UNIFORM INTERPOLATION AT RESTORATION OF SIGNALS
Захарченко Н.В. 1, Бектурсунов Д.Н. 2, Севастеев Е.А. 3, Гавель С.Н. 4
1Доктор технических наук, 2Аспирант, 3Аспирант, 4Аспирант, Одесская национальная академия связи
РАВНОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ СИГНАЛОВ
Аннотация
Рассматриваются различные вопросы интерполяции сигналов при приближенных представлениях их: интерполяция аналитических сигналов и сигналов с ограниченным спектром.
Ключевые слова: интерполяция, аналитические сигналы, сигналы с ограниченным спектром.
Zakharchenko N.V. 1, Bektursunov D.N. 2, Sevasteev E.A. 3, Gavel S.N. 4
1Ph.D., 2Graduate, 3Graduate, 4 Graduate, Odessa National Academy of Telecommunications;
UNIFORM INTERPOLATION AT RESTORATION OF SIGNALS
Abstract
Various questions of interpolation of signals at their approximate representations are considered: interpolation of analytical signals and signals with a limited range.
Keywords: interpolation, analytical signals, signals with a limited range.
Постановка задач и решение. Пусть s(t) и b(t) – произвольные (вещественные либо комплексные) сигналы со спектрами s(jw) и В(jw) соответственно. Приблизим s(t) суммой
так, чтобы строго выполнялось равенство
где Δt – произвольный заданный шаг интерполяции, t0 – произвольный начальный момент отсчета.
Согласно (2), необходимо интерполировать сигнал s(t) суммой f(t) на бесконечной равномерной сетке узлов t0 + νΔt (n = 0, ±1, ±2, ...).
Допустим, что равенство (2) выполняется и, исходя из этого, определим погрешность приближения s(t) суммой f(t) на бесконечной непрерывной оси времени.
Перепишем равенство (2) в форме
где sν = s(t0 + νΔt), bν–к = b(t0 + ννΔt – кΔt). С использованием двустороннего
z-преобразования это равенство запишем в виде
где z–1 = е–рΔt – оператор задержки, р = σ + jw – комплексная частота;
Здесь В (z–1) и S (z–1) – z-преобразования сигналов b(t) и s(t).
Прямое преобразование Фурье равенства (1) дает
где F(jw) – спектр f(t).
В плоскости z на окружности единичного радиуса (z = e–jwΔt), согласно (3) или (4),
С учетом этого равенства выражение для F(jw) (5) принимает вид
Согласно формуле суммирования Пуассона [1], справедливы равенства
поэтому окончательно
Если b(t) – конечная или бесконечная (по длительности) функция с небольшим количеством ненулевых значений bк = b(t0 + кΔt) (например, b(t) – сигнал конечной длительности, сплайн-функция невысокого порядка, парциально- кодированный сигнал и т. д.), то F(jw) удобно представлять в виде
Полученные выражения (7) и (8) дают спектр интерполирующей суммы f(t). Погрешность интерполяции определяется
Аналитические сигналы. Как подчеркивалось выше, на сигналы s(t) и b(t) никакие ограничения не накладываются. Считаем, что s(t) и b(t) – вещественные сигналы и образуем на их основе аналитические (комплексные) сигналы
с односторонними спектрами sа(jw) = 2S+(jw) и Ва(jw) = 2В+(jw) соответственно. Здесь ŝ(t) и ̂ b(t) – преобразования Гильберта [2] сигналов s(t) и b(t),
ĝ(t) определяется аналогично. Нижние индексы + указывают, что используются части спектров, расположенные в области положительных частот.
Все вышеприведенные рассуждения остаются в силе, если в выражениях (1) … (8) проделать замены
Сигналы с ограниченным спектром. Допустим, что s(t) и b(t) – низкочастотные сигналы с ограниченным частотой wс спектрами [3],
Выберем wд≥2wс (wд = 2π/Δt). Из выражения (7) вытекает, что если |B(jw)| не обращается в нуль на тех частотах, на которых |S(jw)| не равен нулю, то E(jw)=0 для всех частот. Если же |B(jw)| и |S(jw)| обращаются в нуль на некоторых частотах, то их необходимо считать малыми величинами одного порядка малости. С учетом этих оговорок справедлив вывод о том, что один заданный сигнал с ограниченным спектром можно интерпoлировать с нулевой погрешностью взвешенной суммой запаздывающих сигналов, полученных из другого заданного сигнала с той же, что и у исходного сигнала, шириной спектра.
Определение весовых коэффициентов интерполирующего ряда. Укажем различные приемы нахождения коэффициентов αк с учетом выполнения равенства (2).
- На основе решения бесконечной системы линейных уравнений (3).
- Как следует из (6), коэффициенты αк – это коэффициенты Фурье функции
либо равной ей функции
раскладываемой в ряд Фурье на отрезке [–1/2(wд); 1/2(wд)], wд = 2π/Δt.
Возможные случаи упрощения определения αк:
- Сигнал b(t) – конечный по длительности,
тогда, согласно (6), αк = sк/b0. В этом случае выражения (7) и (8) упрощаются:
- Сигнал b(t) является сигналом Найквиста,
В этом случае
а F(jw) определяется согласно (11).
Представляет интерес случай, когда значения αк выбираются по формуле (13) при произвольном заданном сигнале b(t), не удовлетворяющем перечисленным случаям 1 и 2. В этом случае сумма f(t) (1) не является интерполирующей, однако ее спектр F(jw) находится по выражению (11).
Условия совпадения линейных преобразований сигналов на бесконечной дискретной равномерной сетке времени. Пусть s(t) и х(t) – произвольные сигналы со спектрами s(jw) и Х(jw). Эти сигналы совпадают на бесконечной равномерной сетке времени
только в том случае, если их спектры удовлетворяют равенству [3]
Это равенство может быть использовано для вывода выражения (7). Действительно, если выполняется (2), то выполняется, согласно (14), и равенство
С учетом (5),
Определив из последних равенств сумму и подставив ее в (5), приходим окончательно к (7), что и требовалось показать.
Литература
- Кисель В.А. Восстановление сигналов по преобразованным отсчетам // Труды УНИИРТ – Одесса: изд. УНИИРТ. 1995. Вып.1. С. 24-25.
- Сукачев Э.А. Новая форма представления селективных сигналов для телекоммуникационных систем // Працi УНДIРТ. – Одеса: вид. УНДIРТ. – 1998. № 2 (14). – С. 98-102.
- Галлагер Р. Теория информации и надежная связь: Пер. с англ. / Под ред. М.С. Пинскера и Б.С. Цыбакова. – М.: Сов. Радио, 1974. – 304 с.
References
- Kisel V.A. Restoration of signals on the transformed counting // Works UNIIRT – Odessa: prod. UNIIRT. 1995. Publ.1. Page 24-25.
- Sukachev E.A. A new form of representation of selective signals for telecommunication systems // Pratsi of UNDIRT. – Odessa: look. UNDIRT. – 1998. No. 2 (14). – Page 98-102.
- Gallager R. Theory of information and reliable communication: The lane with English / Under the editorship of M.S. Pinsker and B.S. Tsybakov. – M.: Owls. Radio, 1974. – 304 pages.