2303-9868 2227-6017 Международный научно-исследовательский журнал 2303-9868 ООО Цифра 10.60797/IRJ.2026.170.53 Brief communication Разработка метода ограничения динамических нагрузок управляемых машин на основе решения обратной задачи динамики https://orcid.org/0000-0002-3083-0182 Кузнецов Николай Константинович knik@istu.edu 1 Каменяр Михаил Евгеньевич maxkamenyar@gmail.com 1 https://orcid.org/0000-0003-3980-0681 https://elibrary.ru/author_profile.asp?id=1249008 Иов Иван Алексеевич iovivan@rambler.ru 1 https://ror.org/01zzkcm34 Иркутский национальный исследовательский технический университет 17 08 2026 2026 9 170 1 9 23 05 2026 06 07 2026 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

В работе на примере двухмассовой расчетной схемы, с помощью которой могут быть описаны динамические свойства многих управляемых машин, приводятся результаты исследований по разработке метода ограничения динамических нагрузок исполнительных механизмов на основе концепции обратных задач динамики. Приводятся аналитические зависимости по определению требуемых управляющих воздействий путем решения обратной задачи динамики по заданному неколебательному характеру управляемого движения. Показывается, что найденные воздействия в виде временных зависимостей не будут зависеть от структуры системы управления движением и могут быть использованы для решения задачи структурно-параметрического синтеза системы путем выражения этих воздействий через обобщенные координаты объекта управления и их реализации с помощью различных структур регуляторов по принципу обратной связи. Обсуждаются возможные пути технической реализации предложенных структур регуляторов системы управления движением, определяются их параметры и приводятся результаты численного моделирования эффективности в системе Matlab Simulink для ограничения динамических нагрузок по сравнению с исходной управляемой системой.

 управляемые машины динамические нагрузки двухмассовая расчетная схема обратная задача динамики управляющее воздействие HTML-content

1. Введение

Актуальной проблемой создания многих современных машин и оборудования с программным управлением, которые могут быть отнесены к классу мехатронных систем, является ограничение уровня колебательных движений исполнительных механизмов, которые снижают быстродействие, точность выполнения движений и надежность работы. Особенно большое значение эта проблема приобретает при создании новых высокопроизводительных машин технологического и транспортного назначения (промышленных роботов, металлообрабатывающих станков, прокатных станов, строительно-дорожных машин, карьерных и шагающих экскаваторов и др.) [1], [2], [3].

Стремление к повышению производительности, надежности и качества функционирования подобных систем вызывает необходимость учета упругой податливости исполнительных механизмов при создании систем управления движением. В настоящее время для решения задач синтеза управления колебательными движениями управляемых систем применяются различные методы:

– прямые методы синтеза, основанные на использовании принципа максимума [4], [5], [6];

– частотные, связанные с получением и анализом амплитудно- и фазо-частотных характеристик системы управления [7], [8];

– корневые, базирующиеся на выборе параметров характеристического полинома, исходя из его корней и условий устойчивости [9], [10], [11], [12];

– близкие к ним модальные методы, известные как методы размещения полюсов передаточной функции [13], [14];

– методы, связанные с минимизацией интегральных квадратичных оценок упругих отклонений [15], [16];

– методы передаточных функций, в том числе опирающиеся на использование стандартных форм Баттерворта [17], [18];

– методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов [19], [20], [21] и т.д.

Как показывает анализ, большинство из приведенных методов синтеза, оказываются либо недостаточно эффективными, в том числе, вследствие увеличения времени выполнения программных движений или несовпадения точек управления с точками наблюдения; либо сложны в реализации из-за трудности выбора эталонных моделей или весовых коэффициентов функционалов качества, отсутствия полной информации о векторе состояния системы, невозможности мгновенных изменений управляющих воздействий, чувствительности к изменениям структуры и параметров объектов управления и нелинейных свойств приводов и регуляторов; либо приводят к нарушению законов программного движения и т.д. В этих работах, как правило, решаются задачи только параметрического синтеза при заданной структуре системы управления, поскольку применяемые критерии эффективности управления не учитывают физическое содержание управляемого процесса.

