О дискретной группе 36-го порядка для мультипликативного класса дифференциальных уравнений 2-го порядка
О дискретной группе 36-го порядка для мультипликативного класса дифференциальных уравнений 2-го порядка
Аннотация
Рассматривается класс обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с мультипликативной правой частью. Найдены преобразования, замкнутые в этом классе уравнений. Для исследуемого класса уравнений или для его подклассов построены дискретные группы преобразований 6, 12 и 36-го порядков.
Применён метод вложения (расширения) класса уравнений для построения дискретной группы 36-го порядка.
Указан метод получения точных решений (общих и частных) уравнений, соответствующих вершинам графа, если известно решение хотя бы одного из этих уравнений, т.е. метод «размножения» разрешимых случаев в исследуемых классах уравнений.
В качестве примера рассмотрено уравнение свободных незатухающих колебаний маятника.
1. Введение
Дискретные группы преобразований для обыкновенных дифференциальных уравнений были открыты В. Ф. Зайцевым , если не считать тривиальные группы преобразований, известные раньше, например, циклическая группа преобразований 2-го порядка с образующей
Благодаря дискретно-групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений, В. Ф. Зайцеву и его научной школе удалось найти точные решения сотен ОДУ, которые включены в справочники конца 20-го – начала 21-го веков, например , , , , последний из которых является наиболее полным.
В данной работе исследуется класс ОДУ 2-го порядка с мультипликативными правыми частями:
а также его подкласс при :
Обозначим их соответственно .
Несколько странный 4-й сомножитель в правой части (1) имело смысл включить в (1) для получения замкнутости некоторых дискретных преобразований в классе уравнений (1), которые не являются замкнутыми в (2).
2. Основные результаты
2.1. Основные определения
Определение 1. Множество преобразований G, замкнутых на выбранном классе уравнений D, называется дискретной группой преобразований G, допускаемой классом уравнений D .
Определение 2. Множество элементов данной дискретной группы G называется множеством порождающих (образующих) элементов, если всякий элемент группы G можно выразить в виде конечного произведения их степеней (в том числе с отрицательными показателями) .
Определение 3. Соотношения между образующими элементами дискретной группы G называется её определяющими соотношениями, если всякое другое соотношение между образующими является их алгебраическим следствием .
Определение 4. Кодом дискретной группы G называется совокупность образующих и определяющих соотношений .
Замечание 1. Иногда кодом дискретной группы называют только совокупность определяющих соотношений между образующими.
Определение 5. Группой диэдра Dq порядка 2q называется дискретная группа с двумя образующими u и v, связанных следующими определяющими соотношениями:, где E – тождественное преобразование .
2.2. Дискретная группа преобразований 6-го порядка для класса уравнений (2)
Класс уравнений (2) включает в себя в качестве подкласса класс обобщённых уравнений Эмдена-Фаулера (ОУЭФ), когда K, L, M являются степенными функциями:
Обозначим его (k, l, m|A) или (k, l, m).
Класс уравнений (3) был подробно исследован В. Ф. Зайцевым и он имеет достаточно много приложений при определённых значениях показателей: модель политропного газового шара (модель звезды), уравнение Томаса-Ферми движения электронов и т.д. .
Были найдены дискретные преобразования , замкнутые в классе уравнений (3), например, точечное преобразование
а также преобразование Беклунда, зависящее от параметров исходного уравнения
Преобразования r и g являются образующими группы преобразований диэдра 6-го порядка:
(E – тождественное преобразование).
Оказалось, что аналогичные преобразования действуют и в классе уравнений (2), в частности, то же точечное преобразование
а также обобщение преобразования Беклунда (5) (назовём его той же буквой)
(показатель «-1» в (8) означает обратную функцию).
