ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМЫ, БЛИЗКОЙ К ГАРМОНИЧЕКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ, МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Научная статья

Антоновская О.Г.^1, *, Бесклубная А.В.²

¹ ORCID: 0000-0002-5688-7996;

^{1, 2} Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия

* Корреспондирующий автор (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Аннотация

Теория нелинейных колебаний является одной из важнейших составляющих современной науки. Нелинейными колебаниями принято называть колебательные явления, возникающие в нелинейных динамических системах. Наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью, для которых разработаны различные асимптотические методы. Причем до сих пор особый интерес представляет изучение нелинейных систем, близких к гармоническому осциллятору. В настоящей работе рассматривается возможность исследования методом приближенных точечных отображений близкой к гармоническому осциллятору системы, оба уравнения которой содержат нелинейные члены. Приводятся явно заданные функции последования точечного отображения, при построении которого используются асимптотические методы, а также результаты их изучения.

Ключевые слова: нелинейная колебательная система, фазовое пространство, синхронизация, гармонический осциллятор, малый параметр, асимптотические методы исследования, метод точечных отображений.

ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING

Research article

Antonovskaya O.G.^1, *, Besklubnaya A.V.²

¹ ORCID: 0000-0002-5688-7996;

^{1, 2} Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia

* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Abstract

The theory of nonlinear oscillations is one of the most important components of modern science. Nonlinear oscillation is a term usually applied to oscillatory phenomena that occur in nonlinear dynamical systems. The most accessible for research are oscillatory systems with low nonlinearity, for which various asymptotic methods have been developed. Moreover, the study of nonlinear systems close to a harmonic oscillator is still of particular interest. The current study assesses the possibility of studying a system close to harmonic oscillators by via approximate point mapping, both equations of which contain nonlinear terms. The article provides explicitly defined functions of the sequence of a point map, in the construction of which asymptotic methods are used, as well as the results of their analysis.

Keywords: nonlinear oscillatory system, phase space, synchronization, harmonic oscillator, small parameter, asymptotic research methods, point mapping method.

Теория колебаний занимается изучением общих закономерностей, а также разработкой методов исследования колебательных процессов. А поскольку как качественное, так и количественное, изучение всякой реальной системы требует ее математического описания, можно утверждать [1], [2], что теория колебаний занимается составлением и исследованием математических моделей динамики систем различной физической природы. Основываясь на анализе моделей, теория колебаний устанавливает общие свойства колебательных процессов в системах. Причем математическая модель в теории колебаний играет двоякую роль: с одной стороны это идеализированное описание различных динамических систем, с другой – модель, отображающая различные колебательные явления. А принимаемые идеализации для одних и тех же систем могут быть различными в зависимости от особенностей решаемых задач [2, С. 9-10]. То есть характер идеализаций, допустимых при рассмотрении той или иной задачи, определяется задачей в целом и зависит не только от свойств рассматриваемой системы, но от того, ответы на какие вопросы желательно получить [1, С. 16]. И допустимость той или иной идеализации зависит от количественных соотношений, характеризующих ту или иную задачу [1, С. 17]. Только совпадение или несовпадение свойств, получаемых для математической модели, и свойств реальной системы позволяет сделать вывод о необходимости учета каких-то дополнительных факторов при исследовании. К настоящему времени теория нелинейных колебаний нашла свое применение не только в механике, физике технике, но и таких менее традиционных науках, как химия, биология, экономика и др. [1].

К сожалению математически модели реальных динамических систем могут быть достаточно сложными для исследования, таким образом часто ставится задача их упрощения, приближенного аналитического исследования всеми доступными методами, и, в конечном итоге, методами численными, поскольку их точное аналитическое исследование не всегда возможно..

Известно [1], [3], что теория линейных колебаний разработана достаточно детально, поэтому часто при исследовании нелинейных колебательных процессов применялись линейные схемы, не учитывающие собственно нелинейность. Однако такой подход может привести к определенным не только количественным, но и качественным ошибкам [2, С. 13]. То есть требуется непременно рассматривать систему как нелинейную [1, С. 28]. Причем в рамки линейной теории как правило не укладываются те явления, которые являются наиболее интересными [1, С. 10]. Изучение поведения нелинейных систем является задачей более сложной, чем изучение линейных систем, потому что это более глубокое изучение колебательных процессов.

