Our journals
Submit manuscript Sign in / Sign up
Advanced search
Article sections

MATHEMATICAL MODELS OF AN ELECTRIC SYSTEM FOR THE USE OF RENEWABLE ENERGY SOURCES FOR AUTONOMOUS POWER SUPPLY OF FACILITIES

Research article
Petrov Yu.S.
Muzaev A.K.
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.9.111.005
Issue: № 9 (111), 2021
Published:
2021/09/17
PDF

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВОЗОБНОВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ ДЛЯ АВТОНОМНОГО ЭНЕРГОСНАБЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

Научная статья

Петров Ю.С.1, Музаев А.К.2, *

1, 2 Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), Владикавказ, Россия

* Корреспондирующий автор (alexandr.muzaev[at]mail.ru)

Аннотация

Приводятся математические модели автономной электрической системы использования преобразователей ВИЭ для энергоснабжения индивидуальных объектов: детерминированная и вероятностная, представляющие собой матричные уравнения электрического состояния эквивалентных электрических цепей соответственно с постоянными и случайными параметрами. Даётся алгоритм анализа вероятностной модели. Применение предложенных моделей позволит аналитически выполнять всесторонний анализ систем автономного электроснабжения потребителей от ВИЭ, делать обоснованные прогнозы энергетического состояния системы, разрабатывать конкретные мероприятия по обеспечению устойчивой её работы.

Ключевые слова: энергоснабжение; математические модели; детерминированная модель; вероятностная модель; автономная электрическая система; возобновляемые источники энергии; устойчивость.

MATHEMATICAL MODELS OF AN ELECTRIC SYSTEM FOR THE USE OF RENEWABLE ENERGY SOURCES FOR AUTONOMOUS POWER SUPPLY OF FACILITIES

Research article

Petrov Yu.S.1, Muzaev A.K.2, *

1, 2 North Caucasian Institute of Mining and Metallurgy (State Technological University), Vladikavkaz, Russia

* Corresponding author (alexandr.muzaev[at]mail.ru)

Abstract

The current article presents mathematical models of an autonomous electrical system for the use of renewable energy converters for the power supply of individual objects: deterministic and probabilistic, which are matrix equations of the electrical state of equivalent electrical circuits in correspondence with constant and random parameters. The article provides an algorithm for analyzing a probabilistic model. The application of the proposed models will allow for analytically performing a comprehensive analysis of autonomous power supply systems for consumers from renewable energy sources, making reasonable forecasts of the energy state of the system, developing specific measures to ensure its stable operation.

Keywords: energy supply; mathematical models; deterministic model; probabilistic model; autonomous electric system; renewable energy sources; sustainability.

В настоящее время возобновляемые источники энергии находят всё более широкое применение, в частности, для автономного энергоснабжения индивидуальных объектов [1], [2], [3]. Общей теории электрических систем такого типа в настоящее время не существует, что затрудняет их анализ и практические расчёты.

Далее приводится математическая модель электрической системы автономного энергоснабжения индивидуальных объектов на основе использования ВИЭ. Построение модели основано на применении законов электрических цепей к анализу электрических процессов в автономной системе, состоящей из преобразователей возобновляемой энергии (ветро-, гидро-, гелиогенераторов и т.п.) и индивидуальных потребителей [4], [5], [6]. Электрическая связь между генераторами и потребителями определяется практическими задачами и может представлять собой сложную взаимосвязанную электрическую систему.

Для построения математической модели выделяются два типа наиболее часто встречающихся на практике задач анализа:

1) определение реакции (принуждённого режима) электрической цепи общего вида, содержащей активные и реактивные линейные элементы, при действии в цепи источников энергии, описываемых в обобщённой форме [7], например, ЭДС источника может быть представлена в обобщённой форме:

05-10-2021 12-09-42   (1)

где Ėm – комплексная амплитуда, а s = σ + jω – комплексная частота;

2) определение реакции резистивной цепи (или цепи, условно представленной как резистивная) при действии в ней источников энергии произвольного типа, описываемых соответствующими аналитическими выражениями.

Уравнение состояния электрической цепи, эквивалентной системе использования преобразователей ВИЭ, т.е. соответствующих генераторов и нагрузки, т.е. индивидуальных потребителей, можно записать, используя непосредственно законы Кирхгоффа и комбинированную матрицу, состоящую из элементов узловой и контурной матриц цепи.

05-10-2021 12-10-28     (2)

где n – уменьшенное на единицу число узлов;

 q – число независимых контуров

 (n + q) = m – число ветвей (токов)

В матричном уравнении (1) а11, а12 … аnm представляют собой элементы (0, ± 1) узловой матрицы, а коэффициенты вn+1,1, вn+1,2 … вn+q,m – элементы контурной матрицы, которые принимают конкретные значения для каждой схемы и соответствующего типа воздействия.

В сокращённом виде уравнение (1) запишем как

[A] [I] ≈ [F] (3)

Матрица [I] в уравнении (3) представляет собой матрицу-столбец неизвестных токов, а матрица [F] – матрицу-столбец, заданных воздействий (источников токов возобновляемой энергии и источников ЭДС), соответствующих генератором.

Для определения токов ветвей необходимо решить матричное уравнение (2), для чего обе части уравнения следует умножить слева на обратную матрицу [A]-1:

[A]-1 [A] [I] = [A]-1 [F] (4)
откуда
[I] = [A]-1 [F] (5)
Из (5) определяются все токи ветвей схемы. Если воспользоваться формальным представлением источников энергии в виде обобщённого экспоненциального возмущения (1), то уравнение (3) примет вид:
[A(s)] [I(s)] = [F(s)] (6)

Уравнение (6) является общим для различных типов воздействия. Учитывая, что формуле (1) Ėm = Еm еjψ, можно получить различные частные случаи воздействующих ЭДС, придавая различные значения входящим в общее выражение параметрам. Например, в случае синусоидальной ЭДС следует принять σ = 0, s = jω, принуждённый (установившийся) ток также будет изменяться по синусоидальному закону. Если ЭДС есть экспоненциальная функция, то ψ = 0, s = σ, Еm = Е; принуждённый ток также будет изменяться по экспоненциальному закону. В соответствии с типом воздействия будет изменяться и вид сопротивлений в цепи.

В общем случае матрица [A(s)] содержит обобщённое комплексное сопротивление Z(s), которое для k-ой ветви выражается формулой:

05-10-2021 12-25-19   (7)

Для решения уравнения (6) применяется обычная алгебра с переменной s. Однако для анализа конкретных типов воздействия необходимо использовать частные выражения Zk (s). Например, для постоянного тока s = 0, сопротивления с индуктивностью закорачиваются, сопротивления с ёмкостью разрываются и Z(s) заменяется активным сопротивлением R.

Для экспоненциального воздействия σ ≠ 0, ω = 0 сопротивление Zk (s) преобразуется в полное сопротивление ветви ZЭ для экспоненциального тока:

05-10-2021 12-25-35     (8)

При воздействии экспоненциальных ЭДС расчёт не будет содержать комплексных чисел, а будет основан на использовании показателя степени экспоненты σ.

Для синусоидального тока n-ой гармоники σ = 0 и расчёт ведётся с использованием комплексного сопротивления n-ой гармоники:

05-10-2021 12-25-46    (9)

В случае воздействия синусоидальной ЭДС с изменяющейся по экспоненте амплитудой расчёт ведётся с использованием обобщённого комплексного сопротивления Z(s), определяемого формулой (7).

Для упрощения расчётов сложных схем можно воспользоваться специальными методами (например, методом контурных токов) с использованием представления воздействий в обобщённой форме (1) и обобщённого комплексного сопротивления (7).

Рассмотрим далее важную для практики возможность представления схемы токораспределения в системе с генераторами на ВИЭ электрической схемой с использованием только резистивных элементов, т.е. с использованием эквивалентной линейной резистивной цепи.

Простая зависимость между током и напряжением в резистивной форме (u = R · i) позволяет существенно упростить вычисления даже при наличии в схеме источников энергии со сложной зависимостью от времени. Сохраняя общую методику расчёта цепи, проанализируем особенности составляющих расчётного уравнения и промежуточные результаты.

