SYNTHESIS OF A ROBUST CONTROL OF INTERVAL SYSTEMS WITH DELAY BASED ON HETEROGENEOUS DECOMPOSITION OF THE LYAPUNOV — KRASOVSKY FUNCTIONAL CONSTRUCTION
SYNTHESIS OF A ROBUST CONTROL OF INTERVAL SYSTEMS WITH DELAY BASED ON HETEROGENEOUS DECOMPOSITION OF THE LYAPUNOV — KRASOVSKY FUNCTIONAL CONSTRUCTION
Abstract
The relevance of the growing role of research of systems with delay is related to a paradigm shift — away from treating delay as a harmful factor, towards the deliberate introduction of delay into the control loop to achieve beneficial effects. The aim of the work is to synthesise a robust control strategy regarding interval parametric disturbances and discrete delay. To achieve this objective, the following methods are used: heterogeneous decomposition of the Lyapunov – Krasovsky functional construction; the integral form of the Jensen and Wirtinger inequalities; a stability verification procedure based on vertex analysis, the S-procedure; and optimisation of stability margins. The synthesis of robust control is based on the second Lyapunov method and the solution of linear matrix inequalities. It is shown that the Lyapunov – Krasovsky functional construction with a heterogeneous decomposition allows for the non-uniform sensitivity of the system to delay to be taken into account. Improved integral inequalities of order m = 3 are applied, which significantly reduce the conservative nature of the stability conditions compared with classical inequalities. A computational experiment was carried out, demonstrating that the suggested approach allows for an increase in the estimate of the maximum permissible delay compared with the classical method. The developed method can be applied to the synthesis of robust controllers in technical systems with uncertain parameters and delay, for example, in chemical engineering, the energy sector and traffic control systems.
1. Введение
Проблема управления объектами, математические модели которых включают временное запаздывание, является одной из фундаментальных в современной теории автоматического управления. Наличие даже малого запаздывания в контуре обратной связи способно привести к потере устойчивости и ухудшению качества переходных процессов. Математической основой для их описания стали дифференциальные уравнения с запаздыванием.
Огромную роль в становлении теории систем с запаздыванием сыграли работы , , восходящие к идеям А.М. Ляпунова и базирующиеся на построении функционалов Ляпунова — Красовского в функциональном пространстве начальных состояний, что позволило строго исследовать устойчивость наследственных систем. Работы , по конструктивному описанию полугрупп эволюции наследственных систем завершили построение общей теории критических случаев устойчивости. В разработана конструктивная теория стабилизации систем с последействием.
Классические и структурные методы активно развиваются на базе частотных методов синтеза регуляторов, которые позволили адаптировать подходы на основе ПИД-регуляторов , к системам с запаздыванием. Параллельно был предложен ряд специализированных структур: предиктор Смита — компенсатор, позволяющий вынести запаздывание за пределы замкнутого контура и управлять объектом так, как если бы запаздывание отсутствовало , . Его эффективность подтверждена на промышленных системах, однако метод чувствителен к точности модели объекта. Принцип максимума Понтрягина был обобщён на системы с отклоняющимся аргументом в работах , , что заложило основы для решения задач оптимального управления с учётом задержки.
Современный этап развития характеризуется переходом к робастным и адаптивным подходам , , которые способны парировать неопределённость в описании объекта и параметрах запаздывания. Широкое распространение получили системы с эталонной моделью и настраиваемым предиктором , , способные компенсировать запаздывание по управлению без точного знания его величины. Для случаев, когда параметры объекта и запаздывание известны лишь с точностью до интервалов, разработаны методы робастной стабилизации. В работах , , решена задача построения регулятора, сохраняющего асимптотическую устойчивость при всех возможных значениях запаздывания из заданного диапазона. Применение методов H∞-теории к системам с запаздыванием , позволяет синтезировать регуляторы, гарантирующие подавление внешних возмущений до заданного уровня.
Перспективные направления включают применение нейросетевых технологий для идентификации и прогноза, разработку распределённых и многоагентных систем управления с задержками в коммуникационной среде, а также интеграцию методов машинного обучения с классическими подходами.
Работы Красовского и Колмановского заложили базовую форму функционала, предлагаемая статья является естественным развитием на случай априорно известной неравномерной чувствительности. Равномерное разбиение — частный случай гетерогенного, но в случае гетерогенного — «энергия» функционала Ляпунова — Красовского распределяется по оси запаздывания неравномерно. Приведен численный пример для системы, чувствительной к малому запаздыванию. Равномерное разбиение «размазывает» штраф, а гетерогенное – концентрирует его в нужной области, что снижает консервативность системы.