В идеале при рассмотрении конкретной системы требуется полное (качественное и количественное) исследование, т.е. нахождение всех возможных периодических решений и состояний равновесия, исследование их устойчивости и зависимости от параметров системы. К настоящему времени разработан математический аппарат для исследования если и не любых нелинейных колебаний, то уж точно колебаний достаточно близких к линейным [2]. Достаточно близкими к линейным обычно называют колебания, уравнения математической модели для которых содержат некоторый параметр, входящий в них так, что если он обращается в ноль, система становится линейной. При этом предполагается, что этот параметр принимает малые по абсолютной величине значения (малый параметр). Для исследования таких колебаний традиционно используют прежде всего асимптотические методы такие, как метод возмущений [2, С. 13], метод Ван-дер-Поля (или «метод медленно меняющихся амплитуд») [1, С. 653], [2, С. 371] и т.д. Применение асимптотических методов позволяет упростить уравнения модели, сохраняя при этом хорошую точность. Однако следует учитывать и тот факт, что существенное свойство таких методов – ограничения по их применению и ограниченная точность.

В настоящей работе методом приближенных точечных отображений исследуется система, близкая к гармоническому осциллятору [1, С. 378]. В методике построения приближенного точечного отображения [4], [6], [7], описывающего поведение системы, используется сочетание метода последовательных приближений и метода точечных отображений [8]. Собственно, вопрос о применении асимптотических методов для получения точечного отображения ставился уже давно [8, С. 205-210]. Метод, применяемый в настоящей работе, ранее достаточно успешно применялся для исследования квазигармонического осциллятора [4], [5], [7]. Исследуемая ниже система имеет ту особенность, что ее математическая модель не получена из уравнения квазигармонического осциллятора, то есть нелинейные члены присутствуют в обоих уравнениях системы. Вообще метод точечных отображений может быть применен ко многим проблемам нелинейных колебаний [1], поскольку, как известно, структура динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ей на секущей поверхности точечного отображения [8, С. 187-188]. При использовании этой методики для изучения конкретных динамических систем существенную роль играет выбор способа построения точечного отображения. В частности, согласно методу точечных отображений, вопрос о существовании у системы -периодического решения может быть выяснен через изучение вопроса о существовании неподвижной точки у точечного отображения T, порождаемого фазовыми траекториями системы на секущей поверхности  (или отображение сдвига  для изучаемой системы). А поскольку система является близкой к гармоническому осциллятору, то точечное отображение T есть близкое к тождественному точечное отображение [8, С. 210-223]. В настоящей работе вместо отображения  вводится в рассмотрение отображение, которое с точностью до  (где μ - малый параметр) может рассматриваться как отображение сдвига  для системы и имеет явно заданные функции последования. То есть задача отыскания периодического решения системы сводится к значительно более простой задаче. Обсуждается вопрос о возможности практического применения результатов приближенного исследования.

Будем рассматривать систему дифференциальных уравнений

   (1)

где  - малый параметр. Необходимо определить условия существования у системы (1) -периодического решения. Для построения приближенного точечного отображения, подобно [4], [5, С. 5-6], воспользуемся заменой    (2) приводящей (1) к виду системы для «медленно меняющихся амплитуд» [1, С. 653-655]     (3) откуда как в [4], [5, С.5-6], учитывая, что  получаем точечное отображение  Здесь . Отображение  с точностью до членов порядка  приближает точечное отображение T, порождаемое траекторией системы (1) на секущей поверхности [9]. А периодическим решениям системы (1) соответствуют неподвижные точки такого отображения. Условия существования  неподвижной точки точечного отображения (4)–(5) дают соотношения     (6) где  находится из уравнения     (7)

То есть факт существования (6) неподвижных точек  определяется фактом существования корней  у (7).

Заметим, что уравнение (7), имеет единственный корень  при любых значениях параметра ξ. Причем при . Т.е. резонансная кривая является разомкнутой для любого A (рисунок 1). Наибольшее значение p соответствует , причем

Исследования устойчивости неподвижных точек точечного отображения  тесно связано с вопросами расположения корней характеристического полинома [10]

   (8)

по отношению к единичному кругу . Пара действительных корней полинома P(z) (8) соответствует значения параметров , корни являются комплексно-сопряженными при . Отсюда следует вывод о том, что граница , соответствующая уходу пары корней характеристического полинома с действительной оси в этом случае будет иметь вид двух полупрямых

   (9)

Характер устойчивости неподвижной точки (6) определяется бифуркациями корней характеристического уравнения относительно условия , т.е. меняется при переходе корня характеристического полинома через одно из значений:  а также пары комплексно-сопряженных корней через значения

В результате, границе  соответствует уравнение

   (10)

которому отвечает единственная точка плоскости параметров, а именно .

