема приобретает при создании новых высокопроизводительных машин технологического и транспортного назначения (промышленных роботов, металлообрабатывающих станков, прокатных станов, строительно-дорожных машин, карьерных и шагающих экскаваторов и др.)

Стремление к повышению производительности, надежности и качества функционирования подобных систем вызывает необходимость учета упругой податливости исполнительных механизмов при создании систем управления движением. В настоящее время для решения задач синтеза управления колебательными движениями управляемых систем применяются различные методы:

– прямые методы синтеза, основанные на использовании принципа максимума

– частотные, связанные с получением и анализом амплитудно- и фазо-частотных характеристик системы управления

– корневые, базирующиеся на выборе параметров характеристического полинома, исходя из его корней и условий устойчивости

– близкие к ним модальные методы, известные как методы размещения полюсов передаточной функции

– методы, связанные с минимизацией интегральных квадратичных оценок упругих отклонений

– методы передаточных функций, в том числе опирающиеся на использование стандартных форм Баттерворта

– методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов

Как показывает анализ, большинство из приведенных методов синтеза, оказываются либо недостаточно эффективными, в том числе, вследствие увеличения времени выполнения программных движений или несовпадения точек управления с точками наблюдения; либо сложны в реализации из-за трудности выбора эталонных моделей или весовых коэффициентов функционалов качества, отсутствия полной информации о векторе состояния системы, невозможности мгновенных изменений управляющих воздействий, чувствительности к изменениям структуры и параметров объектов управления и нелинейных свойств приводов и регуляторов; либо приводят к нарушению законов программного движения и т.д. В этих работах, как правило, решаются задачи только параметрического синтеза при заданной структуре системы управления, поскольку применяемые критерии эффективности управления не учитывают физическое содержание управляемого процесса.

Для характеристики эффективности и качества системы управления в приведенных методах, в основном, используются косвенные (интегральные и корневые) критерии качества. Основными недостатками применяемых критериев является невозможность одновременного учета всех показателей качества переходных процессов и не столько неоптимальность получаемых при их использовании алгоритмов управления движением, сколько неизвестная степень отличия от оптимальных, что не позволяет производить их сравнительную оценку и обоснованный выбор.

В этих условиях эффективным инструментом синтеза управления движением управляемых систем с учетом упругости звеньев может оказаться использование концепции обратных задач динамики

В настоящей статье, на примере двухмассовой расчетной схемы, с помощью которой могут быть описаны динамические свойства многих управляемых машин, приводятся результаты исследований по разработке метода ограничения динамических нагрузок исполнительных механизмов на основе концепции обратных задач динамики.

В качестве объекта исследования выберем двухмассовую расчетную схему, показанную на рис. 1. На этой схеме приняты следующие обозначения:

Converter — преобразователь сигнала управления;

Расчетная схема

DOI:10.60797/IRJ.2026.170.53.1

Открыть в полном размереСкачать рисунок

Полагая приведенные массы сосредоточенными, а коэффициенты жесткости и демпфирования постоянными, получим дифференциальные уравнения движения механической системы в операторной форме:

где

Динамические свойства электропривода учтем с помощью апериодического звена с единичным коэффициентом усиления:

где

Найдем движущей момент привода, который обеспечит неколебательный характер управляемого движения, задав упругое отклонение в виде:

где

Разрешая уравнения (1–3) относительно

В этом выражении приняты следующие обозначения:

где

Полученный закон изменения движущего момента (5), обеспечивающие желаемый характер изменения упругого отклонения (4), являющийся функцией времени, дает возможность сформировать различные структуры регуляторов двигателей для управления движением колебательной системы на основе принципа обратной связи.

