On recurrence relations of two singular measures generated by a stochastic row

Research article
DOI:
https://doi.org/10.60797/IRJ.2024.146.2
Issue: № 8 (146), 2024
Suggested:
03.03.2024
Accepted:
17.07.2024
Published:
16.08.2024
135
7
XML
PDF

Abstract

Singular measures in function theory are very understudied, in contrast to continuous and discrete measures. To fill this gap, the authors of this article have examined singular measures generated by a stochastic procedure using a homogeneous Markov chain. On the other hand, these measures can also be regarded as Fourier transforms of the probability distribution of the studied stochastic row.

In

the basic properties of the discussed measures were described and proved, with the help of which it will be possible, firstly, to continue the study of singular measures on this example, and secondly, to try to apply the obtained mathematical results in statistics, information theory, signal processing.

In this paper, the relationship between two singular measures is studied and recurrence relations linking them to each other are derived.

The results obtained, besides their mathematical beauty, can be further used to study the asymptotic behaviour of these probability measures, to find their zeros, and to explore their properties as singular measures in more detail.

1. Введение

Рассмотрим стохастическую последовательность знаков {img}. Можно считать, что любая такая последовательность является реализацией случайного процесса img, определенного на вероятностном пространстве img, где img – пространство последовательностей img, img – алгебра, порожденная конечномерными цилиндрами img, где все img, за исключением, быть может, конечного числа, которые равны {+1} или {–1}, совпадают с {+1,–1}.

Стохастические свойства последовательности знаков определяются свойствами вероятностной меры Р, определяемой, в свою очередь, согласованным свойством конечномерных распределений img.

Счетный случайный процесс img с пространством состояний {+1,–1} называется простой однородной марковской цепью, если справедливо соотношение

img
(1)

где img – переходные вероятности за один шаг, то есть img.

Рассмотрим ряд

img
(2)

где img – марковская цепь.

Существует взаимно-однозначное соответствие между функциями распределения и вероятностными мерами на img. Если задана произвольная функция распределения F, то соответствующая ей вероятностная мера img определяется своими значениями в классе всех открытых слева и замкнутых справа интервалов. 

И обратно, если задана вероятностная мера Р на img, то соответствующая ей функция распределения определяется равенством img.

С помощью введенных обозначений соответствие между множеством всех функций распределения F и множеством всех вероятностных мер P может быть выражено следующим образом:

img.

Таким образом, все утверждения для функций распределения справедливы и для вероятностных мер.

Вероятностное распределение суммы ряда (2) является сингулярной мерой, носитель которой – канторовское множество с постоянным отношением разбиения img. Сингулярность меры означает, что все точки роста данной функции принадлежат некоторому множеству N нулевой меры Лебега, так что выполняется равенство img.

В данной статье рассмотрим сингулярные меры, порожденные стохастической процедурой, описываемой (1) и (2), с точки зрения изучения их свойств и взаимосвязи.

Для краткости изложения введем следующие обозначения:

img;

img;

img;

img.

Характеристическая функция системы img имеет вид:

img
(3)

и, согласно определению, является преобразованием Фурье совместного распределения img.

Кроме этого, рассмотрим функцию, которая также является сингулярной вероятностной мерой

img
(4)

Для совместного распределения системы, связанной простой марковской зависимостью с матрицей переходных вероятностей, справедливо соотношение:

img
(5)

и img при img.

В отличие от непрерывных и дискретных мер, сингулярные меры в теории функций изучены не в полной мере. В данной статье будет рассмотрена связь между сингулярными мерами (3) и (4) и доказаны рекуррентные соотношения, связывающие эти меры друг с другом.

2. Реккурентное соотношение для сингулярных мер, порожденных простой однородной марковской цепью

2.1. Теорема

Для сингулярных мер, определяемых соотношениями (3) и (4), справедливо рекуррентное соотношение:

img
(6)

2.1.1. Доказательство

Сначала покажем справедливость (6) для сингулярной меры img.

Обозначив img и воспользовавшись представлением (5), можно записать

img.

То есть

img
(7)

Для n+1 имеем:

img

img

img

img.

Отсюда, используя формулу сложения img, получаем

img.

Ввиду четности косинуса гиперболического и нечетности синуса гиперболического, а также того, что img, справедливы равенства img и img. Поэтому

img.

Отсюда

img

img

img.

Итак, имеем формулу для img в (6).

img.

Аналогично получается (6) для img.

img

img

img

img.

Учитывая формулу сложенияimg, получаем:

img

img.