Для характеристики эффективности и качества системы управления в приведенных методах, в основном, используются косвенные (интегральные и корневые) критерии качества. Основными недостатками применяемых критериев является невозможность одновременного учета всех показателей качества переходных процессов и не столько неоптимальность получаемых при их использовании алгоритмов управления движением, сколько неизвестная степень отличия от оптимальных, что не позволяет производить их сравнительную оценку и обоснованный выбор.

В этих условиях эффективным инструментом синтеза управления движением управляемых систем с учетом упругости звеньев может оказаться использование концепции обратных задач динамики [22], [23], [24], которая, с одной стороны, позволяет воспользоваться не косвенными, а прямыми критериями эффективности, например, в виде заданной кривой переходного процесса, которая учитывает многие показатели качества движения, такие как минимальное время регулирования, критическое затухание, максимальная степень устойчивости или характеристики идеального фильтра. С другой стороны, поскольку получаемые в замкнутой форме потребные управляющие воздействия не будут зависеть от структуры регулятора, данный подход позволяет решать задачи структурно-параметрического синтеза системы управления движением путем выражения полученных временных зависимостей через фазовые координаты объекта управления [25].

В настоящей статье, на примере двухмассовой расчетной схемы, с помощью которой могут быть описаны динамические свойства многих управляемых машин, приводятся результаты исследований по разработке метода ограничения динамических нагрузок исполнительных механизмов на основе концепции обратных задач динамики.

2. Объект и методы исследования

В качестве объекта исследования выберем двухмассовую расчетную схему, показанную на рис. 1. На этой схеме приняты следующие обозначения:

Converter — преобразователь сигнала управления;

[LATEX_FORMULA]M[/LATEX_FORMULA] — электродвигатель постоянного тока;

[LATEX_FORMULA]\(J_1\)[/LATEX_FORMULA] — приведенный момент инерции ротора двигателя и передаточного механизма;

[LATEX_FORMULA]\(J_2\)[/LATEX_FORMULA] — приведенный момент инерции исполнительного механизма;

[LATEX_FORMULA]\(\varphi_1\)[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\(\varphi_2\)[/LATEX_FORMULA] — обобщенные координаты приведенных масс;

[LATEX_FORMULA]\(c_{12}\)[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\(b_{12}\)[/LATEX_FORMULA] — коэффициенты жесткости и демпфирования упругого элемента;

[LATEX_FORMULA]\(M_{dv}\)[/LATEX_FORMULA] — движущий момент, развиваемый приводом;

[LATEX_FORMULA]\(M_C\)[/LATEX_FORMULA] — момент, создаваемой нагрузкой.

Расчетная схема

Расчетная схема

Полагая приведенные массы сосредоточенными, а коэффициенты жесткости и демпфирования постоянными, получим дифференциальные уравнения движения механической системы в операторной форме:

J 1 φ 1 s 2 + c 12 Δ φ 12 + b 12 Δ φ 12 s = M дв ; J 2 φ 2 s 2 − c 12 Δ φ 12 − b 12 Δ φ 12 s = − M с .

где [LATEX_FORMULA]\Delta \varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2[/LATEX_FORMULA][LATEX_FORMULA]s = \frac{d}{dt}[/LATEX_FORMULA] — упругое отклонение;

[LATEX_FORMULA]s=\frac{d}{d t}[/LATEX_FORMULA] — оператор Лапласа.

Динамические свойства электропривода учтем с помощью апериодического звена с единичным коэффициентом усиления:

( T d s + 1 ) M д в = U z a d ,

где [LATEX_FORMULA]U_{\text{зад}}[/LATEX_FORMULA] — напряжение;

[LATEX_FORMULA]T_d[/LATEX_FORMULA] — постоянная времени привода.

