Из обобщенных формул Гельмгольца гибридных НЕ- и ЕН- электромагнитных волн для ферритовых волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании, учитывающие тепловые потери, получены соответствующие канонические общие уравнения Гельмгольца относительно продольных составляющих электромагнитного поля для ферритовых волноводов при касательном намагничивании с учетом тепловых потерь. Полученные канонические общие уравнения Гельмгольца НЕ- и ЕН- электромагнитных волн позволяют на едином методологическом уровне перейти к конкретным типам ферритовых волноводов с криволинейными ортогональными формами поперечного сечения и определить конкретные уравнения Гельмгольца НЕ- и ЕН- электромагнитных волн, учитывающие тепловые потери, для касательно намагниченных ферритовых волноводов с прямоугольной, круглой и эллиптической формами поперечного сечения для последующей постановки и решения соответствующих краевых задач.
1. Введение
В сверхвысокочастотной (СВЧ) технике, в том числе в волноводах, широко используются ферриты
[1][2][3][5][6]
Для проведения подобного анализа требуется наличие частных уравнений Гельмгольца, зависящих от формы и направления намагниченности, определенных относительно продольных составляющих электромагнитного поля (ЭМП), для гибридных
Поэтому целью настоящего исследования является вывод канонических общих уравнений Гельмгольца для
2. Канонические общие уравнения
Ранее в
[7]
Из
[7]
где H1Missing Mark : sub, H2Missing Mark : sub, HzMissing Mark : sub — составляющие магнитного поля;
γ
j — комплексное число;
ε — абсолютная диэлектрическая проницаемость феррита;
ω
тензор магнитной проницаемости феррита
магнитная постоянная, [LATEX_FORMULA]$\mathrm{Y}=\frac{e}{m_0}=1,76 \cdot 10^{11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$[/LATEX_FORMULA] гиромагнитное отношение, [LATEX_FORMULA]$\omega_0=\mathrm{Y} \mu_0 H_0$[/LATEX_FORMULA] угловая частота свободной прецессии магнитного момента, напряженность постоянного внешнего магнитного поля, постоянная составляющая намагниченности; [LATEX_FORMULA]$\mu=\mu_0+\mu_0 \frac{Y \mu_0 M_0 \omega_0}{\omega_0^2-\omega^2}$[/LATEX_FORMULA];
h1,h2 коэффициенты Ламэ [8]; q1,q2 обобщенные поперечные координаты;
[LATEX_FORMULA]$\begin{aligned} & \Delta_{11}=\delta_1 \nabla_1=\frac{1}{h_1^2}\left(\frac{\partial}{\partial q_1}+\Gamma_{21}^2-\Gamma_{11}^1\right) \frac{\partial}{\partial q_1} \\ & \Delta_{22}=\delta_2 \nabla_2=\frac{1}{h_2^2}\left(\frac{\partial}{\partial q_2}+\Gamma_{12}^1-\Gamma_{22}^2\right) \frac{\partial}{\partial q_2}\end{aligned}$[/LATEX_FORMULA]
символы Кристоффеля [9].
Также из работы
[7]
[LATEX_FORMULA]$\begin{aligned} & \mu_{11} \Delta_{11} E_z+\mu_{22} \Delta_{22} E_z+j \gamma\left(\mu_{11} \delta_1 E_1+\mu_{22} \delta_2 E_2\right)+\omega\left(\mu_{11} m \delta_1-\mu_{22} l \delta_2\right) H_z+ \\ & +\gamma k \omega\left(-l H_1-m H_2-j \mu_{33} H_z\right)-\omega^2 \varepsilon^{\prime}\left(k^2-\mu_{11} \mu_{22}\right) E_z+j \omega\left(l k \delta_1+m k \delta_2\right) \cdot H_z=0 .\end{aligned}$[/LATEX_FORMULA]
где E1Missing Mark : sub, E2Missing Mark : sub, EzMissing Mark : sub — составляющие электрического поля.
При касательном намагничивании для
[10]
Тогда из обобщенной формулы (1) с учетом составляющих тензоре магнитной проницаемости феррита для касательного намагничивания (4) определится общая формула Гельмгольца
Аналогично, учитывая составляющие тензора магнитной проницаемости феррита при касательном намагничивании (4) из обобщенной формулы (3), определим общую формулу Гельмгольца ЕН- волны
Отметим, что общие формулы Гельмгольца (5) и (6) содержат все составляющие ЭМП, что представляет определенные трудности при дальнейшем выводе соответствующих частных уравнений Гельмгольца, зависящих от направления намагниченности и формы ферритового волновода.
Поэтому, следующим шагом для определения канонических общих уравнений Гельмгольца, описывающих распространение
Для решения этой локальной задачи обратимся к работе
[11]
где [LATEX_FORMULA]$a^2=\omega^2 \varepsilon^{\prime} \mu-\gamma^2, b^2=\omega^2 \varepsilon^{\prime} \mu-\gamma^2$[/LATEX_FORMULA].
Далее, подставляя поперечные составляющие ЭМП из (7) в общую формулу (5), получим каноническое общее уравнение Гельмгольца
[LATEX_FORMULA]$\begin{aligned} & \Delta_{11} H_Z+\frac{\mu_{\|}}{\mu} \frac{a^2}{b^2} \Delta_{22} H_Z+\left(c^2+\gamma \frac{l}{\mu} \frac{Г_{21}}{h_1}\right) H_Z= \\ & =\frac{\gamma}{\omega \mu} \frac{b^2-a^2}{a^2} \Delta_{12} E_Z+\omega \varepsilon^{\prime} \frac{l}{\mu} \nabla_2 E_Z,\end{aligned}$[/LATEX_FORMULA]
где
Данное уравнение описывает распространение
Аналогично, подставляя поперечные составляющие ЭМП из (7) в общую формулу (6), получим каноническую форму общего уравнения Гельмгольца
Уравнение (9) описывает распространение
Формулы (8) и (9) являются каноническими общими уравнениями Гельмгольца, описывающие распространение
3. Заключение
В данной статье была поставлена задача определения канонических общих уравнений Гельмгольца для гибридных
[7]
Затем из этих общих формул Гельмгольца были выведены соответствующие канонические общие уравнения Гельмгольца гибридных
Основные выводы:
1) для ферритовых продольно намагниченных волноводов с произвольными криволинейными формами поперечных сечений получено общее каноническое уравнение Гельмгольца
2) для ферритовых продольно намагниченных волноводов с произвольными криволинейными формами поперечных сечений получено общее каноническое уравнение Гельмгольца
Канонические общие уравнения Гельмгольца (8) и (9) необходимы для последующего вывода частных уравнений
The additional file for this article can be found as follows:
Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: