AN ANALYSIS OF THE STABILITY OF SYSTEMS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS BASED ON A COMPONENT-BY-COMPONENT COMPARISON OF THE SIGNS OF THE SOLUTION, THE FIRST AND SECOND DERIVATIVES OF THE SOLUTION

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.9.111.002
Issue: № 9 (111), 2021
Published:
2021/09/17
PDF

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  НА ОСНОВЕ ПОКОМПОНЕНТНОГО СОПОСТАВЛЕНИЯ ЗНАКОВ РЕШЕНИЯ,  ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РЕШЕНИЯ

Научная статья

Буланов С.Г.*

ORCID: 0000-0002-8532-4172,

Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ), Таганрог, Россия

* Корреспондирующий автор (bulanovtgpi[at]mail.ru)

Аннотация

Предложен подход к анализу устойчивости в смысле Ляпунова систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход основан на покомпонентном сопоставлении знаков решения, первой и второй производной решения. Установлены комбинации знаков, которые являются достаточными условиями устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Отличительной особенностью предложенного подхода является то, что не используются методы качественной теории. Теоретические положения доведены до практической программной реализации. Приближенные значения решения, первой и второй производной решения находятся на основе разностных методов. Проведен программный и численный эксперимент в условиях меняющихся систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, длины промежутка решения, разностных методов решения.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, компьютерный анализ устойчивости, численное моделирование устойчивости.

AN ANALYSIS OF THE STABILITY OF SYSTEMS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS BASED ON A COMPONENT-BY-COMPONENT COMPARISON OF THE SIGNS OF THE SOLUTION, THE FIRST AND SECOND DERIVATIVES OF THE SOLUTION

Research article

Bulanov S.G.*

ORCID: 0000-0002-8532-4172,

A.P. Chekhov Taganrog Institute (branch) of Rostov State University of Economics, Taganrog, Russia

* Corresponding author (bulanovtgpi[at]mail.ru)

Abstract

The current article proposes an approach to the analysis of stability in the sense of Lyapunov systems of linear ordinary differential equations. The approach is based on a component-by-component comparison of the signs of the solution, the first and second derivatives of the solution. Combinations of signs that are sufficient conditions for stability, asymptotic stability and instability are established. A distinctive feature of the proposed approach is that the methods of qualitative theory are not used. The theoretical provisions have been brought towards practical program implementation. Approximate values of the solution, the first and second derivatives of the solution are found on the basis of difference methods. A program and numerical experiment are carried out under the conditions of changing systems of linear ordinary differential equations, the length of the solution interval, and difference methods of solution.

Keywords: Lyapunov stability, computer analysis of stability, numerical modeling of stability.

Введение

Методы анализа устойчивости в смысле Ляпунова систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) находят применение в различных областях науки и техники [1], [2]. Вместе с тем отмечается недостаток внедрения компьютерных технологий в области анализа устойчивости, включая задачи устойчивости систем линейных ОДУ с переменной матрицей коэффициентов. Такое внедрение представляется важным для приложений и теории, поскольку к системам линейных ОДУ с помощью линеаризации сводится анализ устойчивости некоторых общих методов качественной теории дифференциальных уравнений и методов, основанных на векторно-матричных мультипликативных и аддитивных преобразованиях разностных схем численного интегрирования [3], [4]. Прикладная значимость разработки компьютерного анализа устойчивости особо актуальна для исследования устойчивости систем линейных ОДУ при моделировании работы генераторов в энергетических системах большой мощности [5].

Рассмотрим задачу Коши для системы линейных ОДУ вида

18-10-2021 11-54-29     (1)

Ниже используется норма вектора 18-10-2021 11-56-45 понимается значение k-й компоненты решения, первой и второй производной решения в точке 18-10-2021 11-57-03.

Предполагается, что 18-10-2021 11-57-23, такое, что для (1) выполнены все условия существования и единственности решения 18-10-2021 11-57-41,  на  и для каждого его возмущения с начальным вектором, удовлетворяющим условию 18-10-2021 11-57-59. Элементы матрицы 18-10-2021 11-58-11, размерности 18-10-2021 11-58-43, определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы.

Ставится задача разработать подход к анализу устойчивости системы (1) в смысле Ляпунова. Подход строится в предположении, что ограниченность компонентов 18-10-2021 11-59-01 может определяться знаком компонентов 18-10-2021 11-59-20 – знаком компонентов 18-10-2021 11-59-32. Покомпонентное сопоставление знаков решения, первой и второй производной решения приводит к достаточным условиям устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости системы (1).

Методы и принципы исследования

Всюду ниже на устойчивость исследуется нулевое решение системы (1). Величина возмущения нулевого решения обозначается . Формулируемые ниже утверждения следуют из представленных в [6] для нелинейных автономных систем с учетом свойств систем линейных ОДУ:

  1. Если 18-10-2021 12-24-36, верны неравенства 18-10-2021 12-33-32, то решение системы (1) устойчиво.

В данных условиях функция 18-10-2021 12-31-53 не возрастает, поэтому 18-10-2021 12-32-09. Следовательно для 18-10-2021 12-32-30.

  1. Если 18-10-2021 12-32-56 такое, что 18-10-2021 12-33-07, верны неравенства 18-10-2021 12-25-07, то решение системы (1) устойчиво.

Утверждение доказывается по аналогии с п.1.

  1. Если для некоторых 18-10-2021 12-45-09 выполнены условия п.1, а для всех остальных 18-10-2021 12-45-17 – условия п.2, то решение системы (1) устойчиво.

Теорема 1. Если решение задачи (1) устойчиво и 18-10-2021 12-47-20 ,  выполняется пара неравенств 18-10-2021 12-47-44, и при этом 18-10-2021 12-48-04, то решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Для 18-10-2021 12-52-38  произвольно зафиксируем 18-10-2021 12-52-46 и выберем 18-10-2021 12-52-55, при котором выполняется 18-10-2021 12-53-08. Предположение, что 18-10-2021 12-53-21, окажется в противоречии с устойчивостью. При этом предположении, 18-10-2021 12-53-30, такое что, начиная с некоторого 18-10-2021 12-53-37, выполняется неравенство:

Тогда 18-10-2021 21-02-59 , 18-10-2021 21-05-55. Отсюда18-10-2021 21-06-08.

Последнее свидетельствует о неустойчивость нулевого решения, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому в рассматриваемых условиях выполняется 18-10-2021 13-01-52 . Поскольку 18-10-2021 13-02-06, с учетом произвольности выбора 18-10-2021 12-52-46, соотношение 18-10-2021 13-02-22. Поэтому решение системы асимптотически устойчиво. Аналогично выполняется доказательство для случая 18-10-2021 13-02-33.

Теорема 2. Пусть решение системы (1) устойчиво. Если 18-10-2021 13-15-00, выполняется пара неравенств 18-10-2021 13-15-1318-10-2021 13-27-58, то решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Пусть зафиксировано 18-10-2021 13-25-22 18-10-2021 13-28-07 . При выполнении первой пары неравенств функция 18-10-2021 13-25-31 убывает и ограничена снизу. Поэтому 18-10-2021 13-25-54. Если предположить, что 18-10-2021 13-26-19, возникнет противоречие.

18-10-2021 13-26-58

Поэтому 18-10-2021 13-27-11 вопреки устойчивости. Предположение неверно, следовательно 18-10-2021 13-27-31. С учетом произвольности выбора 18-10-2021 13-27-45 возможно только, если 18-10-2021 13-38-07 . Отсюда следует асимптотическая устойчивость решения системы (1). Аналогично выполняется доказательство для случая 18-10-2021 13-38-17.

Теорема 3. Если для задачи (1) 18-10-2021 13-39-37 такие, что выполняется пара неравенств 18-10-2021 13-39-53, при этом выполняется 18-10-2021 13-40-08, то решение системы (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть для определенности выполняются неравенства 18-10-2021 13-45-12. Если функция 18-10-2021 13-45-30. При этом 18-10-2021 13-46-23 с учетом возрастания 18-10-2021 13-46-36. Если в этом случае предположить, что решение устойчиво и 18-10-2021 13-47-00, то необходимо 18-10-2021 13-47-44. Следовательно 18-10-2021 13-48-10, что противоречит 18-10-2021 13-46-23. Если предположить, что решение устойчиво и 18-10-2021 14-12-41, то функция 18-10-2021 14-12-51 ограничена, не убывает, следовательно, имеет предел 18-10-2021 14-13-02, что противоречит устойчивости. Остается предположить, что 18-10-2021 14-13-13 не ограничено сверху, но это также означает, что решение неустойчиво. Случай 18-10-2021 14-13-24,  доказывается аналогично.

Численный и программный эксперимент

Эксперимент проводился с помощью ПК на базе процессора Intel(R) Core(TM) i5-4460 в среде программирования Delphi. Написаны программы, на основе которых находятся приближенные значения решения системы (1), первой и второй производной решения. Требуемые приближения ниже находятся на основе метода Рунге-Кутта. Системы исследуются при значении шага разностной схемы 18-10-2021 14-19-59, величина возмущения начальных данных 18-10-2021 14-20-10, промежуток решения 18-10-2021 14-23-58. Использование метода Батчера 6-го и Дормана-Принса 8-го порядков требует больших временных затрат при неизменной трактовке характера устойчивости исследуемых систем.

Пример 1. Исследуется на устойчивость система [7]

18-10-2021 14-24-16   (2)

В [7] выполнялся анализ устойчивости системы (2) на основе матричных мультипликативных критериев и было установлено, что система асимптотически устойчива. В табл. 1 и табл. 2 приводятся численные значения решения, первой и второй производной решения системы (1) в десяти узловых точках.

 

Таблица 1 – Численные значения 18-10-2021 14-24-59 системы (2)

18-10-2021 14-32-32

Таблица 2 – Численные значения 18-10-2021 14-33-24 системы (2)

18-10-2021 14-32-49

В целом программа позволяет находить отрезки, на которых сохраняется определенная комбинация знаков решения, первой и второй производной решения. На основе численного эксперимента было установлено, что комбинация знаков 18-10-2021 14-39-35 сохраняется при 18-10-2021 14-41-49, а комбинация 18-10-2021 14-40-08. В соответствии с теоремой 1 и теоремой 2 это свидетельствует об асимптотической устойчивости системы (2).

Пример 2. Исследуется на устойчивость система

18-10-2021 14-43-06    (3)  

Таблица 3 – Численные значения 18-10-2021 14-43-39 системы (3)

18-10-2021 14-43-57

Для первой компоненты решения, первой и второй производной решения на всем промежутке выполняется комбинация знаков 18-10-2021 14-44-17.

 

Таблица 4 – Численные значения 18-10-2021 14-33-24 системы (3)

18-10-2021 20-49-33

Аналогичный результат имеет место для второй компоненты. В соответствии с теоремой 3 это свидетельствует о неустойчивости системы (3).

Пример 3. Исследуется на устойчивость нулевое решение нелинейной системы

18-10-2021 20-51-25    (4)

В табл. 5 и табл. 6 представлены численные значения решения, первой и второй производной решения системы (4). Согласно представленным выше условиям, полученные комбинации знаков свидетельствуют об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4). При этом в отличие от предыдущих случаев для первой компоненты решения и ее производных наблюдается переход от комбинации знаков 18-10-2021 20-51-50 к комбинации 18-10-2021 20-52-03. Аналогичный результат имеет место для второй компоненты решения и ее первой и второй производной.

 

Таблица 5 – Численные значения 18-10-2021 14-24-59 системы (4)

18-10-2021 20-55-46

Таблица 6 – Численные значения 18-10-2021 14-33-24  системы (4)

18-10-2021 20-55-57

Так как нелинейные добавки 18-10-2021 20-57-23, стремятся к нулю при стремлении к нулю 18-10-2021 20-57-33 то анализ устойчивости системы (4), согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, может быть сведен к анализу линеаризованной системы

18-10-2021 20-57-43   (5)

При анализе устойчивости системы (5) комбинации знаков решения, первой и второй производной решения для обоих компонент получились тождественными представленным в табл. 5, 6. Численные значения решения, первой и второй производной решения линеаризованной системы, с точностью не менее трех знаков после запятой совпадают с соответствующими им значениями нелинейной системы (4). Таким образом, результаты анализа устойчивости нелинейной системы и линеаризованной системы оказались в полном соответствии и свидетельствуют об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4).

Предложенный подход наряду с методом на основе матричных мультипликативных критериев [8], [9] может служить основой для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости. Для нахождения приближенного значения решения систем линейных ОДУ с более высокой степенью точности, чем на основе разностных методов целесообразно применять метод варьируемого кусочно-интерполяционного приближения [10]. В результате помимо достигаемой точности решения, сокращается время на исследование, как следствие появляется возможность определять асимптотические свойства решения.

Заключение

Предложен подход к анализу устойчивости систем линейных ОДУ на основе покомпонентного сопоставления знаков решения, первой и второй производной решения. Отличительной особенностью подхода является, в частности, то, что при анализе устойчивости не требуется информация о характеристических числах и характеристических показателях. Подход доведен до компьютерной реализации. По результатам программного и численного эксперимента в режиме реального времени делается однозначный вывод о характере устойчивости исследуемых систем линейных ОДУ.

Конфликт интересов Не указан. Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

  1. Giesl P. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems by linear programming / P. Giesl, S. Hafstein // J. Difference Equ. Appl. – 2014. – V. 20. – I. 4. – P. 610–640.
  2. Zhaolu T. A numerical algorithm for Lyapunov equations / Zhaolu, G. Chuanqing // J. Appl. Math. Comput. – 2008. – V. 202. – I. 1. – P. 44–53.
  3. Bulanov S.G. Differential systems stability analysis based on matrix multiplicative criteria / S.G. Bulanov // Journal of Physics: Conference Series. – Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. – 2020. – 012103.
  4. Bulanov S.G. Computer analysis of differential systems stability based on linearization and matrix multiplicative criteria / S.G. Bulanov // Journal of Physics: Conference Series. – Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. – 2021. – P. 012101.
  5. РоммЯ.Е. Компьютерный анализ устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с приложением к оценке устойчивости синхронного генератора / Я.Е.Ромм, С.Г. Буланов // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2009. – №5 (94). – С. 52–59.
  6. РоммЯ.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости решений дифференциальных систем / Я.Е.Ромм // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 4. – С. 42–63.
  7. РоммЯ.Е. Метод компьютерного анализа устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений / Я.Е.Ромм, С.Г. Буланов // Деп. в ВИНИТИ. – 30.04.2009. – №  – 119 с.
  8. РоммЯ.Е. Численный эксперимент по компьютерному анализу устойчивости линеаризованных систем нелинейных дифференциальных уравнений / Я.Е.Ромм, С.Г. Буланов // Деп. в ВИНИТИ. – 14.07.2016. – №  – 18 с.
  9. РоммЯ.Е. Численный эксперимент по компьютерному анализу устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе критериев матричного вида / Я.Е.Ромм, С.Г. Буланов // Деп. в ВИНИТИ. – 14.08.2017. – № 89. – 20 с.
  10. БулановС.Г. Программный анализ устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе мультипликативных преобразований разностных схем и кусочно-полиномиальных приближений решения / С.Г.Буланов, Г.А. Джанунц // Промышленные АСУ и контроллеры. – 2015. – № 2. – С. 10–20.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Giesl P. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems by linear programming / P. Giesl, S. Hafstein // J. Difference Equ. Appl. – 2014. – V. 20. – I. 4. – P. 610–640.
  2. Zhaolu T. A numerical algorithm for Lyapunov equations / Zhaolu, G. Chuanqing // J. Appl. Math. Comput. – 2008. – V. 202. – I. 1. – P. 44–53.
  3. Bulanov S.G. Differential systems stability analysis based on matrix multiplicative criteria / S.G. Bulanov // Journal of Physics: Conference Series. – Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. – 2020. – 012103.
  4. Bulanov S.G. Computer analysis of differential systems stability based on linearization and matrix multiplicative criteria / S.G. Bulanov // Journal of Physics: Conference Series. – Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. – 2021. – P. 012101.
  5. Romm Ya.E. Komp'juternyj analiz ustojchivosti sistem linejnyh differencial'nyh uravnenij s prilozheniem k ocenke ustojchivosti sinhronnogo generatora / Ya.E. Romm, S.G. Bulanov [The computer analysis of a stability of systems of linear differential equations with application to an estimation stabilities of the synchronous generator] // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering sciences] – 2009. – №5 (94). – P. 52–59. [in Russian]
  6. Romm Ya.E. Komp'juterno-orientirovannyj analiz ustojchivosti reshenij differencial'nyh sistem [Computer-oriented stability analysis of solutions of differential systems] / Ya.E. Romm // Sovremennye naukoemkie tehnologii [Modern high technologies]. – 2020. – № 4. – P. 42–63. [in Russian]
  7. Romm Ya.E. Metod komp'juternogo analiza ustojchivosti sistem linejnyh differencial'nyh uravnenij [Method of computer analysis of stability of systems of linear differential equations] / Ya.E. Romm, S.G. Bulanov // Dep. v VINITI [Dep. in VINITI]. – 30.04.2009. – № 268. – 119 p. [in Russian]
  8. Romm Ya.E. Chislennyj jeksperiment po komp'juternomu analizu ustojchivosti linearizovannyh sistem nelinejnyh differencial'nyh uravnenij [Numerical experiment on computer analysis of stability of linearized systems of nonlinear differential equations] / Ya.E. Romm, S.G. Bulanov // Dep. v VINITI [Dep. in VINITI]. – 14.07.2016. – № 102. – 18 p. [in Russian]
  9. Romm Ya.E. Chislennyj jeksperiment po komp'juternomu analizu ustojchivosti reshenij obyknovennyh differencial'nyh uravnenij na osnove kriteriev matrichnogo vida [Numerical experiment on computer analysis of solutions stability of ordinary differential equations based on criteria of matrix form] / Ya.E. Romm, S.G. Bulanov // Dep. v VINITI [ in VINITI]. – 14.08.2017. – № 89. – 20 p. [in Russian]
  10. Bulanov S.G. Programmnyj analiz ustojchivosti sistem obyknovennyh differencial'nyh uravnenij na osnove mul'tiplikativnyh preobrazovanij raznostnyh shem i kusochno-polinomial'nyh priblizhenij reshenija [Program analysis of stability of ordinary differential equations systems on the basis of multiplicative transformations of difference schemes and piecewise polynomial approximations of the solution] / S.G. Bulanov, G.A. Dzhanunts // Promyshlennye ASU i kontrollery [Industrial Automatic Control Systems and Controllers]. – 2015. – № 2. – P. 10–20. [in Russian]