2.1. Управление по упругой деформации и ее производной

Сформируем структуру и параметры регулятора для реализации заданного закона (4) на основе обратных связей по упругой деформации

Подставляя (6) и (7) в (5), после ряда преобразований, получим закон управления на основе принципа обратной связи по упругой деформации и ее производной:

где

Расчет корней

В соответствии с критерием Гурвица, достаточными условиями устойчивости системы являются выражения:

из которых следует, что коэффициенты

Поскольку положительные обратные связи снижают запас устойчивости, выдвинем условие отрицательности коэффициентов путем выбора корней уравнения (4). С этой целью получим характеристическое уравнение двухмассовой системы на основании выражений (1) и (2):

Приняв в этом уравнении значение коэффициента затухания колебаний равным

которые должны обеспечить устойчивые переходные процессы при различных видах обратных связей.

Постоянная времени привода

Из выражения (9) видно, что максимальное значение постоянной времени привода определяется параметрами системы и корнями уравнения (4).

Структурная схема системы управления на основе обратных связей по упругой деформации и ее производной, согласно выражения (8), показана на рис. 2 (канал 1). Для технической реализации предлагаемого вида обратных связей можно использовать тензометрический датчик упругой деформации, а сигнал скорости ее изменения получать программным способом.

Определим параметры регулятора для реализации желаемого движения на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения. С этой целью найдем зависимость, связывающую скорость и ускорение привода с управляющим моментом (5). Объединяя уравнение (1) с выражениями (3) и (5) при условии, что

Подставляя в последнее уравнение выражение (4) и его производные и группируя коэффициенты при экспоненциальных функциях, получим неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка

В выражении (10) использованы следующие обозначения:

Решение (10) будем искать в виде

дифференцируя уравнение (11) трижды и подставляя в (10), после группировки при экспоненциальных функциях, получим равенство

Приравнивая нулю выражения в квадратных скобках, найдем неизвестные сомножители:

Используя выражение (11), составим следующую систему уравнений:

Выразим из полученных уравнений временные функции через скорость и ускорение привода движения

Подставляя зависимости (12) и (13) в (5), найдем выражение, определяющее управляющее воздействие на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения

где

Структурная схема системы управления на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения, согласно выражения (14), приведена на рис. 2 (канал 2). Необходимо отметить, что значения коэффициентов

Найдем параметры регулятора на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода. С этой целью, используя выражения (4) и (11), составим систему уравнений для нахождения упругой деформации и скорости движения привода

Подставляя выражения (15) и (16) в (5), получим выражение, определяющее управляющее воздействие на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода

где

Структурная схема системы управления на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода, согласно выражения (17), показана на рис. 2 (канал 3).

Структурная схема системы управления с обратными связями

DOI:10.60797/IRJ.2026.170.53.2

Открыть в полном размереСкачать рисунок

Очевидным условием устойчивости полученной системы является отрицательность коэффициента

$K_{V2}$

, величина которого зависит от корней уравнения (4) и постоянной времени

$T_d.$

Для реализации обратных связей может быть использован тензометрический датчик упругой деформации и штатный датчик скорости движения привода.

Для проверки эффективности предложенных структур регуляторов было проведено численное моделирование уравнений движения (1)–(3) с управляющими воздействиями, определяемыми выражениями (8), (14) и (17), Поскольку в реальной системе управления наличие главных обратных связей по скорости позволяет компенсировать влияние постоянных и переменных составляющих в (8), (14) и (17), исследования выполнялись для следующего режима движения: 0 < t < 0,5 сек, M0 = 0,009 рад; 0,5 < t < 1,0 сек, M0 = 0 рад; 1,0 < t < 1,5 сек, M0 = -0,009 рад. Моделирование проводилось с помощью расчетного модуля Matlab Simulink при следующих параметрах двухмассовой системы: J1 = 4 кг*м2, J2 = 4 кг*м2, с12 = 3000 H*м/рад, b12 = 15H м*с/рад. Расчетные значения корней уравнения (4) составили λ1 = -28,29 и λ2 = -53, время переходного процесса t = 6...8Tm1 = 8*0,035 = 0,82c, а максимальная величина постоянной времени привода — Td < 0,0123c. Учитывая возможности современных преобразователей частоты с обратными связями по скорости, принимаем Td = 0,01c.

