On recurrence relations of two singular measures generated by a stochastic row

Рассмотрим стохастическую последовательность знаков {

}. Можно считать, что любая такая последовательность является реализацией случайного процесса , определенного на вероятностном пространстве , где  – пространство последовательностей ,  – алгебра, порожденная конечномерными цилиндрами , где все , за исключением, быть может, конечного числа, которые равны {+1} или {–1}, совпадают с {+1,–1}.

Стохастические свойства последовательности знаков определяются свойствами вероятностной меры Р, определяемой, в свою очередь, согласованным свойством конечномерных распределений 

.

Счетный случайный процесс

 с пространством состояний {+1,–1} называется простой однородной марковской цепью, если справедливо соотношение

где

 – переходные вероятности за один шаг, то есть .

Рассмотрим ряд

где 

– марковская цепь.

Существует взаимно-однозначное соответствие между функциями распределения и вероятностными мерами на 

. Если задана произвольная функция распределения F, то соответствующая ей вероятностная мера  определяется своими значениями в классе всех открытых слева и замкнутых справа интервалов. 

И обратно, если задана вероятностная мера Р на 

, то соответствующая ей функция распределения определяется равенством .

С помощью введенных обозначений соответствие между множеством всех функций распределения F и множеством всех вероятностных мер P может быть выражено следующим образом:

.

Таким образом, все утверждения для функций распределения справедливы и для вероятностных мер.

Вероятностное распределение суммы ряда (2) является сингулярной мерой, носитель которой – канторовское множество с постоянным отношением разбиения 

. Сингулярность меры означает, что все точки роста данной функции принадлежат некоторому множеству N нулевой меры Лебега, так что выполняется равенство .

В данной статье рассмотрим сингулярные меры, порожденные стохастической процедурой, описываемой (1) и (2), с точки зрения изучения их свойств и взаимосвязи.

Для краткости изложения введем следующие обозначения:

;

;

;

.

Характеристическая функция системы 

 имеет вид:

и, согласно определению, является преобразованием Фурье совместного распределения 

.

Кроме этого, рассмотрим функцию, которая также является сингулярной вероятностной мерой

Для совместного распределения системы, связанной простой марковской зависимостью с матрицей переходных вероятностей, справедливо соотношение:

и

 при .

В отличие от непрерывных и дискретных мер, сингулярные меры в теории функций изучены не в полной мере. В данной статье будет рассмотрена связь между сингулярными мерами (3) и (4) и доказаны рекуррентные соотношения, связывающие эти меры друг с другом.

2.1. Теорема

Для сингулярных мер, определяемых соотношениями (3) и (4), справедливо рекуррентное соотношение:

2.1.1. Доказательство

Сначала покажем справедливость (6) для сингулярной меры 

.

Обозначив 

и воспользовавшись представлением (5), можно записать

.

То есть

Для n+1 имеем:

.

Отсюда, используя формулу сложения 

, получаем

.

Ввиду четности косинуса гиперболического и нечетности синуса гиперболического, а также того, что 

, справедливы равенства  и . Поэтому

.

Отсюда

.

Итак, имеем формулу для 

в (6).

.

Аналогично получается (6) для

.

.

Учитывая формулу сложения

, получаем:

.

Таким образом, получаем формулу для 

из (6):

.

Теорема полностью доказана.

Перед тем как привести еще один вариант рекуррентного соотношения, связывающего сингулярные меры, порожденные стохастическим рядом (2), сформулируем и докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 2.2

Справедливо равенство 

.

2.2.1. Доказательство

По определению гиперболического тангенса имеем

.

Согласно (5)

.

Тогда можно представить 

в виде:

.

Аналогично получаем, что

.

И поэтому 

.

Лемма доказана.

2.3. Лемма 2

Справедливо неравенство 

.

2.3.1. Доказательство

Так как 

, то .

Лемма доказана.

Для краткости записи обозначим 

. Тогда (6) будет иметь вид:

Получим еще одну формулу для характеристической функции 

.

Согласно равенству (7) имеем

.

Подставив n=0 в соотношение (8) и учитывая только что полученное равенство, можно записать

 &

При n=1 из (8) и равенств, полученных ранее, имеем

.

Аналогично рассуждая, получим при n=2:

.

При n=3:

.

И так далее.

Таким образом, можно сделать предположение, что справедлива следующая

2.4. Теорема 2

Для сингулярных мер

 и , определяемых соотношениями (3) и (4) соответственно, справедливо рекуррентное соотношение

2.4.1. Доказательство

Обоснуем справедливость (9) с помощью метода математической индукции.

Как было показано ранее, при n=0 имеем

,

Нетрудно видеть, что данное выражение удовлетворяет (9).

Таким образом, при n=0 соотношение (9) выполняется. Далее предположим, что (9) уже доказано для n. Докажем, что из этого предположения вытекает справедливость рекуррентного соотношения (9) и для n+1.

Согласно формуле (8),

.

Tак как по нашему предположению соотношение (9) справедливо для

, то отсюда следует, что

.

Таким образом нетрудно видеть что рекуррентное соотношение (9) выполняется и для n+1.

Согласно методу математической индукции теорема доказана.

Переходя к пределу при

 получаем выражение для характеристической функции стохастического ряда (2).

3.1. Теорема 3

Для характеристической функции стохастического ряда (2) справедливо рекуррентное соотношение

3.1.1. Доказательство

Докажем, что при

 последовательность сингулярных мер (8) равномерно сходится на компактах из множества .

Рассмотрим произвольный компакт 

.

Так как бесконечное произведение 

 равномерно сходится, то рекуррентное соотношение (9) можно преобразовать следующим образом:

Получаем

Оценим абсолютную величину последнего слагаемого в (11):

.

Последнее равенство записано ввиду того, что выражение 

, а следовательно и его абсолютная величина, не зависит от j, и поэтому данный множитель можно вынести из-под знака суммирования по j.

Оценим абсолютную величину

:

Из определения сингулярной меры (4) и согласно

имеем

, где .

Тогда получаем

.

Оценим абсолютную величину.

Так как функция комплексной переменной косинус принимает наибольшие значения на мнимой оси, то справедливо:

.

Таким образом, можно записать:

Ряд

 сходится, так как , а ряд  в свою очередь сходится ввиду того, что справедливо  и, исходя из вышесказанного, можно продолжить равенство, введя следующее обозначение , равенство можно продолжить:

.

Так как переменная z принадлежит компакту, то можно найти такую

 из компакта К, что для нее выполняется неравенство , справедливое для всех , и, таким образом, окончательно имеем:

.

Так как

 сходится, то для любого положительного числа  найдется номер , такой что для всех номеров  выполняется неравенство:

.

Тогда для всех номеров 

 выполняется неравенство:

,

то есть при 

 

.

Следовательно, при

 получаем из (9):

.

Теорема доказана.