Рис.1 – Вид резонансных кривых

  Аналогично, границе  в предположении, что , соответствует уравнение    (11) поэтому его канонический вид определяет кривую второго порядка, которая является эллипсом с центром в точке  и главными диаметрами , целиком лежащим в области . Границе  отвечает уравнение    (12)

Уравнение  есть уравнение эллипса, т.е. эта граница представляет собой куски эллипса с центром в точке    и главными диаметрами , принадлежащие области . Границы  стыкуются в точках с.

Взаимное расположение границ  (10)–(12) приведено на рисунке 2. В результате получаем картину D-разбиения при малых μ. Границы D-разбиения приведены с соответствующей штриховкой в сторону выхода корней характеристического уравнения из единичного круга. В случае бифуркации корней на действительной оси имеем однократную штриховку, в случае бифуркации комплексно-сопряженных корней – двойную штриховку. При этом область D=0 есть область устойчивости (в случае D=1 один из корней имеет модуль, больший единицы, в случае D=2 – имеется два таких корня).

Рис. 2 – Примерный вид границ D-разбиения

 

Если будем исследовать зависимость уравнений границ  от малого параметра, можно увидеть, что область устойчивости является ограниченной при любом конечном, хотя и малом μ, но все более расширяется при . Вопрос о существовании неподвижных точек точечного отображения  с некоторым характером устойчивости при A=const и различных ξ (а значит, предположительно, -периодического решения исходной системы с тем или иным характером устойчивости) решается наложением картины поведения границ области устойчивости на плоскости ξ, p при заданном μ на плоскость с резонансной кривой при заданном A (см. рисунок 3).

Помимо этого отметим, что устойчивый режим, в случае его существования, имеет в фазовом пространстве отображения  ограниченную область притяжения, расширяющуюся при . Устойчивость бесконечности в этом случае можно доказать с использованием методики, предложенной в работе [11].

Рис. 3 – Взаимное расположение резонансных кривых и границ области устойчивости при 

 

Выберем простейшую функцию Ляпунова

   (13)

Первая разность (13) на произвольном сечении  в силу (4) –(5) будет удовлетворять условию

    (14)

где

    (15)

При любом конечном, хотя и малом, значении μ определяющим членом  является  (15). То есть величина первой разности  на сечении  становится положительной при увеличении , где

   (16)

А значит, бесконечность в приближенной модели устойчива.