Найдем движущей момент привода, который обеспечит неколебательный характер управляемого движения, задав упругое отклонение в виде:

Δ φ 12 = M 0 ( 1 − 1 2 e λ 1 t − 1 2 e λ 2 t ) ,

где [LATEX_FORMULA]\( M_0 \)[/LATEX_FORMULA] — некоторая постоянная, такая, что в период времени [LATEX_FORMULA]\( 0 < t < t_1 \)[/LATEX_FORMULA][LATEX_FORMULA]M_0 = const[/LATEX_FORMULA], а при [LATEX_FORMULA]t > t_1[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]M_0 = 0;[/LATEX_FORMULA]

[LATEX_FORMULA]\( t_1 \)[/LATEX_FORMULA] — время переходного процесса;

[LATEX_FORMULA]\( \lambda_1 = 1/T_{m1} \), \( \lambda_2 = 1/T_{m2} \)[/LATEX_FORMULA] — корни уравнения, такие что [LATEX_FORMULA]\( \operatorname{Re} \lambda_{1,2} < 0 \); \( T_{m1,2} \)[/LATEX_FORMULA] — постоянная времени переходного процесса.

Разрешая уравнения (1–3) относительно [LATEX_FORMULA]\( \Delta \varphi_{12} \)[/LATEX_FORMULA] и подставляя в них выражение (4) и его вторую производную, получим зависимость для нахождения управляющего момента:

J 1 K 1 C 1 e λ 1 t + J 1 K 2 C 1 e λ 2 t + 2 M 0 ω 12 2 = U зад + M c J 2 ( T d p + 1 )

В этом выражении приняты следующие обозначения:

K 1 = − [ T d λ 1 3 + ( 1 + T d b 12 J 12 ) λ 1 2 + ( b 12 J 12 + ω 12 2 T d ) λ 1 + ω 12 2 ] ; K 2 = − [ T d λ 2 3 + ( 1 + T d b 12 J 12 ) λ 2 2 + ( b 12 J 12 + ω 12 2 T d ) λ 2 + ω 12 2 ] ,

где

ω 12 = c 12 ( J 1 + J 2 ) J 1 J 2

частота свободных колебаний системы;

[LATEX_FORMULA]J_{12} = \frac{J_1 + J_2}{J_1 J_2}[/LATEX_FORMULA] — коэффициент соотношения приведенных масс.

Полученный закон изменения движущего момента (5), обеспечивающие желаемый характер изменения упругого отклонения (4), являющийся функцией времени, дает возможность сформировать различные структуры регуляторов двигателей для управления движением колебательной системы на основе принципа обратной связи.

2.1. Управление по упругой деформации и ее производной

Сформируем структуру и параметры регулятора для реализации заданного закона (4) на основе обратных связей по упругой деформации [LATEX_FORMULA]\Delta \varphi_{12}[/LATEX_FORMULA] и ее производной [LATEX_FORMULA]\Delta \varphi_{12} s[/LATEX_FORMULA]. Для этого, используя выражение (4), составим систему уравнений для нахождения упругой деформации и ее производной:

M 0 e λ 1 t = Δ φ 12 s − λ 2 Δ φ 12 + 2 M 0 λ 2 λ 2 − λ 1 ; M 0 e λ 2 t = − Δ φ 12 s + λ 1 Δ φ 12 − 2 M 0 λ 1 λ 2 − λ 1 .

Подставляя (6) и (7) в (5), после ряда преобразований, получим закон управления на основе принципа обратной связи по упругой деформации и ее производной:

U zad = K A Δ φ 12 + K V Δ φ 12 s + M ,

где

K A = J 1 ( K 1 λ 2 − K 2 λ 1 ) λ 2 − λ 1 K V = J 1 ( K 2 − K 1 ) λ 2 − λ 1

коэффициенты усиления обратных связей по упругой деформации и ее производной; [LATEX_FORMULA]M = 2 M_0 J_1 \left[ \frac{(K_1 \lambda_2 - K_2 \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1} + \omega_{12}^2 \right].[/LATEX_FORMULA]

Расчет корней [LATEX_FORMULA]\lambda_1[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\lambda_2[/LATEX_FORMULA] выполним на основе характеристического уравнения, полученного из уравнений (1), (2), (3) и (8):