Таким образом, получаем формулу для img из (6):

img.

Теорема полностью доказана.

Перед тем как привести еще один вариант рекуррентного соотношения, связывающего сингулярные меры, порожденные стохастическим рядом (2), сформулируем и докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 2.2

Справедливо равенство img.

2.2.1. Доказательство

По определению гиперболического тангенса имеем

img.

Согласно (5)

img.

Тогда можно представить img в виде:

img.

Аналогично получаем, что

img.

И поэтому 

img.

Лемма доказана.

2.3. Лемма 2

Справедливо неравенство img.

2.3.1. Доказательство

Так как img, то img.

Лемма доказана.

Для краткости записи обозначим img. Тогда (6) будет иметь вид:

img
(8)

Получим еще одну формулу для характеристической функции img.

Согласно равенству (7) имеем

img.

Подставив n=0 в соотношение (8) и учитывая только что полученное равенство, можно записать

img &

При n=1 из (8) и равенств, полученных ранее, имеем

img

img.

Аналогично рассуждая, получим при n=2:

img

img.

При n=3:

img

img

img.

И так далее.

Таким образом, можно сделать предположение, что справедлива следующая

2.4. Теорема 2

Для сингулярных мер img и img, определяемых соотношениями (3) и (4) соответственно, справедливо рекуррентное соотношение

img
(9)

2.4.1. Доказательство

Обоснуем справедливость (9) с помощью метода математической индукции.

Как было показано ранее, при n=0 имеем

img,

Нетрудно видеть, что данное выражение удовлетворяет (9).

Таким образом, при n=0 соотношение (9) выполняется. Далее предположим, что (9) уже доказано для n. Докажем, что из этого предположения вытекает справедливость рекуррентного соотношения (9) и для n+1.

Согласно формуле (8),

img.

Tак как по нашему предположению соотношение (9) справедливо для img, то отсюда следует, что

img

img

img.

Таким образом нетрудно видеть что рекуррентное соотношение (9) выполняется и для n+1.

Согласно методу математической индукции теорема доказана.

3. Рекуррентное соотношение для характеристической функции стохастического ряда

Переходя к пределу при img получаем выражение для характеристической функции imgстохастического ряда (2).

3.1. Теорема 3

Для характеристической функции стохастического ряда (2) справедливо рекуррентное соотношение

img
(10)

3.1.1. Доказательство

Докажем, что при img последовательность сингулярных мер (8) равномерно сходится на компактах из множества img.

Рассмотрим произвольный компакт img.

Так как бесконечное произведение img равномерно сходится, то рекуррентное соотношение (9) можно преобразовать следующим образом:

img

Получаем

img
(11)

Оценим абсолютную величину последнего слагаемого в (11):

img

img

img

img.

Последнее равенство записано ввиду того, что выражение img, а следовательно и его абсолютная величина, не зависит от j, и поэтому данный множитель можно вынести из-под знака суммирования по j.

Оценим абсолютную величину img:

Из определения сингулярной меры (4) и согласно

имеем

img, где img.

Тогда получаем

img

img

img.

Оценим абсолютную величину.

Так как функция комплексной переменной косинус принимает наибольшие значения на мнимой оси, то справедливо:

img.

Таким образом, можно записать:

img

img

Ряд img сходится, так как img, а ряд img в свою очередь сходится ввиду того, что справедливо img и, исходя из вышесказанного, можно продолжить равенство, введя следующее обозначение img, равенство можно продолжить:

img.

Так как переменная z принадлежит компакту, то можно найти такую img из компакта К, что для нее выполняется неравенство img, справедливое для всех img, и, таким образом, окончательно имеем:

img.

Так какimg сходится, то для любого положительного числа img найдется номер img, такой что для всех номеров img выполняется неравенство:

img.

Тогда для всех номеров img выполняется неравенство:

img,

то есть при img 

img.

Следовательно, приimg получаем из (9):

img.

Теорема доказана.

4. Заключение

В данной статье были получены рекуррентные соотношения, связывающие сингулярные меры, порожденные простой однородной марковской цепью.

Как известно, марковские цепи имеют широкое применение в различных областях науки. Используя полученные в данной статье результаты, можно продолжить изучение сингулярных мер, порожденных простой однородной марковской цепью, что поможет как в дальнейшем исследовании подобных мер, так и в возможном практическом применении полученных результатов.

марковской цепью, что поможет как в дальнейшем исследовании подобных мер, так и в возможном практическом применении полученных результатов.

Article metrics

Views:135
Downloads:7
Views
Total:
Views:135