Цель настоящего исследования состоит в увеличении запаса устойчивости при действии интервальных параметрических возмущений и запаздывании. Для решения поставленной цели используется робастное управление со статической обратной связью по полному фазовому вектору. Параметры обратной связи находятся при решении линейных матричных уравнений.
2. Постановка задачи
Рассматривается линейная динамическая система с интервальной параметрической неопределенностью и запаздыванием по состоянию :
где x(t)∈Rn — вектор фазовых координат; u(t)∈Rm — управляющее воздействие; τ(t) —переменное запаздывание с ограниченной производной, удовлетворяющее условиям
Интервальные матрицы представимы в центрированной форме:
аналогичные представления справедливы и для матриц AdI и BdI.
Для более компактного описания коррелированных неопределенностей может использоваться следующее представление в виде политопа:
где Gi — постоянные матрицы, определяющие направления возмущений по параметрам.
Цель синтеза состоит в определении параметров обратной связи по полному вектору состояния (введение наблюдателя не требуется; в общем случае, коэффициент обратной связи может быть интервальной матрицей)
такой, чтобы замкнутая система
была робастно асимптотически устойчивой для всех допустимых реализаций интервальных матриц и любого запаздывания, удовлетворяющих заданным ограничениям.
3. Синтез управления
Проведем гетерогенную декомпозицию интервала запаздывания на отрезки
где точки разбиения располагаться неравномерно, адаптируясь к динамике системы (1). Такая параметризация позволяет снизить консервативность условий устойчивости в силу того, что функционал Ляпунова — Красовского точнее отражает расположение «энергии» системы по оси запаздывания.
Пусть функционал Ляпунова-Красовского имеет следующую структуру
где
Здесь P>0, Qj>0, Rj>0, Zj>0 — матрицы, подлежащие определению. Слагаемое (4) — стандартная квадратичная форма, как в системах без запаздывания. Слагаемое (5) — штраф за отклонение состояния на интервале запаздывания. Слагаемое (6) — штраф за отклонение управляющего воздействия на интервале запаздывания. Слагаемое (7) — учитывает «энергию» производной состояния на интервале запаздывания.
Интегральные неравенства, возникающие при вычислении полной производной функционала Ляпунова-Красовского, оцениваются неравенством Йенсена, которое дает грубую оценку. Для любого интервала [a,b] и любой положительно определенной матрицы справедливо неравенство
где Ωk — векторы, определяемые через ортогональные полиномы Лежандра Pk(s) на [a,b] :
При этом неравенство (4) соответствует неравенству Йенсена, при k=1 — неравенству Виртингера, при k≥2 — уточненные оценки высших порядков. В настоящей работе использовано m=3.
После подстановки всех оценок и выполнения преобразований производная функционала Ляпунова-Красовского будет ограничиваться сверху квадратичной формой
Здесь ξT(t)=(xT(t), xT(t-τ(t)) xT(t-τm) xT(t-τM) x(t)) - расширенный вектор размерности R5n; — размерность одного блока расширенного вектора; Φ∈R5n×5n — симметричная блочная матрица, имеющая 5 блоков Φij∈Rn×n, определенных ниже:
Здесь символ обозначает симметричные относительно диагонали блоки.
где: P>0, Q>0, R>0, Z>0 — положительно определенные матрицы из функционала Ляпунова-Красовского; X∈Rn×n — дополнительная матрица; τM — верхняя граница запаздывания; μ — ограничение на производную запаздывания.
Таким образом, матрица в формуле (9) является симметричной блочной матрицей размера 5nx5n с элементами, содержащими произведения неизвестных матриц, которые линеаризуются с помощью замены переменных X=P-1, Y=KX, с использованием преобразования конгруэнтности (умножение слева и справа на блочно-диагональную матрицу "blok" "diag" {X, X, X, X, X} и её транспонирование). Последнее позволяет привести матрицу привести к окончательным линейным матричным неравенствам.
где
При этом матрица Q в функционале Ляпунова-Красовского заменяется на матрицу
После решения линейных матричных уравнений искомые матрицы вычисляются как
Вычисление коэффициента обратной связи по формуле (10) обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы (2) при всех допустимых параметрах из заданных интервалов.
