Mathematical model of single-rotor helicopter motion

Вертолеты - интенсивно развивающаяся и востребованная ветвь развития современных летательных аппаратов. Наибольшее распространение в отечественном и мировом вертолетостроении получила одновинтовая схема вертолета с рулевым винтом, отличающаяся сравнительной простотой конструкции и наиболее совершенными аэродинамическими характеристиками, благодаря использованию изолированного несущего винта. Управление углом рыскания в вертолетах рассматриваемого типа осуществляется не за счет управления рулевым винтом, а управлением углами тангажа и крена, а также высотой полета за счет управления основным винтом [1]. Примерами такого типа вертолета являются, например, отечественные многоцелевые Ми-8, Ми-17.

Вертолет по своей природе является неустойчивым летательным аппаратом, поэтому в управлении этим ЛА первостепенную роль играет автопилот. При выполнении полетов с включенным автопилотом техника пилотирования вертолета существенно упрощается, отпадает необходимость двойных движений ручкой управления, разгружается внимание пилота, уменьшается его физическое и эмоциональное напряжение. Повышение эффективности действий экипажа, и автоматизация его работы важны в сложных погодных условиях, напряженной боевой обстановке, при перемещении груза на внешней подвеске и т.д. Особую актуальность приобретают исследования в этом направлении в связи с бурным развитием беспилотных летательных аппаратов, в т.ч. вертолетной схемы. Синтез законов автоматического управления полетом вертолета - первый и один из основных этапов создания автопилотов.

На сегодняшний день во многих странах мира, в том числе и в России, эксплуатируется большое число вертолетов марок МИЛЬ и КАМОВ, на которых установлены, в основном, автопилоты типа АП-34Б и ВУАП-1, не соответствующие требованиям, современным задачам и условиям применения вертолетной техники. Работы по созданию новых и модернизированных образцов вертолетов неизбежно ставят вопрос и о разработке пилотажных комплексов нового поколения. Такими, например, являются пилотажные комплексы серии ПКВ, разработанные ОАО «Конструкторское бюро промышленной автоматики» (г. Саратов). Эти комплексы предназначены для повышения устойчивости и безопасности пилотирования вертолетов различного назначения, улучшения управляемости при ручном, автоматическом, директорном и комбинированном способах управления во всех ожидаемых условиях эксплуатации по правилам визуальных полетов и по правилам полетов по приборам.

Актуальность темы исследования обусловлена тем, что потеря управляемости в полёте продолжает составлять значительный процент среди причин авиационных происшествий. Использование новых методов анализа динамических систем является одним из способов решения задачи улучшения характеристик управляемости воздушных судов.

При создании математической модели любого объекта необходимо соблюдать основные принципы математического моделирования, а сама математическая модель должна включать в себя ряд необходимых элементов [2], [3], [4], [5]. При моделировании полета летательных аппаратов различного типа к числу главных принципов необходимо отнести адекватность и состоятельность получаемых результатов, а для этого необходимо четко представлять условия применимости данной математической модели. При построении математической модели нужно опираться на фундаментальные законы и закономерности. В итоге можно выделить основные составляющие элементы, необходимые для составления математической модели, а именно: основные допущения и математическое описание, состоящее из уравнений движения, уравнений связей, числовых и функциональных характеристик ЛА и его систем управления.

При построении имитационной модели полета вертолета за основу берутся уравнения движения летательного аппарата как свободного твердого тела. Для одновинтового вертолета уравнения движения в наиболее общем виде могут быть записаны как [6], [7]:

(1)

Спроецируем первое уравнение системы (1) на оси связанной системы координат и получим уравнение, описывающее поступательное движение центра масс летательного аппарата.

(2)

С учетом упрощений [6] уравнения вращения летательного аппарата относительно его центра масс могут быть записаны в виде:

(3)

Для описания динамики вращения вала несущего винта систему уравнений (3) необходимо дополнить следующим уравнением:

(4)

Совместно с уравнениями (1) - (3) рассматриваем кинематические связи [6] производных по времени углов Эйлера и составляющих угловых скоростей вращения вертолета в связанной системе координат:

(5)

Для двухдвигательного вертолета представим величину располагаемого крутящего момента на валу несущего винта, входящую в уравнение (4), в следующем виде:

(6)

Правые части уравнений движения одновинтового вертолета (2) - (3) имеют следующий вид:

- аэродинамические и массовые силы, действующие на летательный аппарат:

(7)

- аэродинамические и инерционные моменты, действующие на летательный аппарат:

(8)

