BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A GYROTROPIC, LONGITUDINALLY MAGNETISED RECTANGULAR WAVEGUIDE WITH THERMAL LOSSES
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A GYROTROPIC, LONGITUDINALLY MAGNETISED RECTANGULAR WAVEGUIDE WITH THERMAL LOSSES
Abstract
Experimental data have shown that the tangent of the dielectric loss angle in ferrite-filled waveguides can take on significant values. Consequently, significant heat losses occur in them, which, regardless of the direction of the waveguide’s magnetisation, affect both the waveguide’s intrinsic parameters and the characteristics of the electromagnetic waves propagating within them: the critical frequency, bandwidth, phase and group velocities, and wave impedance. In this article, a boundary value problem is solved using the Helmholtz equations for hybrid electromagnetic waves, which take thermal losses into account and describe their propagation in a longitudinally magnetised gyrotropic rectangular waveguide. The result of this solution is a dispersion equation which, once solved for the propagation constant, will make it possible to study the effect of thermal heating occurring in the waveguide on the main characteristics of the electromagnetic waves propagating within it, including the components of the electromagnetic fields.
1. Введение
Широкое применение ферритов в сверхвысокочастотной (СВЧ) технике , , , , включая волноводы, обусловлено их уникальными свойствами. В ферритовой среде фазовая скорость, поляризация и затухание электромагнитных волн (ЭМВ) определяются напряженностью и направлением намагничивающего магнитного поля. Возможность изменять отмеченные параметры внешнего магнитного поля, как по величине, так и по направлению позволяет эффективно управлять характеристиками ЭМВ.
В работе проведено достаточно полное исследование характеристик электромагнитных волн и полей, существующих в нормально намагниченном, полностью заполненным ферритом, прямоугольном волноводе без потерь. В то же время, согласно экспериментальным данным , значение тангенса угла диэлектрических потерь для феррошпинелей, широко применяемых в СВЧ- технике, находится в диапазоне (2,5–25)·10-4, что является существенной величиной. Следовательно, в гиротропных прямоугольных волноводы независимо от направления намагничивания происходят потеря энергию в виде теплового нагрева и в результате в них изменяются диэлектрический и магнитный проницаемости феррита. Это, в свою очередь, влияет как на собственные параметры волноводов, так и на характеристики распространяющихся в них волн: критическую частоту, полосу пропускания, фазовую и групповую скорости, волновое сопротивление. Поэтому необходим как можно полный анализ физических процессов происходящих в гиротропных волноводах. Однако такой анализ возможен при наличии соответствующего дисперсионного уравнения.
Основной целью статьи является определение дисперсионного уравнения продольно намагниченного гиротропного прямоугольного волновода, в котором имеет место тепловые потери, путем решения соответствующей граничной задачи.
2. Уравнения Гельмгольца гиротропного продольно намагниченного прямоугольного волновода
В декартовой системе координат x, y, z, в которой продольно-регулярная ось волновода совпадает с осью z, уравнения Гельмгольца для гибридных ЕН- и НЕ- волн гиротропного продольно намагниченного прямоугольного волновода со сторонами по оси х равной ах , по оси у – ау и с тепловой потерей имеют вид
Ставится задача решения системы дифференциальных уравнений (1) с краевыми условиями на стенках волновода
Здесь (Ez, Hz) — продольные компоненты напряженностей электрического и магнитного полей, εa — абсолютная диэлектрическая проницаемость феррита, ω — циклическая частота монохроматического процесса,
3. Задача Дирихле
Для решения задачи Дирихле (1) и (2) преобразуем уравнения системы (1), применяя метод укорочения дифференциальных уравнений , . Для этого умножим второе уравнение системы (1) на jΛ и сложим с первым уравнением. Тогда получим
После введения обозначения
и подстановки (4) в (3) получим
В правой части (5), в квадратных скобках, имеется квадратное уравнение относительно Λ
где
После обозначения корней уравнения (6) через Λ1,2 уравнение (5) примет вид
Для корней Λ1,2 выражение (4) запишется в виде
Из (8) получим
Далее уравнение (7) запишем отдельно для переменных
Введем обозначения
где
Тогда с учетом выражений (12) и (13) уравнения (11) запишутся
Дифференциальные уравнения (14) решаются методом разделения переменных , представив решения в виде
Подставив формулы (15) в систему уравнений (14), получим
Разделим первое уравнение в (16) на
В уравнениях системы (17) левые части состоят из суммы двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Первая является функцией переменной х, а вторая — переменной у. В правые части уравнений (17) не зависят как от х, так и у.