Научная новизна предлагаемого подхода состоит в следующем — гетерогенная декомпозиция + интервальная робастная обратная связь + интегральные неравенства Лежандра m=3 в рамках одного LMI-подхода. В известной нам литературе (включая работы Fridman, Park, Lee) такая комбинация для интервальных систем с запаздыванием отсутствует.
4. Вычислительный эксперимент
Для верификации метода синтеза проведено тестирование предлагаемого подхода в среде matlab и сравнение его с двумя известными вариантами решения поставленной задачи.
Параметры проведенного эксперимента по предложенному алгоритму.
Порядок системы n = 2, Интервальные матрицы (численно):
AI = [[-2,1; -1,9], [0,9; 1,1]; [-1,1; -0,9], [-2,1; -1,9]]
AdI = 0,1·AI, BuI = [[0,8; 1,2]; [0,9; 1,1]], μ = 0,1, τm = 0.
Солвер: SeDuMi 1.3.4 + YALMIP R2023a в MATLAB.
Разбиение для варианта В: [0; 0,3; 0,7; 1,0; 1,23] (4 неравномерных отрезка).
При проверке предлагаемого подхода используется интервальная система, дополненная запаздыванием и управлением:
При проведении вычислительного эксперимента сравнивались два варианта:
- стандартный метод декомпозиции запаздывания с равномерным разбиением временного интервала, для оценки интегральных неравенств использовано формула Йенсена (вариант А);
- метод гетерогенного разбиения запаздывания на 4 неравномерных отрезка и использование усовершенствованной формулы оценки неравенств при m=3 (вариант В — предлагаемый подход).
В обоих случаях синтезировался стационарный регулятор (задача максимизации временного запаздывания). Рассмотрено три варианта алгоритмов:
Метод A — равномерное разбиение + Йенсен.
Метод B (предложенный метод) — гетерогенное разбиение + Лежандр m=3.
Метод C — метод Виртингера (Park, Lee, 2015) без гетерогенного разбиения.
Метод D — метод свободных матриц (free-weighting matrices) с равномерным разбиением.
В таблице приведены результаты расчетов τ_max:
Результаты расчетов τ_max
выигрыш относительно лучшего из современных методов (D) – от 2,5% до 6,5%
Система | Метод A | Метод C | Метод D | Метод B |
1 | 1,15 | 1,18 | 1,20 | 1,23 |
2 | 0,92 | 0,96 | 0,97 | 1,01 |
3 | 1,30 | 1,34 | 1,35 | 1,39 |
В случае с шумом и дискретизацией инженерная значимость может быть ограничена. Полученное увеличение τmax на ~3–7% может быть существенно для систем на границе устойчивости, но требуются дополнительные исследования чувствительности к используемой реализации.
Проведены замеры времени выполнения алгоритмов для системы из примера (n=2, N=4 – количество отрезков разбиения запаздывания):
1. Вариант А (равномерное, Йенсен): время решения LMI ~ 0,23 с.
2. Вариант В (гетерогенное, m=3): время ~ 0,41 с.
3. Рост в ~1,8 раза.
4. Для n=4 рост составляет 2,5 раза.
Такое увеличение можно считать приемлемым, поскольку синтез регулятора выполняется offline, а выигрыш по максимальному запаздыванию может иметь положительный эффект на увеличение устойчивости замкнутой системы.
5. Заключение
Цель настоящего исследования состоит в увеличении запаса устойчивости при действии интервальных параметрических возмущений и запаздывания. Для решения поставленной цели используется робастное управление с обратной связью по полному вектору состояния. Параметры обратной связи находятся при решении линейных матричных неравенств.
К основным научным результатам относятся: разработка функционала Ляпунова-Красовского с гетерогенной декомпозицией, позволяющей учитывать неравномерную чувствительность системы к запаздыванию на разных временных отрезках, и применение усовершенствованных интегральных неравенств порядка m=3, что существенно снижает консервативность условий устойчивости по сравнению с классическими неравенствами Йенсена и Виртингера.
Проведённый вычислительный эксперимент показал, что гетерогенная декомпозиция интервала запаздывания позволяет увеличить максимально допустимое запаздывание по сравнению с классическим методом.
Предложенный метод может быть применён для синтеза робастных регуляторов в технических системах с неопределёнными параметрами и запаздыванием, например в химической технологии, энергетике, системах управления движением.