[LATEX_FORMULA]D(p) = -J_1 J_2 T_d s^3 - \left[ J_1 J_2 + b_{12} (J_1 + J_2) T_d \right] s^2 - \left[ c_{12} (J_1 + J_2) T_d + b_{12} (J_1 + J_2) - J_2 K_V \right] p + \left[ -J_2 K_A + c_{12} (J_1 + J_2) \right][/LATEX_FORMULA]

В соответствии с критерием Гурвица, достаточными условиями устойчивости системы являются выражения:

[LATEX_FORMULA]K_V < \frac{b_{12} (J_1 + J_2)}{J_2} + \frac{c_{12} T_d (J_1 + J_2)}{J_2}, \quad K_A < \frac{c_{12} (J_1 + J_2)}{J_2},[/LATEX_FORMULA]

из которых следует, что коэффициенты [LATEX_FORMULA]K_A[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]K_V[/LATEX_FORMULA] могут быть как положительными, так и отрицательными.

Δ φ 12 s 2 + 2 ξ ω 12 s Δ φ 12 + ω 12 2 Δ φ 12 = 0 .

Поскольку положительные обратные связи снижают запас устойчивости, выдвинем условие отрицательности коэффициентов путем выбора корней уравнения (4). С этой целью получим характеристическое уравнение двухмассовой системы на основании выражений (1) и (2):

Приняв в этом уравнении значение коэффициента затухания колебаний равным [LATEX_FORMULA]\xi = 1.05,[/LATEX_FORMULA] найдем значения корней:

λ 1 , 2 = − 2 ξ ω 12 ± ( 2 ξ ω 12 ) 2 − 4 ω 12 2 2 ,

которые должны обеспечить устойчивые переходные процессы при различных видах обратных связей.

Постоянная времени привода [LATEX_FORMULA]T_d[/LATEX_FORMULA] также может влиять на знак коэффициента [LATEX_FORMULA]K_V[/LATEX_FORMULA]. Используя выражение (8), определим взаимосвязь постоянной времени привода с корнями уравнения (4), при которой обеспечивается отрицательное значение этого коэффициента:

[LATEX_FORMULA]T_d < \frac{b_{12} J_{12} (\lambda_2 - \lambda_1) + \lambda_2^2 - \lambda_1^2}{\lambda_1 (\lambda_1^2 + b_{12} J_{12} \lambda_1 + \omega_{12}^2) - \lambda_2 (\lambda_2^2 + b_{12} J_{12} \lambda_2 + \omega_{12}^2)}.[/LATEX_FORMULA]

Из выражения (9) видно, что максимальное значение постоянной времени привода определяется параметрами системы и корнями уравнения (4).

Структурная схема системы управления на основе обратных связей по упругой деформации и ее производной, согласно выражения (8), показана на рис. 2 (канал 1). Для технической реализации предлагаемого вида обратных связей можно использовать тензометрический датчик упругой деформации, а сигнал скорости ее изменения получать программным способом.

3. Управление по скорости и ускорению привода

Определим параметры регулятора для реализации желаемого движения на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения. С этой целью найдем зависимость, связывающую скорость и ускорение привода с управляющим моментом (5). Объединяя уравнение (1) с выражениями (3) и (5) при условии, что [LATEX_FORMULA]M_c=0[/LATEX_FORMULA], будем иметь

[LATEX_FORMULA]\begin{aligned} & J_1 T_d \varphi_1 s^3+J_1 \varphi_1 s^2=U_{z a d}-c_{12} T_d \Delta \varphi_{12} s-c_{12} \Delta \varphi_{12} \\ & -b_{12} T_d \Delta \varphi_{12} s^2-b_{12} \Delta \varphi_{12} s \end{aligned}[/LATEX_FORMULA]

Подставляя в последнее уравнение выражение (4) и его производные и группируя коэффициенты при экспоненциальных функциях, получим неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка

T d φ 1 s 3 + φ 1 s 2 = B 1 M 0 e λ 1 t + B 2 M 0 e λ 2 t + 2 M 0 ω 02 2 ,

В выражении (10) использованы следующие обозначения:

B 1 = K 1 J 1 − c 12 T d λ 1 − c 12 − b 12 T d λ 1 2 − b 12 λ 1 J 1 B 2 = K 2 J 1 − c 12 T d λ 2 − c 12 − b 12 T d λ 2 2 − b 12 λ 2 J 1 ; ω 02 2 = c 12 J 2

Решение (10) будем искать в виде

φ 1 s = A 1 M 0 e λ 1 t + A 2 M 0 e λ 2 t + M ′ t ,

дифференцируя уравнение (11) трижды и подставляя в (10), после группировки при экспоненциальных функциях, получим равенство

[LATEX_FORMULA]\begin{aligned} & {\left[A_1\left(T_d \lambda_1^2+\lambda_1\right)-B_1 \mid M_0 e^{\lambda_1 t}+\left[A_2\left(T_d \lambda_2^2+\lambda_2\right)-B_2 \mid M_0 e^{\lambda_2 t}\right.\right.} \\ & +\left[M^{\prime}-2 \omega_{02}^2 M_0\right]=0 \end{aligned}[/LATEX_FORMULA]

Приравнивая нулю выражения в квадратных скобках, найдем неизвестные сомножители: [LATEX_FORMULA]A_1=B_1 /\left(T_d \lambda_1^2+\lambda_1\right) ; A_2=B_2 /\left(T_d \lambda_2^2+\lambda_1\right) \cdot \text{и} \cdot M^{\prime}=2 \omega_{02}^2 M_0 .[/LATEX_FORMULA]

Используя выражение (11), составим следующую систему уравнений:

{ φ 1 s 2 = λ 1 A 1 M 0 e λ 1 t + λ 2 A 2 M 0 e λ 2 t + M ′ φ 1 s = A 1 M 0 e λ 1 t + A 2 M 0 e λ 2 t + M t ′

Выразим из полученных уравнений временные функции через скорость и ускорение привода движения

M 0 e λ 1 t = − λ 2 φ 1 s + φ 1 s 2 + λ 2 M ′ t − M ′ A 1 ( λ 1 − λ 2 ) ; M 0 e λ 2 t = λ 1 φ 1 s − φ 1 s 2 − λ 1 M ′ t + M ′ A 2 ( λ 1 − λ 2 ) .

Подставляя зависимости (12) и (13) в (5), найдем выражение, определяющее управляющее воздействие на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения

U z a d = K C φ 1 s 2 + K V 1 φ 1 s + M 1 t + M 1 ′ ,

где [LATEX_FORMULA]K_{V 1}=\frac{\left(K_2 A_1 \lambda_1-K_1 A_2 \lambda_2\right) J_1}{A_1 A_2\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]K_C=\frac{\left(K_1 A_2-K_2 A_1\right) J_1}{A_1 A_2\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}[/LATEX_FORMULA] коэффициенты усиления обратных связей по скорости и ускорению движения привода;

[LATEX_FORMULA]M_1^{\prime}=\frac{\left(K_2 A_1-K_1 A_2\right) J_1 M^{\prime}}{A_1 A_2\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}+2 M_0 J_1 \omega_{12}^2[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]M_1=\frac{\left(K_1 A_2 \lambda_2-K_2 A_1 \lambda_1\right) J_1 M^{\prime}}{A_1 A_2\left(\lambda_1-\lambda_2\right)} .[/LATEX_FORMULA]

Структурная схема системы управления на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения, согласно выражения (14), приведена на рис. 2 (канал 2). Необходимо отметить, что значения коэффициентов [LATEX_FORMULA]K_c[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]K_{V1}[/LATEX_FORMULA] зависят от постоянной времени привода [LATEX_FORMULA]T_d.[/LATEX_FORMULA] Исходя из условий устойчивости коэффициент усиления [LATEX_FORMULA]K_{V1}[/LATEX_FORMULA] всегда должен быть отрицательным, тогда как коэффициент [LATEX_FORMULA]K_c[/LATEX_FORMULA] может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для реализации предлагаемых обратных связей можно использовать штатный датчик скорости движения привода, а сигнал ускорения получать программными средствами.

