ON THE DIAGONALIZABILITY CONDITIONS OF A PERTURBED DIFFERENCE OPERATOR IN SOME SPACES

ОБ УСЛОВИЯХ ДИАГОНАЛИЗУЕМОСТИ ВОЗМУЩЕННОГО РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Научная статья

Гаркавенко Г.В.^1, *, Ускова Н.Б.²

¹ ORCID: 0000-0002-5220-5775;

² ORCID: 0000-0002-9212-8786;

¹ Воронежский государственный педагогический университет, Воронеж, Россия;

² Воронежский государственный технический университет, Воронеж, Россия

* Корреспондирующий автор (g.garkavenko[at]mail.ru)

Аннотация

В работе, с применением метода подобных операторов, получены условия приведения матрицы разностного оператора вида  к диагональному или блочно-диагональному виду в стандартном базисе пространства  и оценены его спектральные характеристики. В работе приводятся основные определения используемого метода. В соответствии с методом подобных операторов оператор A представляется в виде , где матрица оператор  имеет диагональную структуру, а B – оператор возмущения. Рассматриваются условия на оператор возмущения B в случаях, когда этот оператор принадлежит трем различным пространствам. Также получены асимптотическое представление собственных значений, оценки собственных векторов и элементов матриц спектральных проекторов.

Ключевые слова: метод подобных операторов, разностный оператор, собственные значения, спектральные проекторы.

ON THE DIAGONALIZABILITY CONDITIONS OF A PERTURBED DIFFERENCE OPERATOR IN SOME SPACES

Research article

Garkavenko G.V.^1, *, Uskova N.B.²

¹ ORCID: 0000-0002-5220-5775;

² ORCID: 0000-0002-9212-8786;

¹ Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, Russia;

² Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

* Corresponding author (g.garkavenko[at]mail.ru)

Abstract

The current paper uses the method of similar operators to obtain the conditions for reducing the matrix of a difference operator of the form  to a diagonal or block-diagonal form in the standard basis of space  and estimates its spectral characteristics. The paper presents the main definitions of the method used. In accordance with the method of such operators, the operator A is represented in the form  where the matrix operator  has a diagonal structure, and B is the perturbation operator. The conditions for the perturbation operator are considered in cases when this operator belongs to three different spaces. The asymptotic representation of eigenvalues, estimates of eigenvectors, and elements of matrices of spectral projectors are also obtained.

Keywords: method of similar operators, difference operator, eigenvalues, spectral projectors.

Введение

Как обычно, символом далее обозначена группа целых чисел, множество натуральных чисел, . Далее символом H обозначено гильбертово пространство, B(H) – банахова алгебра ( - алгебра), всех ограниченных линейных операторов, действующих в H. Норма в B(H) определяется формулой . Так же в статье используются стандартные обозначения  и свойства двустороннего идеала операторов Гильберта-Шмидта  из [1]. Норма в  определяется формулой . Здесь  след оператора , принадлежащего двустороннему идеалу  ядерных операторов из B(H) с нормой  – последовательность s-чисел оператора X. Формула  определяет скалярное произведение в .

Пусть   – система ортопроекторов из B(H), образующая разложение единицы, то есть обладающая свойствами: 1) . Тогда в  можно ввести эквивалентную норму по формуле .

Введем в рассмотрение гильбертово пространство  суммируемых с квадратом модуля комплексных последовательностей . Скалярное произведение в  задается формулой  и норма, порождаемая этим скалярным произведением, имеет вид . Векторы , такие, что  – символ Кронекера, образуют безусловный ортонормированный базис в .

В пространстве  рассмотрим оператор , действующий по формуле

где , и последовательности  суммируемы с квадратом.

В статье описываются условия приведения оператора A к диагональному (блочно-диагональному) виду в стандартном базисе пространства  и оценены его спектральные характеристики. Проблема диагонализуемости матриц важна при решении операторных уравнений.

Пусть рассматривается уравнение , если при этом матрица оператора E диагональна, то уравнение легко решается. В численных методах (см. например [2], [3]) для матриц конечной размерности одним из способов решения систем линейных алгебраических уравнений является приведение матрицы системы к диагональному виду. Отметим, что рассматриваемые операторы имеют бесконечные матрицы. Также заметим, что проблема диагонализации некоторых классов операторов обсуждалась в работах разных авторов, например, [4], [5], [6].

Оценка спектральных характеристик бесконечных матриц, и, в частности, собственных значений, также важна. В приложении к бесконечным трехдиагональным матрицам она рассматривалась в [7], [8], [9], [10], там же можно найти примеры применения полученных оценок. Отметим, что наш разностный оператор отличается от примеров из цитируемых выше работ. Более того, в [7] исследования проводились тем же методом, что и в данной работе, а в [8], [10] собственные значения бесконечных матриц приближались последовательностью собственных значений усеченных (конечных) матриц.

Для получения условий диагонализуемости рассматриваемого оператора применялся метод подобных операторов из работ [11], [15].

Рассматриваемый оператор представляет интерес в рамках исследования применимости метода подобные операторов. По нему строятся различные допустимые тройки (см. определение 2) и, соответственно, получается несколько условий, при выполнении которых возможна диагонализация (блочная диагонализация).