Для принятых значений параметров системы были определены коэффициенты усиления: KA = 4428 B/рад, KV = -55,2 B*c/рад — для обратных связей по упругой деформации и ее производной; KC = -0,054 B*c2/рад, KV1 = -118,86 B*c/рад — для обратных связей по скорости и ускорению привода движения; KV2 = -10,4 B*c/рад, KA1 = 351 B/рад– для обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода. Величина напряжения управления определялась по

Проведенное моделирование показало высокую эффективность использования предложенных обратных связей для снижения колебательных движений в двухмассовой мехатронной системе. Эти связи позволяют снизить амплитуды упругих колебаний и сократить длительность переходных процессов в системе.

В качестве иллюстрации, на рис. 3 и 4 приведены осциллограммы изменений упругого момента M12, ускорения привода dω2/dt и скорости его движения ω2. На этих рис. кривые 1 соответствуют исходной системе; 2 — управлению на основе обратных связей по упругой деформации и ее производной; 3 — управлению на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения; 4 — управлению на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода.

Как следует из рис. 3, использование обратных связей по упругой деформации и ее производной в режиме пуска позволило получить неколебательный переходный процесс апериодического вида (кривая 2) с длительностью ttp = 0,28 с, что в два раза меньше, чем в исходной системе (кривая 1), в которой перерегулирование в режиме пуска составляло σ = 71%, а логарифмический декремент колебаний δ = 0,198. Для обратных связей по скорости и ускорению привода движения (кривая 3) и обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода (кривая 4) характерно незначительное перерегулирование при пуске σ = 5%, а переходные процессы приближаются к апериодическому виду продолжительностью ttp = 0,2 сек. Следует отметить, что в режиме пуска управление по скорости и ускорению привода движения позволяет получить более высокое быстродействие системы, по сравнению с управлением по упругому отклонению и ее производной. Характеристики качества переходных процессов остаются неизменными и в режиме торможения привода.

Из осциллограмм изменения скоростей движения привода ω2 (см. рис. 4) следует, что применение предложенных обратных связей позволяет исключить колебательные составляющие и приблизить кривые скорости движения привода к апериодическому виду по сравнению с исходной системой как в режиме пуска, так и торможения.

Осциллограммы упругого момента и ускорения привода движения

DOI:10.60797/IRJ.2026.170.53.3

Открыть в полном размереСкачать рисунок

Осциллограммы скорости движения привода

DOI:10.60797/IRJ.2026.170.53.4

Открыть в полном размереСкачать рисунок

Необходимо также отметить практическое совпадение осциллограмм изменения упругого момента и ускорения привода движения (см. рис. 3) при управлении как по скорости и ускорению привода движения (кривая 3), так и по упругой деформации и скорости движения привода (кривая 4), что свидетельствует о возможности выбора наиболее рациональных структур регуляторов в зависимости от особенностей применения управляемых систем.

Выполненные исследования показали возможность использования концепции обратных задач динамики для разработки метода ограничения динамических нагрузок исполнительных механизмов управляемых машин. Получены аналитические зависимости по определению требуемых управляющих воздействий путем решения обратной задачи динамики по заданному неколебательному характеру управляемого движения. Показано, что найденные воздействия могут быть использованы для решения задачи структурно-параметрического синтеза системы управления движением путем их выражения через обобщенные координаты объекта управления и реализации с помощью различных структур регуляторов по принципу обратной связи. Рассмотрены возможные пути технической реализации синтезированных структур регуляторов системы управления движением и определены их параметры. Численным моделирование динамических процессов в двухмассовой системе в Matlab Simulink подтверждена эффективность использования предложенных структур системы управления для ограничения динамических нагрузок по сравнению с исходной управляемой системой. Применение этих структур системы управления позволило снизить амплитуды упругих колебаний и динамические нагрузки по сравнению с исходной системой.