В заключение отметим, что метод приближенных точечных отображений, примененный для решения задачи о существовании у системы, близкой к гармоническому осциллятору периодических решений, является методом асимптотическим. То есть для применения этого метода требуется иметь хотя бы некоторое представление о степени его точности и пределах применимости, а именно: асимптотическое решение задачи должно оказаться близким к его точному решению. А значит, требуется обоснование метода приближенных точечных отображений, как, собственно, и обоснование применимости любых асимптотических методов [2, C. 451-520], [8, C. 213-218], [12, C. 35-51]. Вопрос об обосновании метода приближенных точечных отображений как асимптотического метода дается в работах [5, С. 81–88], [13]. Как правило, оценка требуемой малости параметра при обосновании асимптотических методов представляет собой трудную и неблагодарную задачу [8, С. 207], поскольку эти оценки слишком грубы и не дают оснований к практическому применению. Скажем, в [8, C. 205-206] рассматривалась возможность применения метода малого параметра для решения подобных задач, связанный однако с требованием сходимости рядов. Применение же метода последовательных приближений [8, С. 207-210], основанного на принципе сжимающих отображений, позволяет, как это сделано в работах [5, С. 123–135], оценить значения малого параметра, при которых выводы, сделанные на основании результатов приближенного исследования, применимы на практике, и прежде всего – как основа для дальнейшего изучения исходной системы, в том числе и численными методами, поскольку применение численных методов имеет смысл при наличии некоторых результатов предварительного теоретического исследования.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Физматгиз, 1959. – 916 с.
2. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. – М.: Наука, 1984. – 432 с.
3. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. – М.: Наука, 1974. – 504 с.
4. Антоновская О. Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 1999. – № 2(21). – С. 198–208.
5. Антоновская О. Г. Метод точечных отображений в задачах нелинейной динамики / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов. – Гамбург: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 с.
6. Антоновская О. Г. Об одном случае исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская, М. Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. – 2018. – № 8(74). – С. 7–14.
7. Антоновская О. Г. К исследованию квазигармонического осциллятора с нелинейностью, обладающей насыщением / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Международный научно-исследовательский журнал. – 2020. – № 2(92). – С. 10 –18.
8. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. / Ю. И. Неймарк. – М.: Наука, 1972. – 472 с.
9. Антоновская О. Г. Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений при учете неизохронности процессов в динамике систем ИФАПЧ / О. Г. Антоновская // Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2013. – № 5(1). – С. 210–212.
10. Неймарк Ю. И. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний II / Ю. И. Неймарк // Изв. вузов: Радиофизика. – 1958. – Т. 1. – № 2. – С. 95-117.
11. Антоновская О. Г. О влиянии характера нелинейности на результаты исследования синхронизации квазигармонического осциллятора методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Международный научно-исследовательский журнал. – 2021. – № 1(103). – Часть 1. – С. 22-29.
12. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский – Киев: Наукова думка, 1971. – 440 с.
13. Антоновская О. Г. О приближенном исследовании близкого к тождественному точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2004. – № 1(27). – С. 63–69.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Andronov A. A. Teoriya kolebaniy [Vibrations theory] / A. A. Andronov, A. A. Vitt, S. Yu. Haykin. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 916 p. [in Russian]
2. Rabinovitch M. I. Vvedeniye v teoriyu kolebaniy I voln [Introduction into the theory of vibrations and waves] / M. I. Rabinovitch, D. I. Trubetskov. – M.: Nauka, 1984. – 432 p. [in Russian]
3. Bogolyubov N. N. Asimptotichesiye metody v teorii nelineynyh kolebaniy [Asymptotic methods in nonlinear vibrations theory] / N. N. Bogolyubov, Yu. A. Mitropolskiy – M.: Nauka, 1974. – 504 p. [in Russian]
4. Antonovskaya O. G. O vliyanii nasysheniya nelineynosti na resultaty issledovaniya prinuditelnoy sinkhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the influence of nonlinearity saturation on the results of the forced synchronization received by means of approximate point mappings method] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 1999. – № 2(21). – P. 198–208. [in Russian]
5. Antonovskaya O. G. Metod tochechnykh otobrazheniy v zadachakh nelineynoy dinamiki [Point mappings method in non-linear dynamics problems]/ O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov. – GmbH: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 p. [in Russian]
6. Antonovskaya O. G. Ob odnom sluchae issledovaniya prinuditelnoy sinhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [Investigation of forced synchronization by the method of approximate point mappings] / O. G. Antonovskaya, M. N. Zaytseva // International research journal – 2018. – № 8(74). – P. 7–14. [in Russian]
7. Antonovskaya O. G. K issledovaniyu kvazigarmonicheskogo oscilliatora s nelineynost’u, obladayushey nasysheniyem [On study of quasiharmonic oscillator with nonlinearity and saturation] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // International research journal – 2020. – № 2 (92). – P. 10–18. [in Russian]
8. Neymark Yu. I. Metod tochechnykh otobrazheniy v teriyi nelineynykh kolebaniy [Point mappings method in non-linear vibrations theory] / Yu. I. Neymark. – M.: Nauka, 1972. – 472 p. [in Russian]
9. Antonovskaya O. G. Metod posledovatel’nykh priblizheniy v otsenke blizosti priblizhennogo I tochnogo tochechnykh otobrazheniy pri uchete neizokhronnosti protsessov v dinamike sistemy IFAPCH [Successive approximation technique in proximity evaluation for exact and approximate point mappings, taking into account non-isochronism in pulsed phase-locked loop system dynamics] / O. G. Antonovskaya // Vestnik NNGU [NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2013. – № 5(1). – P. 210–212. [in Russian]
10. Neymark Yu. I. Metod tochechnykh preobrazovaniy v teriyi nelineynykh kolebaniy II [Point mappings method in non-linear vibrations theory. II] / Yu. I. Neymark.Неймарк // Izv. Vuzov. Radiofizika. [Proceedings of higher institutions. Radio-physics] – 1958. – V. 1. – № 2. – P. 95-117. [in Russian]
11. Antonovskaya O. G. O vliyanii charaktera nelineynosti na rezuliaiy issledovaniya sinchronizatsii kvazigarmonicheskogo oscilliatora metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the effect of nonlinearity types con the results studing the synchronization of quasi-harmonic oscillator via approximate point mapping] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // International research journal – 2021. – № 1(103). – Part 1. – P. 22–29. [in Russian]
12. Mitropolskiy Yu. A. Metod usredneniya v nelineynoy mechanike [Averaging method in nonlinear mechanics] / Yu. A. Mitropolskiy – M.: Naukova dumka, 1971. – 440 p. [in Russian]
13. Antonovskaya O. G. O priblizhennom issledovanii blizkogo k tozhdestvennomu tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost [On the approximate study of close to identical point mapping plain to plain] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2004. – № 1(27). – P. 63–69. [in Russian]