Рисунок 1 - Граф группы D3
2.3. Дискретная группа преобразований 12-го порядка для класса уравнений (1)
Для класса уравнений (1) была найдена дискретная группа диэдра D6 преобразований, замкнутых в классе уравнений (1):
образующими которой являются точечное преобразование
и касательное преобразование
Рисунок 2 - Граф группы D6
Рисунок 3 - Граф группы 36-го порядка
Примечание: преобразование r и дополнительные 18 вершин опущены
Рассмотрим уравнение свободных колебаний маятника
дискретные симметрии которого были частично исследованы в работе [9].
Поскольку уравнение (12) принадлежит классу уравнений (1), то к нему можно применить группу преобразований D6 (9).
Таблица 1 - Уравнения-вершины графа на рис. 1
Примечание: уравнение 1 – уравнение колебаний маятника (12)
Так как уравнения 2-6’ в таблице 1 связаны с уравнением 1 известными преобразованиями – преобразованиями группы D6 (9), то общие решения этих 11 уравнений также можно вычислить, поскольку решения уравнений связаны теми же самыми преобразованиями, что и сами уравнения.
Пример 1.
Легко проверить, что уравнение (12) под номером 1 в таблице 1 имеет следующее частное решение в параметрическом виде:
где – параметр.
Найдём, к примеру, решение уравнения 2’.
По графу на рис. 2 легко видеть, что уравнение 2’
приводится к уравнению 1 с помощью преобразования hr:
где hr – известное преобразование Лежандра:
Следовательно, решения уравнений 1 и 2’ связаны этим же преобразованием. Таким образом, решение уравнения 2’ (14) является композицией преобразования (15) и решения (13) уравнения колебаний маятника 1:
2.6. Пример построения дискретной группы 36-го порядка. Метод расширения
Уравнение (12) принадлежит обоим классам уравнений – (1) и (2), для которых построены дискретные группы диэдра – D6 и D3 соответственно.
Группа D6 применена к уравнению (12) в пункте 5. А вот группа D3 не может быть полностью применена к уравнению (12) в силу теоремы, приведенной в [1]: класс уравнений (2) допускает группу D3 при . А для уравнения (12)
.
Чтобы снять это ограничение, применим метод расширения: поместим уравнение (12) в следующий класс уравнений:
который обозначим
Коэффициент A в (17) опустим, так как он несущественен: его можно изменять с помощью преобразования масштабирования.
Таблица 2 - Уравнения-вершины графа на рис. 1
Так как класс уравнений (16) принадлежит классу уравнений (1), то он допускает группу D6, которую можно применить к вершинам 1, 2, 3 графа на рис. 2. В результате, уравнение (16) допускает дискретную группу преобразований 36-го порядка, граф которой изображён на рис. 3.
2.7. Пример получения точного решения с помощью группы 36-го порядка
Рассмотрим уравнение
Рисунок 4 - Граф группы 36-го порядка для примера 2
Примечание: преобразование r и дополнительные 18 вершин опущены
где – коэффициенты, зависящие от A и C1 (C1, C2 – произвольные постоянные).
Найдем, к примеру, общее решение уравнения
соответствующее вершине 2.6 графа на рис. 4.
Легко видеть, что , поэтому общее решение уравнения 2.6 (20) есть композиция преобразования hg2 и общего решения уравнения 1.1 (19):
где , где a2 и b2 – коэффициенты, зависящие от B и C1; P4 указано выше.
3. Заключение
В данной работе продолжено исследование мультипликативных классов уравнений (1), (2), (3), начатое в работах , , .
В работе исследовались только классы уравнений (3) и (2); в рассматривался подкласс класса уравнений (1) со степенной правой частью; в статье было продолжено изучение класса уравнений (2) и начато изучение класса уравнений (1).
Для класса уравнений (1) построена дискретная группа преобразований 12-го порядка, а для класса уравнений (2) – 36-го порядка.
Изложен метод «размножения» – получения новых разрешимых случаев в исследуемых классах уравнений. Приведены примеры нахождения точных решений уравнений редукцией к уравнению колебаний маятника (по группе 12-го порядка), а также с помощью общего решения одного из обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера (по группе 36-го порядка).
В дальнейшем можно попытаться применить рассмотренную технику для класса уравнений с несколькими мультипликативными слагаемыми.