КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ГИРОТРОПНЫХ ВОЛНОВОДОВ ПРИ КАСАТЕЛЬНОМ НАМАГНИЧИВАНИИ

В сверхвысокочастотной (СВЧ) технике, в том числе в волноводах, широко используются ферриты

, , , , что объясняется их уникальными свойствами. Это обусловлено тем, что фазовая скорость, затухание и поляризация распространяющейся в ферритовой среде электромагнитной волны (ЭМВ) зависят от величины напряженности внешнего намагничивающего магнитного поля и его направления относительно направления распространения волны, которые можно менять как по величине, так и по направлению, что открывает широкие возможности для управления параметрами ЭМВ. Экспериментальные данные, представленные в , свидетельствуют о том, что тангенс угла диэлектрических потерь для феррошпинели, широко используемые в СВЧ-технике, принимает значительных величин находящихся в диапазоне (2,5–25)·10-4. Это означает, что намагниченные гиротропные волноводы подвержены ощутимому нагреву, вследствие чего изменяются значения диэлектрического и магнитного проницаемостей феррита, оказывающие значимое воздействие как на их собственные параметры, так и на характеристики (критическая частота, полоса пропускания, фазовая и групповая скорости, волновое сопротивление) распространяющихся в них волн. В связи с этим, представляется необходимым проведение всестороннего анализа данного термодинамического процесса в ферритовых волноводах.

Для проведения подобного анализа требуется наличие частных уравнений Гельмгольца, зависящих от формы и направления намагниченности, определенных относительно продольных составляющих электромагнитного поля (ЭМП), для гибридных НЕ- и ЕН- волн, распространяющихся в намагниченных ферритовых волноводах, в которых имеет место потери энергии в виде джоулева нагрева. Такие уравнения могут быть определены из соответствующих канонических общих уравнений Гельмгольца, определённых относительно продольных составляющих ЭМП.

Поэтому целью настоящего исследования является вывод канонических общих уравнений Гельмгольца для НЕ- и ЕН- волн касательно намагниченных ферритовых волноводов с произвольной формой поперечного сечения. Отметим, что в статье приведены результаты, полученные для продольно намагниченных ферритовых волноводов, в которых происходят потери энергии в виде теплового нагрева.

Ранее в

были получены обобщенные формулы Гельмгольца, описывающие HE- и EH- волны в произвольно намагниченных ферритовых волноводах с произвольной формой поперечного сечения и учитывающие тепловые потери. Для достижения поставленной в статье цели из обобщенных формул последовательно выводятся соответствующие общие формулы и канонические общие уравнения Гельмгольца.

Из

следует, что обобщенная формула Гельмгольца НЕ- волны имеет вид

где H1, H2, Hz — составляющие магнитного поля;

γ — постоянная распространения;

j — комплексное число;

ε — абсолютная диэлектрическая проницаемость феррита;

ω — циклическая частота;

— комплексная диэлектрическая проницаемость феррита;

тензор магнитной проницаемости феррита

— магнитная постоянная, — гиромагнитное отношение, — угловая частота свободной прецессии магнитного момента, H0 — напряженность постоянного внешнего магнитного поля, M0 — постоянная составляющая намагниченности; ;

h1,h2 – коэффициенты Ламэ

; q1,q2 — обобщенные поперечные координаты;

;

– символы Кристоффеля

[9]

.

Также из работы

имеем обобщенную формулу Гельмгольца ЕН- волны

где E1, E2, Ez — составляющие электрического поля.

При касательном намагничивании для НЕ- и ЕН- волн составляющие тензора магнитной проницаемости феррита (2) имеют вид

Тогда из обобщенной формулы (1) с учетом составляющих тензоре магнитной проницаемости феррита для касательного намагничивания (4) определится общая формула Гельмгольца НЕ- волны для касательно намагниченных ферритовых волноводов с произвольной формой поперечного сечения

Аналогично, учитывая составляющие тензора магнитной проницаемости феррита при касательном намагничивании (4) из обобщенной формулы (3), определим общую формулу Гельмгольца ЕН- волны

Отметим, что общие формулы Гельмгольца (5) и (6) содержат все составляющие ЭМП, что представляет определенные трудности при дальнейшем выводе соответствующих частных уравнений Гельмгольца, зависящих от направления намагниченности и формы ферритового волновода.

Поэтому, следующим шагом для определения канонических общих уравнений Гельмгольца, описывающих распространение НЕ- и ЕН- волн в касательно намагниченных ферритовых волноводах с поперечным сечением произвольной формы, является исключение из формул (5) и (6) всех поперечных составляющих ЭМП.

Для решения этой локальной задачи обратимся к работе

, где эти составляющие ЭМП были получены для аналогичных волноводных касательно намагниченных структур и представлены ниже

где

.

Далее, подставляя поперечные составляющие ЭМП из (7) в общую формулу (5), получим каноническое общее уравнение Гельмгольца НЕ- волны относительно продольных составляющих ЭМП для ферритовых волноводов с поперечным сечением произвольной формы при условии касательного намагничивания

где

.

Данное уравнение описывает распространение НЕ- волны в ферритовых волноводах с поперечным сечением произвольной формы при касательном намагничивании.

Аналогично, подставляя поперечные составляющие ЭМП из (7) в общую формулу (6), получим каноническую форму общего уравнения Гельмгольца EH- волны

Уравнение (9) описывает распространение ЕН- волны в ферритовых волноводах с поперечным сечением произвольной формы при касательном намагничивании.

Формулы (8) и (9) являются каноническими общими уравнениями Гельмгольца, описывающие распространение НЕ- и ЕН- электромагнитных волн, в касательно намагниченных ферритовых волноводах с поперечными сечениями произвольной формы и содержат только продольные составляющие ЭМП.

В данной статье была поставлена задача определения канонических общих уравнений Гельмгольца для гибридных НЕ- и ЕН- волн, содержащие только продольные составляющие ЭМП. Для достижения поставленной цели были использованы, полученные ранее в

, обобщенные формулы для HE- и EH- электромагнитных волн в произвольно намагниченных ферритовых волноводах с криволинейными формами поперечных сечений, учитывающие диссипацию тепловой энергии. Для этого вначале из обобщенных формул были определены общие формулы Гельмгольца НЕ- (5) и ЕН- электромагнитных волн (6) ферритовых волноводов с произвольными формами поперечного сечения энергии, при касательно намагничивании и содержащие все составляющие напряженностей ЭМП.

Затем из этих общих формул Гельмгольца были выведены соответствующие канонические общие уравнения Гельмгольца гибридных НЕ- (8) и ЕН- электромагнитных волн (9), определенные относительно только продольных составляющих ЭМП.

Основные выводы:

1) для ферритовых продольно намагниченных волноводов с произвольными криволинейными формами поперечных сечений получено общее каноническое уравнение Гельмгольца НЕ- волны (8), учитывающее потери энергии в виде тепла и содержащее только продольные составляющие ЭМП;

2) для ферритовых продольно намагниченных волноводов с произвольными криволинейными формами поперечных сечений получено общее каноническое уравнение Гельмгольца ЕН- волны (9), учитывающее потери энергии в виде тепла и содержащее только продольные составляющие ЭМП.

Канонические общие уравнения Гельмгольца (8) и (9) необходимы для последующего вывода частных уравнений НЕ- и ЕН- волн касательно намагниченных ферритовых волноводов с прямоугольным, круглым и эллиптическим формами, которые после определения краевых условий, позволят сформулировать и решить соответствующие этим волноводам граничные задачи для получения дисперсионных уравнений.