Основой рассмотренной ранее методики расчёта является составление матричного уравнения (2). Однако в нём матрица-столбец [F] источников энергии в формуле (2) может содержать одновременно источники только определённого типа (постоянные синусоидальные или экспоненциальные).

В общем случае матрицу [F] можно представить функциями:

05-10-2021 12-25-58   (10)

где f1 (t), fn (t) … f(n+q) (t) – источники энергии (тока и ЭДС), описываемые некоторыми функциями времени.

На функции времени не накладывается никаких ограничений, кроме возможности их аналитического описания и физической реализации. Частичные токи от каждой из этих функций (воздействий) в резистивной цепи будут повторять воздействие с точностью до постоянного вещественного множителя.

Выполнив операцию обращения матрицы [A], получим:

05-10-2021 12-34-17   (11) Тогда токи в ветвях определятся из формулы: 05-10-2021 12-34-33     (12) Таким образом, 05-10-2021 12-34-52    (13)

Следует отметить, что все элементы матрицы [A], также как обращённой матрицы [A]-1 являются действительными числами (или нулями).

Исходя из (13) можно определить все токи ветвей схемы. Например, ток в k-ой ветви

ik (t) = ck1 f1(t) + ck2 f2(t) + … + ckm fm(t) (14)

Как видно из формулы (14) ток в k-ой ветви определяется коэффициентами, являющимися членами обращённой матрицы, и параметрами источников энергии в схеме. Так как источники энергии являются функциями времени, то токи в ветвях также являются в общем случае функциями времени. Выражение (14) является очень удобным для дальнейшего анализа энергораспределения в системе, в частности, потому, что достаточно просто позволяет оценить степень влияния того или иного источника энергии на величину тока в ветви и, следовательно, на величину потребляемой мощности.

Энергетический баланс в рассматриваемой резистивной системе можно записать в виде выражения:

Σ uГЕН. · iГЕН. = Σ uПОТР. · iПОТР. (15)
где uГЕН., iГЕН. – напряжения и токи генераторов энергии; uПОТР., iПОТР. – напряжения и токи потребителей энергии. Мощность k-ого потребителя можно рассчитать, используя формулу
PK ПОТР. = i2K ПОТР. · RK (16)

В представленных математических моделях электрической системы использования преобразователей для энергоснабжения автономных объектов параметры модели считались однозначно определёнными [10], а сами модели в таком случае рассматривались как детерминированные с конкретными выходными характеристиками при заданных воздействиях в системе.

Однако в реальности параметры источников энергии (преобразователей естественных энергетических потоков – солнечных лучей, ветра, потоков воды и т.д.) не являются постоянными, а зависят от целого ряда природных факторов, многие из которых случайные, особенно для горной местности [11].

В связи с этим для адекватного описания энергетических процессов в рассматриваемой системе необходимо в правой части уравнения (2) учесть вероятностный характер выходных характеристик электрогенераторов на ВИЭ. Это можно сделать, например, введением коэффициентов, учитывающих возможные случайные изменения параметров источников ЭДС и токов – коэффициентов вариации (коэффициент нестабильности). Матрица – столбец [FСЛ] источников энергии со случайными параметрами в этом случае примет вид:

05-10-2021 12-41-47    (17)

где k1, k2, … kn+q – коэффициенты вариации, характеризующие случайные изменения параметров соответствующих источников энергии.

Коэффициент вариации k может изменяться случайным образом от 0 до kМАХ (kMAX определяется для каждого генератора отдельно).

С учётом (17) уравнение (3) следует переписать в виде

[A] [IСЛ] = [FСЛ] (18)

где матрица [IСЛ] – матрица-столбец случайных значений токов ветвей, соответствующих случайному набору параметров источников энергии, учитываемых коэффициентами вариации.

Уравнение (18) является вероятностным, характеризующим вероятностную модель токораспределения в системе. Матрица [FСЛ] формируется в соответствии с реальными законами распределения коэффициентов вариации k. Матрица [IСЛ] получается в результате соответствующих вычислений, учитывающих изменённые параметры источников энергии. Применение коэффициентов вариации можно использовать и для преобразования формулы (10), умножая все функции f(t) на соответствующие коэффициенты аналогично формуле (17).

Случайные значения параметров источников энергии можно заменить их средними значениями; тогда уравнение (18) будет иметь вид:

[A] [IСР] = [FСР] (19)

где [FСР] – матрица-столбец средних значений источников энергии;

 [IСР] – матрица-столбец средних значений искомых токов.

Решение уравнения (18) заменой случайных величин на средние значения не даёт необходимой информации для подробного анализа работы системы и разработки обоснованных прогнозов. Более информативным способом анализа уравнения (18), учитывающим вероятностные законы изменения влияющих факторов, является применение статистического моделирования – метода Монте-Карло [8], [9].

Для реализации метода Монте-Карло необходимо многократно случайным образом (на основании случайных значений коэффициентов вариации) формировать матрицу-столбец [FСЛ] и вычислять соответствующие токи, используя уравнение (18). Число таких вычислений (реализаций) должно быть достаточно большим (103 ÷ 104). На основании полученного массива данных производится соответствующая статистическая обработка выходных параметров (токов, мощностей и т.д.) [12].

Необходимо отметить, что выбор случайного значения того или иного коэффициента вариации производится на основании соответствующих законов распределения, задаваемых заранее [13].

m_merged44

Рис. 1 – Алгоритм вероятностного анализа автономного электроснабжения индивидуальных объектов возобновляемой энергией

 

На рис. 1 приведён алгоритм вероятностного анализа автономного электроснабжения индивидуального объекта возобновляемой энергией. Исходное состояние объекта характеризуется общей эквивалентной электрической схемой, содержащей источники возобновляемой энергии (ветро-, гелио-, гидрогенераторы, включая резервный дизель-генератор), различные автономные потребители (жилые дома, теплицы, фермы и т.д.), соответствующую коммутационную и контрольно-измерительную аппаратуру [14].

Для конкретной эквивалентной электрической схемы составляется детерминированная матричная модель (2), которая затем преобразуется в вероятностную заменой матрицы-столбца [F] на матрицу [FСЛ]. При этом возможно использовать любые рассмотренные ранее частные случаи воздействий: синусоидальной, экспоненциальной, произвольные вариации воздействий в резистивной цепи и т.д.

В вероятностную модель вводятся неизменяющиеся параметры и далее задаются законы распределения случайных величин, входящих в общую формулу вероятностной модели [15].

В рассматриваемом случае случайными величинами являются коэффициенты вариации, относящиеся к генераторам. В более общем случае случайными могут быть и отдельные параметры потребителей.

Для каждой реализации (вычисления матричного уравнения с конкретными числовыми элементами) сначала случайным образом (с помощью генератора случайных чисел) выбираются конкретные значения коэффициентов вариации в соответствии с принятыми их законами распределения. Выбранные коэффициенты вариации подставляются в матричное уравнение, которое решается; в результате чего выдаётся набор искомых величин (токов ветвей) [16]. Так повторяется многократно до получения массива данных (103 ÷ 104), достаточного для получения репрезентативных характеристик. Описанные операции представлены в алгоритме этапом «Вычислительные операции».

Далее производится анализ полученных в результате вычислительных операций значений искомых переменных. Обрабатывая соответствующим образом массив случайных значений тока, например, в «n»-ой ветви (соответствующие данные по «n»-ой ветви, полученные в результате вычислений), можно построить гистограммы, определить закон распределения тока, как случайной величины, сделать обоснованный прогноз возможного изменения его величины в конкретных пределах [17].

Важными данными с точки зрения устойчивой работы системы являются отклонения значений переменных от номинальных значений

05-10-2021 12-48-08   (20)

где δk – отклонение «k»-го параметра от номинального значения в %;

 NРАСЧ. – значение параметра, полученного в результате расчёта (например, тока);

 NH – номинальное значение параметра, соответствующего нормальному режиму работы установки.

Так как отклонение может быть как в бόльшую, так и в меньшую сторону, то для дальнейшего анализа используется абсолютная величина отклонений [18].

Отклонения от номинальных значений энергетических параметров (тока, напряжения, мощности) системы допускаются только до определённых пределов, выше которых нарушается нормальная работа установок (потребителей). Потому для нормальной работы системы должны выполняться условия:

δК ≤ δК ДОП (21)
Например, если условие (22) относится к мощности (Р), то 05-10-2021 12-49-20   (22)

Последнее означает, что превышение или недостаток мощности, генерируемой в системе, не должен превышать определённых пределов. Избыток мощности передаётся накопительным устройствам, а её недостаток, наоборот, компенсируется накопительными устройствами, которые в первом случае работают потребителями, а во втором - генераторами. Ёмкость накопительных устройств ограничена, отсюда и ограничения по допустимому разбросу расчётной и номинальной мощностям.

Если условия δК ≤ δК ДОП выполняются для всех эксплуатационных параметров системы, то можно говорить об её устойчивой работе. Если эти условия не выполняются, то нормальный режим работы установок нарушается и следует принимать меры по поддержанию требуемых параметров энергетических процессов (и технических характеристик, соответствующих системы) в соответствующих пределах [19].

Для достижения устойчивой работы системы электроснабжения в случае, если условия (21) не выполняются следует реализовать необходимые мероприятия по восстановлению энергетического баланса между источниками и потребителями, например, такие, как введение ограничений на потребляемую мощность, использование резервных генераторов, в частности, дизель-генераторов, увеличение ёмкости накопителей электрической энергии и т.п.

Вероятностный анализ токораспределения и электроснабжения автономной системы потребителей на основе ВИЭ является неотъемлемой частью общего расчёта электроснабжения и электропотребления в системе, так как позволяет учесть случайный характер выходных параметров генераторов на ВИЭ и обосновать мероприятия по обеспечению устойчивой работы системы электроснабжения [20].

Выводы

Предложенные выше детерминированная и вероятностная модели электрической системы использования преобразователей ВИЭ для автономного энергоснабжения индивидуальных объектов позволяют выполнить аналитически всесторонний анализ электрической системы, состоящей из генераторов возобновляемой энергии различного типа (ветро-, гидро-, гелиогенераторов) и различных потребителей. Вероятностный анализ позволяет сделать обоснованные прогнозы и выработать необходимые мероприятия по обеспечению устойчивой работы системы энергоснабжения.

Конфликт интересов Не указан. Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