4. Управление на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода

Найдем параметры регулятора на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода. С этой целью, используя выражения (4) и (11), составим систему уравнений для нахождения упругой деформации и скорости движения привода

M 0 e λ 1 t = − A 2 Δ φ 12 − φ 1 s + 2 M 0 A 2 + M ′ t A 2 − A 1 ; M 0 e λ 2 t = A 1 Δ φ 12 + φ 1 s − 2 M 0 A 1 − M ′ t A 2 − A 1 .

Подставляя выражения (15) и (16) в (5), получим выражение, определяющее управляющее воздействие на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода

U z a d = K V 2 φ 1 s + K A Δ φ 12 + M 2 t + M 2 ′ ,

где [LATEX_FORMULA]K_{A 1}=\frac{J_1\left(K_2 A_1-K_1 A_2\right)}{A_2-A_1}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]K_{V 2}=\frac{J_1\left(K_2-K_1\right)}{A_2-A_1}[/LATEX_FORMULA] коэффициенты усиления обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода;

[LATEX_FORMULA]M_2=\frac{J_1 M^{\prime}\left(K_1-K_2\right)}{A_2-A_1}[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]M_2^{\prime}=2 J_1 M_0\left[\frac{\left(K_1 A_2-K_2 A_1\right)}{A_2-A_1}+\omega_{12}^2\right] .[/LATEX_FORMULA]

Структурная схема системы управления на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода, согласно выражения (17), показана на рис. 2 (канал 3).

Структурная схема системы управления с обратными связями

Структурная схема системы управления с обратными связями

Очевидным условием устойчивости полученной системы является отрицательность коэффициента [LATEX_FORMULA]K_{V2}[/LATEX_FORMULA], величина которого зависит от корней уравнения (4) и постоянной времени [LATEX_FORMULA]T_d.[/LATEX_FORMULA] Для реализации обратных связей может быть использован тензометрический датчик упругой деформации и штатный датчик скорости движения привода.

5. Выводы и обсуждение

Для проверки эффективности предложенных структур регуляторов было проведено численное моделирование уравнений движения (1)–(3) с управляющими воздействиями, определяемыми выражениями (8), (14) и (17), Поскольку в реальной системе управления наличие главных обратных связей по скорости позволяет компенсировать влияние постоянных и переменных составляющих в (8), (14) и (17), исследования выполнялись для следующего режима движения: 0 < t < 0,5 сек, M0 = 0,009 рад; 0,5 < t < 1,0 сек, M0 = 0 рад; 1,0 < t < 1,5 сек, M0 = -0,009 рад. Моделирование проводилось с помощью расчетного модуля Matlab Simulink при следующих параметрах двухмассовой системы: J1 = 4 кг*м2, J2 = 4 кг*м2, с12 = 3000 H*м/рад, b12 = 15H м*с/рад. Расчетные значения корней уравнения (4) составили и , время переходного процесса t = 6...8Tm1 = 8*0,035 = 0,82c, а максимальная величина постоянной времени привода Td < 0,0123c. Учитывая возможности современных преобразователей частоты с обратными связями по скорости, принимаем Td = 0,01c.

Для принятых значений параметров системы были определены коэффициенты усиления: KA = 4428 B/рад, KV = -55,2 B*c/рад для обратных связей по упругой деформации и ее производной; KC = -0,054 B*c2/рад, KV1 = -118,86 B*c/рад для обратных связей по скорости и ускорению привода движения; KV2 = -10,4 B*c/рад, KA1 = 351 B/рад– для обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода. Величина напряжения управления определялась по [LATEX_FORMULA]U_{z a d}=J_1 \omega_{12}^2 M_0[/LATEX_FORMULA] и составила [LATEX_FORMULA]U_{z a d}=54[/LATEX_FORMULA], при принятой упругой деформации M0 = 0,009 рад, что соответствует ускорению второй массы, равном d.

Проведенное моделирование показало высокую эффективность использования предложенных обратных связей для снижения колебательных движений в двухмассовой мехатронной системе. Эти связи позволяют снизить амплитуды упругих колебаний и сократить длительность переходных процессов в системе.

В качестве иллюстрации, на рис. 3 и 4 приведены осциллограммы изменений упругого момента M12, ускорения привода dи скорости его движения . На этих рис. кривые 1 соответствуют исходной системе; 2 управлению на основе обратных связей по упругой деформации и ее производной; 3 управлению на основе обратных связей по скорости и ускорению привода движения; 4 управлению на основе обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода.

Как следует из рис. 3, использование обратных связей по упругой деформации и ее производной в режиме пуска позволило получить неколебательный переходный процесс апериодического вида (кривая 2) с длительностью ttp = 0,28 с, что в два раза меньше, чем в исходной системе (кривая 1), в которой перерегулирование в режиме пуска составляло σ = 71%, а логарифмический декремент колебаний δ = 0,198. Для обратных связей по скорости и ускорению привода движения (кривая 3) и обратных связей по упругой деформации и скорости движения привода (кривая 4) характерно незначительное перерегулирование при пуске σ = 5%, а переходные процессы приближаются к апериодическому виду продолжительностью ttp = 0,2 сек. Следует отметить, что в режиме пуска управление по скорости и ускорению привода движения позволяет получить более высокое быстродействие системы, по сравнению с управлением по упругому отклонению и ее производной. Характеристики качества переходных процессов остаются неизменными и в режиме торможения привода.

Из осциллограмм изменения скоростей движения привода (см. рис. 4) следует, что применение предложенных обратных связей позволяет исключить колебательные составляющие и приблизить кривые скорости движения привода к апериодическому виду по сравнению с исходной системой как в режиме пуска, так и торможения.

Осциллограммы упругого момента и ускорения привода движения

Осциллограммы упругого момента и ускорения привода движения

Осциллограммы скорости движения привода

Осциллограммы скорости движения привода

Необходимо также отметить практическое совпадение осциллограмм изменения упругого момента и ускорения привода движения (см. рис. 3) при управлении как по скорости и ускорению привода движения (кривая 3), так и по упругой деформации и скорости движения привода (кривая 4), что свидетельствует о возможности выбора наиболее рациональных структур регуляторов в зависимости от особенностей применения управляемых систем.

6. Заключение

Выполненные исследования показали возможность использования концепции обратных задач динамики для разработки метода ограничения динамических нагрузок исполнительных механизмов управляемых машин. Получены аналитические зависимости по определению требуемых управляющих воздействий путем решения обратной задачи динамики по заданному неколебательному характеру управляемого движения. Показано, что найденные воздействия могут быть использованы для решения задачи структурно-параметрического синтеза системы управления движением путем их выражения через обобщенные координаты объекта управления и реализации с помощью различных структур регуляторов по принципу обратной связи. Рассмотрены возможные пути технической реализации синтезированных структур регуляторов системы управления движением и определены их параметры. Численным моделирование динамических процессов в двухмассовой системе в Matlab Simulink подтверждена эффективность использования предложенных структур системы управления для ограничения динамических нагрузок по сравнению с исходной управляемой системой. Применение этих структур системы управления позволило снизить амплитуды упругих колебаний и динамические нагрузки по сравнению с исходной системой.

 Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/IRJ.2026.170.53

Acknowledgements

Competing Interests

Коловский М.З. Динамика машин : монография / М.З. Коловский. — Ленинград: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. — 263 с. Степанов А.Г. Динамика машин : монография / А.Г. Степанов, М.В. Корняков. — 2-е изд. — Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2014. — 412 с. Alekseev V.V. Analysis of the dynamic performance of a variable-frequency induction motor drive using various control structures and algorithms / V.V. Alekseev, A.P. Emel'yanov, A.E. Kozyaruk // Russian Electrical Engineering. — 2016. — Vol. 87. — № 4. — P. 181–188. — DOI: 10.3103/S1068371216040027. Черноусько Ф.Л. Управление колебаниями / Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколов. — Москва: Наука, 1980. — 384 с. Biswas S. Dynamic Modeling and Optimal Control of Flexible Robotic Manipulators / S. Biswas, R. Klafter // Proc. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom. — Philadelphia, PA, 1988. — Vol. 1. — P. 152–158. Feliu V. Modeling and Control of Single-Link Flexible Arms with Lumped Masses / V. Feliu, K. Rattan, H. Brown // Journal of Dynamic System, Measurement and Control. — 1992. — Vol. 114. — P. 59–69. — DOI: 10.1115/1.2896508. Feliu V. A New Approach to Control Single-Link Flexible Arms. Part II: Control of the Tip Position in the Presence of Joint Friction : Technical Report : CMU-RI-TR-89-14 / V. Feliu, K. Rattan, H. Brown ; Robotics Institute Carnegie Mellon University. — 1989. — 69 p. Задорожний Н.А. Исследование динамических свойств двухмассовой электромеханической системы по амплитудно-частотным характеристикам / Н.А. Задорожний, Д.С. Пономарёв // Електротехнічні та комп'ютерні системи. — 2011. — Вип. 3. — С. 105–109. Голубенцев А.Н. К вопросу о расчете оптимальных по затуханию систем / А.Н. Голубенцев, А.М. Дроговоз, П.И. Лиховид // Динамика и прочность машин : респ. межвед. науч.-техн. сб. — Харьков, 1971. — Вып. 14. — С. 19–26. Дроговоз А.М. О синтезе колебательных процессов в механических системах по степени устойчивости / А.М. Дроговоз, П.И. Лиховид // Асимптотические методы в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1974. Сабинин Ю.А. Демпфирование механических колебаний звена манипулятора / Ю.А. Сабинин, М.И. Яковлева // Электромеханическое обеспечение автоматических комплексов : сб. научн. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. — Новосибирск, 1978. — С. 81–89. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп ; пер. с англ. — Москва: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — 832 с. Бургин Б.Ш. Анализ и синтез двухмассовых электромеханических систем / Б.Ш. Бургин. — Новосибирск, 1992. — 199 с. Григорьев В.В. Синтез систем автоматического управления методом модального управления / В.В. Григорьев, Н.В. Журавлёва, Г.В. Лукьянова [и др.]. — Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2007. — 108 с. Лурье З.Я. Динамика оптимальной электромеханической системы с упругой связью в режиме позиционирования / З.Я. Лурье // Машиноведение. — 1977. — № 2. — С. 11–17. Романова И.К. Об одном подходе к определению весовых коэффициентов метода пространства состояний / И.К. Романова // Наука и образование : научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2015. — № 4. — С. 105–129. — DOI: 10.7463/0415.0763768. Соколов Н.И. Аналитический метод синтеза линеаризованных систем автоматического регулирования / Н.И. Соколов. — Москва: Машиностроение, 1966. — 328 с. Ключев В.И. Ограничение динамических нагрузок электропривода / В.И. Ключев. — Москва: Энергия, 1971. — 320 с. Летов А.М. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления / А.М. Летов // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. 6. — № 4. — С. 592–615. Красовский А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами / А.А. Красовский. — Москва: Машиностроение, 1969. — 240 с. Колесников А.А. Проблемы теории аналитического конструирования нелинейных регуляторов и синергетический подход / А.А. Колесников // Синергетика и проблемы теории управления / под ред. А.А. Колесникова. — Москва: Физматлит, 2004. — С. 35–129. Петров Б.Н. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики / Б.Н. Петров, П.Д. Крутько, Е.П. Попов // Доклады АН СССР. — 1979. — Т. 247. — № 5. — С. 1078–1081. Галиулин А.С. Обратные задачи динамики / А.С. Галиулин. — Москва: Наука, 1981. — 114 с. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем : Линейные модели / П.Д. Крутько. — Москва: Наука, 1987. — 304 с. Kuznetsov N.K. Synthesis of controlling the movement of digging mechanisms of excavators on the basis of inverse dynamic problems / N.K. Kuznetsov, I.A. Iov, A.A. Iov // Proceedings of the 4th International Conference on Ingustrial Engineering ICIE 2018 : Lecture notes in mechanical engineering. — Springer International Publishing, 2019. — P. 205–213. — DOI: 10.1007/978-3-319-95630-5_22.