DETERMINISTIC FRACTALS BASED ON CANTOR’S MULTITUDE AND ITERATIVE SUCCESSIVE OF POINTS IN 2D SPACE

Иванов В.В.

Кандидат химических наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ НА ОСНОВЕ КАНТОРОВА МНОЖЕСТВА И ИТЕРАЦИОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК В 2D ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация

Обсуждается возможность формирования детерминистических фрактальных структур на основе канторова множества и итерационной последовательности точек в 2D пространстве.

Ключевые слова: канторово множество, итерационная последовательность, детерминистическая фрактальная структура.

Ivanov V.V.

PhD in Chemistry, associate professor, South-Russian state Еngineering University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

DETERMINISTIC FRACTALS BASED ON CANTOR’S MULTITUDE AND ITERATIVE SUCCESSIVE OF POINTS IN 2D SPACE

Abstract

The possibility of the formation of deterministic fractal structure based on Cantor’s multitude and iterative successive of points in 2D space was discussed.

Keywords: Cantor’s multitude, iterative successive, deterministic fractal structure.

В [1-9] представлены основы модулярного дизайна детерминистических фрактальных структур (точечных и точечно-линейчатых) в структурированном 2D пространстве. В частности, установлена возможность формирования инъективным способом точечных фракталов на основе канторова множества точек CM(1/3) и итерационной последовательности точек IC(1/2) в единичной ячейке [0…1; 0…1] 2D пространства (рис.1) [8]. Будем учитывать, что начиная со 2-го поколения все предфракталы фрактала IC(1/2) заданные на единичном интервале [0…1] каждого из 1D подпространств, являются асимметричными (рис.1, 1б). Тогда возможные варианты их совместной реализации в квадратной ячейке 2D пространства с симметричным фракталом CM(1/3) (рис.1, 1а) будут отличаться как по конфигурации точек и симметрии (рис.2), так и по своим структурным кодам (табл.1)

Рис.1 - Предфракталы 5-го поколения канторова множества CM(1/3) (1а) и итерационной последовательности точек IC(1/2) (1б), возможные на их основе предфракталы 4-го поколения в квадратной ячейке 2D пространства (2, а и б) и их графические изображения с указанием точечной группы симметрии G²₀ .

Локальные размерности фракталов, изображенных на рис.1 (2а и 2б) могут быть определены соответственно:

Dim CM² = 2 Dim (GenCM(1/3)) = 1,262,

Dim IC² = 2 Dim (Gen IC(1/2)) = 1,000.

При формировании детерминистической фрактальной структуры на квадратной сетке путем вложения в ее ячейки определенных фракталов будем принимать во внимание только самые симметричные структуры с минимальными периодами идентичности в двух независимых направлениях, т.е с минимальными параметрами элементарной ячейки. Изображения некоторых высоко симметричных детерминистических структур представлены на рис.2.

Рис.2 - Предфрактал 2-го поколения канторова множества точек (1), возможные на его основе предфракталы 2-го поколения в квадратной ячейке 2D пространства (2-11) и их маркированные графические изображения с указанием точечной группы симметрии G²₀.

Структуры полученных детерминистических фракталов описываются пятью плоскими группами, принадлежащими к двум двумерным группам Браве: квадратной (p4gm, p4mm, p4) и примитивной ромбической (pmm2, pm). Один из асимметричных точечных фракталов с кодом 1121 (G²₀ = 1) может быть использован для получения множества невырожденных модулярных детерминистических фрактальных структур – политипов с примитивными ромбическими ячейками. Это означает возможность получения структур, состоящих из одних и тех же модулей-фракталов с кодом 1121, но отличающихся друг от друга ориентационным и позиционным упорядочением в 2D пространстве. Отметим, что глобальная размерность всех полученных выше детерминистических фрактальных структур совпадает с размерностью пространства.

Таблица 1 - Коды, симметрия и размерность детерминистических фракталов на основе канторова множества и итерационной последовательности точек в 2D пространстве

№/№ п/п	Код фрактала	Локальная симметрия фрактала	DimL	Площадь элементарной ячейки	Симметрия детерминистической структуры, G22	DimG
1	2222	4mm	1,262	1	p4gm	2
2	1222	1	1,197	2	pmm2	2
3	1212	m	1,131	4	p4mm	2
4	2022	m	1,131	4	pmm2	2
5	1122	1	1,131	4	p4	2
6	2121	2	1,131	2	pmm2	2
7	2211	m	1,131	1	pm	2
8	1121	1	1,066	4	pm	2
9	1211	1	1,066	2	pm	2
10	0121	1	1,066	2	pmm2	2
11	0212	1	1,066	4	pm	2

Полученные результаты использованы при объяснении некоторых физико-химических свойств шпинелей на основе оксидов переходных металлов [10-13], эффекта синергизма антифрикционных свойств компонентов композитов [14-16].

Литература

1. Иванов В.В., Таланов В.М. Принципы модулярного строения регулярных фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №3. – С.56-57.

2. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн фрактальных структур в двумерном пространстве // Междунар. журн. эксп. образования, 2010. - №11. - С.153-155.

3. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2011. - Т.2. - № 3. - С.121-134.

4. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Эволюционная модель формирования и анализ детерминистических фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №4. – С.230-232.

5. Иванов В.В. Общая характеристика возможных гибридных мономодулярных фрактальных структур// Соврем. наукоемкие технологии. 2013.- №.5. – С.29-31.

6. Иванов В.В. Формирование фрактальных структур на основе итерационной последовательности и канторова множества точек с заданными характеристиками в 1D пространстве // Успехи соврем. естествознания, 2013. - №8. – С.136-137.

7. Иванов В.В. Описание и классификация точечных мономодулярных фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2013. - №8. – С.134-135.

8. Иванов В.В. Анализ возможности получения новых точечных и квазиточечных фрактальных структур на основе итерационной последовательности и канторова множества точек // Успехи соврем. естествознания, 2013. - №8. – С.129-130.

9. Иванов В.В. Формирование и символьное описание детерминистических гибридных фрактальных структур в 2D пространстве // Современные наукоемкие технологии. 2013. - №.9 – С.89-93.

10. Иванов В.В., Ульянов А.К., Шабельская Н.П. Ферриты-хромиты переходных элементов: синтез, структура, свойства: монография. – М.: Издательский дом Академия Естествознания, 2013 – 94 с.

11. Иванов В.В. Комбинаторное моделирование вероятных структур неорганических веществ. – Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2003. – 204 с.

12. Bespalova Zh.I., Ivanov V.V., Smirnitskaya I.V., et al. Fabrication of a titanium anode with an active coating based on mixed oxides of base metals // Rus. J. Appl. Chem., 2010. - Т.83. - N.2. – С.242-246.

13. Ivanov V.V., Bespalova Zh.I., Smirnitskaya I.V., et al. Study of the composition of titanium anode with electrocatalytic coat based on cobalt, manganese, and nickel oxides // Rus. J. Appl. Chem., 2010. - Т.83. - N.5. – С.831-834.

14. Ivanov V.V., Balakai V.I., Ivanov A.V., Arzumanova A.V. Synergism in composite electrolytic nickel-boron-fluoroplastic coatings // Rus. J. Appl. Chem., 2006. - Т.79. - №4. - С.610-613.

15. Ivanov V.V., Balakai V.I., Kurnakova N.Yu. et al. Synergetic effect in nickel-teflon composite electrolytic coatings // Rus. J. Appl. Chem., 2008. - Т.81. - № 12. - С.2169-2171.

16. Balakai V.I., Ivanov V.V., Balakai I.V., Arzumanova A.V. Analysis of the phase disorder in electroplated nickel-boron coatings // Rus. J. Appl. Chem., 2009. - Т.82. - №.5. - С.851-856.