  1. Альтернативные топливно-энергетические ресурсы: экономико-управленческие аспекты использования в условиях инновационного развития общества / В. В. Богатырева. — Новополоцк : ПГУ, 2017. — 323 с.
  2. Возобновляемая энергетика / В. В. Елистратов. — Санкт-Петербург : Издательство политехнического университета, 2016. — 421 с.
  3. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии : учебное пособие / Ю. Д. Сибикин. — Москва : КноРус, 2017. — 228 с.
  4. Горлач, Б.А. Математическое моделирование. Построение моделей и численная реализация / Б.А. Горлач, В.Г. Шахов. - СПб.: Лань, 2016. - 292 c.
  5. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование / И.М. Яглом. - М.: Ленанд, 2018. - 144 c.
  6. Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники / Л.Р. Нейман, К.С. Демирчян. В двух томах. Учебник для вузов. Том 1. Энергоиздат. 1981 – 536 с.
  7. Матханов П.П. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи / П.П. Матханов. Учебное издание. М. Внеш.школа 1990 – 400 с.
  8. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике: ввод.курс / С.М. Ермаков. М., 2009 – 192 с.
  9. Войтишек А.В. Дополнительные сведения о численном моделировании случайных элементов: учеб.пособие/ Новосибирск: НГУ,2007 92 с.
  10. Возобновляемая энергетика в децентрализованном электроснабжении: монография / Б.В. Лукутин, О.А. Суржикова, Е.Б. Шандарова. М.: Энергоатомиздат, 2008. 231 с.
  11. Карамов Д.Н. Актуальность применения возобновляемых источников энергии в децентрализованных населенных пунктах России на примере Ленского района Республики Саха (Якутия) / Д.Н. Карамов // Вестник ИрГтУ. 2013. № 11 (82). С. 279-283.
  12. Ranjeva M. Design Optimization of a Hybrid, Small, Decentralized Power Plant for Remote / Minna Ranjeva, Anil K. Kulkarni. // Rural Areas. Energy Procedia. 2012. V. 20. P. 258-270.
  13. Experimental analysis of a solar PV/diesel hybrid system without storage: Focus on its dynamic behavior / D. Yamegueu, Y. Azo u-mah, X. Py, H. Kottin. // International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 2013. V. 44. P. 267-274.
  14. Стычинский З.А. Возобновляемые источники энергии: теоретические основы, технологии, технические характеристики, экономика / З.А. Стычинский, Н.И. Воропай. Магдебург - Иркутск, 2010. 215 с.
  15. Dursun E. Comparative evaluation of different power management strategies of a stand-alone PV/Wind/PEMFC hybrid power system / Erkan Dursun, Osman Kilic // International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 2012. 34. P. 81-89.
  16. Salas V. Overview of the state of technique for PV inverters used in low voltage grid-connected PV systems: Inverters above 10kW / V. Salas, E. Olías // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2011. V. 15. Р. 1250-1257.
  17. Branker K. A review of solar photovoltaic levelized cost of electricity / K. Branker, M.J.M. Pathak, J.M. Pearce // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2011. V. 15. Р. 4470-4482.
  18. Multi-objective optimization minimizing cost and life cycle emissions of stand-alone PV-wind-diesel systems with batteries storage / Rodolfo Dufo-López, José L. Bernal-Agustín, José M. Yusta-Loyo et al. // Applied Energy. 2011. V. 88. P. 4033-4041.
  19. Марченко О.В. Эффективность газогенераторных электростанций на древесном топливе для электроснабжения децентрализованных потребителей / О.В. Марченко, С.В. Соломин // Экология промышленного производства. 2016. № 4 (96). С. 30-34.
  20. Марченко О.В. Анализ совместного использования энергии солнца и ветра в системах автономного электроснабжения / О.В. Марченко, С.В. Соломин // Промышленная энергетика. 2016. № 9. С. 39-43.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Al'ternativnye toplivno-ehnergeticheskie resursy: ehkonomiko-upravlencheskie aspekty ispol'zovanija v uslovijakh innovacionnogo razvitija obshhestva [Alternative fuel and energy resources: economic­and managerial­aspects­of research­in the conditions of innovative development of society] / V. V. Bogatyreva. - Novopolotsk: PSU, 2017. - 323 p. [in Russian]
  2. Vozobnovljaemaja ehnergetika [Renewable energy] / V. V. Elistratov. - Saint Petersburg: Polytechnic University Publishing House, 2016. - 421 p. [in Russian]
  3. Netradicionnye i vozobnovljaemye istochniki ehnergii: uchebnoe posobie [Unconventional and renewable energy sources: a textbook] / Yu. D. Sibikin. - Moscow: KnoRus, 2017. - 228 p. [in Russian]