В системе (17) введем следующие обозначения
где ax, ay, bx, by — некоторые постоянные.
Тогда из выражений (18) получим следующие дифференциальные уравнения
Общие решения уравнений (20) и (21), соответственно, будут иметь вид
где C1, C2, C3, C4 — произвольные постоянные.
Для нетривиальных общих решения (22), (23) и из (9), (15), а также краевых условий (2) при x = 0 и y = 0 постоянные C1 = C3 = 0, а при x = a и y = b имеем
Откуда получаем
Тогда общие решения (22) и (23) примут вид
Таким образом, согласно выражению (15) и с учетом (26) получим
где A0 = C2, C4.
Из выражений (19) получим дифференциальные уравнения
Общие решения уравнений (28) и (29), соответственно, имеют вид
где C5, C6, C7, C8 — произвольные постоянные.
Для нетривиальных общих решения (30), (31) и из (9), (15), а также краевых условий (2) постоянные C5 = C7 = 0, и
Следовательно, общие решения (30), (31) будут следующими
Тогда, согласно выражению (15) и с учетом (33), получим
где B0 = C6C8.
Из формулы (9) с учетом (27) и (34) получим
При амплитудном коэффициенте E0 = A0 = B0 продольная компонента электрического поля будет
Из формулы (10) с учетом (27) и (34) получим
При амплитудном коэффициенте H0 = A0 - B0 продольная компонента магнитного поля будет
4. Дисперсионное уравнение
Из первого выражения (17) и (18), также из (12) и (25) следует
Аналогично, из второго выражения (17) и (19), также из (13) и (32) следует
Таким образом, имеем два варианта дисперсионных уравнений для продольно намагниченного гиротропного прямоугольного волновода с тепловой потерей (37) и (38).
Корни уравнения (6), которые входят в (37), (38) определяются по формулам
Подставим (39) в (37) получим первый вариант дисперсионного уравнения
Проведем тестирование уравнения (41) путем сведения его к изотропному случаю, когда компонента тензора магнитной проницаемости k = 0 и μ = μ0. Тогда (41) примет вид
Откуда при
Далее, подставляя (40) в (38) получим
Проведем аналогичное тестирование уравнения (43) путем сведения его к изотропному случаю. Тогда (43) примет вид
Из (44) при
которое совпадает с дисперсионным уравнением полого прямоугольного волновода .
Следовательно, дисперсионным уравнением продольно намагниченного гиротропного прямоугольного волновода с тепловой потерей является формула (43).
5. Заключение
Для исследования влияния на характеристики (критическая частота, полоса пропускания, фазовая и групповая скорости, волновое сопротивление), распространяющихся в продольно намагниченном гиротропном прямоугольном волноводе электромагнитных волн, теплового нагрева волновода решена граничная задача. В результате получены дисперсионное уравнение, формулы вычисления продольных компонент напряженностей электрического и магнитного полей.
Выводы:
1. Для продольно намагниченного гиротропного волновода получено дисперсионное уравнение (43), учитывающее потери энергии в виде тепла.
2. Для продольно намагниченного гиротропного волновода получена формула продольной компоненты напряженности электрического поля (35).
3. Для продольно намагниченного гиротропного волновода получена формула продольной компоненты напряженностей магнитного поля (36).
Последующее решение дисперсионного уравнения (43), относительно постоянной распространения, позволит исследовать влияние теплового нагрева, происходящего в продольно намагниченном гиротропном прямоугольном волноводе на основные характеристики, распространяющихся в нём электромагнитных волн, включая компоненты электромагнитных полей.