Чтобы знать траекторию движения летательного аппарата необходимо знать его координаты в земной системе координат [6], [7]. В связи с этим, полученную систему уравнений нужно дополнить уравнениями:

(9)

Основные условные обозначения, используемые при построении имитационной модели полета вертолета: – составляющие вектора путевой скорости вертолета в связной системе координат; – аэродинамические силы несущего винта; – аэродинамические силы планера вертолета в связной системе координат;  – угол заклинивания вала несущего винта; – сила тяги рулевого винта; – геометрические параметры, определяющие положение рулевого винта относительно центра масс вертолета; – аэродинамические моменты несущего винта в связной системе координат; – аэродинамические моменты планера вертолета в связной системе координат;  – крутящий момент несущего винта; – располагаемые мощности правого и левого двигателей; – коэффициент потерь мощности силовой установки, потери мощности на привод агрегатов; – углы рыскания, тангажа и крена вертолета; – частота вращения несущего винта; – моменты инерции вертолета относительно связной системы координат; – координаты центра масс вертолета в земной системе координат; – составляющие вектора путевой скорости вертолета в земной системе координат.

Система уравнений движения летательного аппарата (2) - (9) в общем случае связывает 15 переменных: десять фазовых координат и пять параметров управления. С учетом имеющихся начальных условий и законов управления летательным аппаратом, система уравнений (2) - (9) имеет одно единственное решение, а летательный аппарат - однозначную траекторию в пространстве.

Указанная система уравнений составлена с учетом следующих допущений:

1. Вертолет с одним несущим и одним рулевым винтом рассматривается как абсолютно твердое тело.

2. Сложная динамика несущего винта заменяется равнодействующей силой. При этом предполагается, что маховое движение лопастей изменяется мгновенно при изменениях параметров движения вертолёта (скорость, угол атаки, угловая скорость) и углов общего и циклического шага лопастей.

3. Груз со стропами (невесомыми, нерастяжимыми и неосвобождаемыми) рассматривается как абсолютно твердое тело.

4. Груз к вертолету подвешивается с помощью единственного троса, который рассматривается невесомым, нерастяжимым и неосвобождаемым. Крепление груза к вертолету производится в одной точке и в одной точке к связке строп с помощью идеального сферического шарнира. Такой способ крепления позволяет рассматривать взаимодействие вертолета с грузом в виде единственной силы натяжения троса.

5. Считается, что аэродинамические характеристики вертолета, характеристики его систем управления, силовые и моментные характеристики его винтов заданы разработчиком.

6. Аэродинамические характеристики груза считаются известными.

7. Нестационарные аэродинамические эффекты не учитываются.

8. Масса и моменты инерции вертолета и груза в рассматриваемых интервалах времени остаются заданными и постоянными.

В процессе численного интегрирования уравнений движения вертолета (2) - (9) и определении величин аэродинамических сил и моментов несущего и рулевого винтов необходимо вычислять аэродинамические коэффициенты винтов, индуктивные скорости, коэффициенты махового движения лопастей и т.д.

В процессе проектирования летательных аппаратов и разработки систем управления используются модели движения ЛА различной сложности. На начальных этапах исследования динамики полёта применяются упрощённые модели, в которых прибегают к рассмотрению движения летательного аппарата только в одной плоскости, а также производится линеаризация нелинейных уравнений относительно заданного (программного) движения.

Уравнения движения (2) – (9) описывают пространственное движение ЛА при закреплённых органах управления и представляют собой нелинейную систему дифференциальных уравнений. Как известно, она не имеет точного аналитического решения и может быть решена при помощи численного интегрирования.

Однако на практике можно получить приемлемые результаты, используя упрощённые математические модели движения. Основными методами упрощения являются:

- разделение общего движения ЛА на движение центра масс и вращательное движение относительно центра масс;

- разделение общего движения ЛА на продольное и боковое;

- линеаризация уравнений.

Основным допущением, которое используется при выводе и использовании упрощенных уравнений движения летательного аппарата вертолётного типа, является допущение о замене сложной динамики несущего винта равнодействующей силой. При этом считается, что маховое движение лопастей изменяется мгновенно при изменениях параметров движения вертолёта (скорость, угол атаки, угловая скорость) и углов общего и циклического шага лопастей. Как правило, при таком рассмотрении не учитывают связи между продольным и боковым движениями, и эти движения рассматриваются отдельно [8], [9], [10].

В работе разработан математический аппарат, предназначенный для исследования динамики, в частности, устойчивости и управляемости, воздушного судна вертолетного типа.