  4. Gorlach, B. A. Matematicheskoe modelirovanie. Postroenie modelejj i chislennaja realizacija [Mathematical modeling. Model construction and numerical implementation] / B. A. Gorlach, V. G. Shakhov. - St. Petersburg: Lan, 2016. - 292 p. [in Russian]
  5. Yaglom, I. M. Matematicheskie struktury i matematicheskoe modelirovanie [Mathematical structures and mathematical modeling] / I. M. Yaglom. - M.: Lenand, 2018. - 144 p. [in Russian]
  6. R. Neiman Teoreticheskie osnovy ehlektrotekhniki. V dvukh tomakh. Uchebnik dlja vuzov [Theoretical foundations of electrical engineering. In two volumes. Textbook for universities] / L. R. Neiman, K. S. Demirchyan. Volume 1. Energoizdat. 1981 – 536 p. [in Russian]
  7. Matkhanov P. P. Osnovy analiza ehlektricheskikh cepejj. Linejjnye cepi. Uchebnoe izdanie [Fundamentals of the analysis of electrical circuits. Linear circuits. Educational publication] / P. P. Matkhanov. M. Vnesh.shkola1990-400 p. [in Russian]
  8. Ermakov S. M. Metod Monte-Karlo v vychislitel'nojj matematike: vvod.kurs [The Monte Carlo method in computational mathematics: an introductory course] / S. M. Ermakov. Moscow, 2009-192 p. [in Russian]
  9. Voytishek A.V. Dopolnitel'nye svedenija o chislennom modelirovanii sluchajjnykh ehlementov: ucheb.posobie [Additional information about numerical modeling of random elements: textbook.stipend] / A. V. Voytishek Novosibirsk: NSU,2007 92 p. [in Russian]
  10. Vozobnovljaemaja ehnergetika v decentralizovannom ehlektrosnabzhenii: monografija [Renewable energy in decentralized electricity supply: a monograph] / B. V. Lukutin, O. A. Surzhikova, E. B. Shandarova. Moscow: Energoatomizdat, 2008. 231 p. [in Russian]
  11. Karamov D. N. Aktual'nost' primenenija vozobnovljaemykh istochnikov ehnergii v decentralizovannykh naselennykh punktakh Rossii na primere Lenskogo rajjona Respubliki Sakha (Jakutija) [Relevance of the use of renewable energy sources in decentralized settlements of Russia on the example of the Lensky district of the Republic of Sakha (Yakutia)] / D. N. Karamov // Vestnik IrGtU [Bulletin of IrSTU]. 2013. No. 11 (82), pp. 279-283 [in Russian]
  12. Ranjeva M. Design Optimization of a Hybrid, Small, Decentralized Power Plant for Remote / Minna Ranjeva, Anil K. Kulkarni. // Rural Areas. Energy Procedia. 2012. V. 20. P. 258-270.
  13. Experimental analysis of a solar PV/diesel hybrid system without storage: Focus on its dynamic behavior / D. Yamegueu, Y. Azo u-mah, X. Py, H. Kottin. // International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 2013. V. 44. P. 267-274.
  14. Stychinsky Z. A. Vozobnovljaemye istochniki ehnergii: teoreticheskie osnovy, tekhnologii, tekhnicheskie kharakteristiki, ehkonomika [Renewable energy sources: theoretical foundations, technologies, technical characteristics, economics] / Z. A. Stychinsky, N. I. Voropay. Magdeburg-Irkutsk, 2010. 215 p. [in Russian]
  15. Dursun E. Comparative evaluation of different power management strategies of a stand-alone PV/Wind/PEMFC hybrid power system / Erkan Dursun, Osman Kilic // International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 2012. 34. P. 81-89.
  16. Salas V. Overview of the state of technique for PV inverters used in low voltage grid-connected PV systems: Inverters above 10kW / V. Salas, E. Olías // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2011. V. 15. Р. 1250-1257.
  17. Branker K. A review of solar photovoltaic levelized cost of electricity / K. Branker, M.J.M. Pathak, J.M. Pearce // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2011. V. 15. Р. 4470-4482.
  18. Multi-objective optimization minimizing cost and life cycle emissions of stand-alone PV-wind-diesel systems with batteries storage / Rodolfo Dufo-López, José L. Bernal-Agustín, José M. Yusta-Loyo et al. // Applied Energy. 2011. V. 88. P. 4033-4041.
  19. Marchenko O. V. Ehffektivnost' gazogeneratornykh ehlektrostancijj na drevesnom toplive dlja ehlektrosnabzhenija decentralizovannykh potrebitelejj [Efficiency of wood-fired gas-generating power plants for electricity supply to decentralized consumers] / O. V. Marchenko, S. V. Solomin // Ehkologija promyshlennogo proizvodstva [Ecology of industrial production]. 2016. № 4 (96), pp. 30-34 [in Russian]
  20. Marchenko O. V. Analiz sovmestnogo ispol'zovanija ehnergii solnca i vetra v sistemakh avtonomnogo ehlektrosnabzhenija [Analysis of the joint use of solar and wind energy in autonomous power supply systems] / O. V. MArchenko, S. V. Solomin // Promyshlennaja ehnergetika [Industrial energy]. 2016. № 9, pp. 39-43 [in Russian]