Отметим, что спектральные характеристики трехдиагональных матриц, соответствующих разностным операторам второго порядка с растущим потенциалом, исследовались в работах [16], [19], [21]. В данной работе, в отличие от работ [16], [19], [21], диагональные элементы «не разбегаются». Поэтому доказательства основных результатов из работ, цитируемых выше, в данном случае не проходят и при применении метода подобных операторов возникают определенные сложности. В [20], [21] к разностным операторам второго порядка с растущим потенциалом применяется теория расщепления линейных операторов. Важно также отметить, что для разностных операторов из [16], [19], [21] строились другие, отличные от конструируемых в данной работе, допустимые тройки или применялось предварительное преобразование подобия, чего нет в данном исследовании.

Методы и принципы исследования

Метод исследования оператора A - метод подобных операторов, имеет множество различных модификаций, что позволяет лучше учитывать специфические свойства изучаемого оператора и, в зависимости от этого, уточнять общие оценки. Мы будем использовать, в основном, модификацию, первоначально предложенную в [13] и окончательно оформившуюся в [22], [23]. Причем в [22] рассматривается более общий вариант этой модификации, а в [23] более конкретный, под который подходит оператор A. Также мы используем модификацию метода подобных операторов из [24], [25], связанную с оценкой элементов последовательностей  и приводящую к использованию интересного весового пространства операторов.

Отметим, что модификация метода подобных операторов из [22], [23], являющаяся основой данной работы, изначально разрабатывалась и использовалась в исследовании спектральных свойств возмущенных дифференциальных операторов первого порядка, в частности, оператора с инволюцией ([27], [32]), особенно популярного в последнее время в работах разных авторов, см., например, [33], [34], [35] и ссылки в них. Другие примеры применения указанной модификации метода подобных операторов, не связанные с операторами с инволюцией, можно посмотреть в [36].

О методе подобных операторов

В этом параграфе мы приведем некоторые определения и теоремы (без доказательства) метода подобных операторов, при этом мы будем опираться на работы [22], [23].

Определение 1. Два линейных оператора  называются подобными, если существует такой непрерывно обратимый оператор , что

Оператор U называется оператором преобразования оператора  в оператор .

Подобные операторы интересны тем, что, зная спектральные свойства одного оператора, мы знаем и спектральные свойства другого. Например, их спектры совпадают.

Далее в этом параграфе через  обозначен линейный замкнутый оператор, имеющий спектр  и непустое резольвентное множество . Оператор A далее играет роль невозмущенного оператора с известными спектральными свойствами. Возмутим оператор A оператором  и рассмотрим возмущенный оператор .

Для осуществления преобразования подобия необходимо выполнение ряда условий.

Определение 2. Пусть  банахово пространство со своей нормой  - трансформаторы (т. е. линейные операторы, действующие в пространстве операторов). Тройку  назовем допустимой тройкой для оператора A, а ℜ - допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1) J и Г непрерывные трансформаторы, причем J – проектор и ;

2)   и имеют место равенства , для любого , выполняемые на векторах из , причем  единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию ;

3) и существует  такая постоянная ,

что

4) ;

5) для любых , можно указать число , где I – тождественный оператор.

Отметим, что для одного невозмущенного оператора можно построить несколько разных допустимых троек. Мы построим три допустимые тройки.

Пусть  некоторая допустимая тройка для невозмущенного оператора A, будем искать оператор преобразования оператора , имеющий по сравнению с , более простую структуру, в виде .

Теорема 1. Пусть  допустимая для оператора A тройка и выполнено условие

   (1)

Тогда оператор  подобен оператору , т.е. имеет место равенство

    (2)

где  решение нелинейного операторного уравнения

    (3)

Это решение единственно в шаре  и оно может быть найдено методом простых итераций, полагая .

Если при этом JB=0  и выполнено условие

    (4)

тогда равенство (2) имеет место, если  есть решение нелинейного операторного уравнения

    (5)

Оно также может быть найдено методом простых итераций, при .

Построение допустимых троек

Представим первоначальный оператор A в виде , где . Оператор  – это оператор простой структуры, который рассматривается в качестве невозмущенного оператора. Оператор возмущения  определяется формулой , и является, во-первых, ограниченным оператором, а во-вторых, оператором их . Спектральные характеристики оператора  известны. А именно, числа вида  – его простые изолированные собственные значения, соответствующие собственные векторы – векторы стандартного базиса пространства , спектральные проекторы  действуют по формуле . Также обозначим .

Напомним следующие определения.

Определение 3. Оператор , называется нормальным, если для сопряженного оператора . Оператор  называется самосопряженным, если он нормальный и .

Оператор  является нормальным, в общем случае . Если , то оператор  является самосопряженным.

Сначала положим . Очевидно, что . Поэтому к разностному оператору   можно применить все выкладки из [22], [23], что мы и сделаем ниже.

Трансформаторы  , определяются для оператора , имеющего матрицу , через свои матрицы следующим образом

Отметим, что оператор  определяется формулой  и  формулой

Основные результаты

Из [22] немедленно следует теорема о диагонализации исходного оператора A.

Теорема 2. Пусть выполнено условие

тогда оператор  подобен оператору , имеющему диагональную матрицу в пространстве  решение нелинейного операторного уравнения (5). Преобразование подобия оператора A в оператор  осуществляет оператор

Теперь, следуя работам [22], [23], рассмотрим для ненулевого  двустороннюю последовательность вещественных чисел вида

Обозначим . Будем рассматривать некоторое подпространство операторов из , а именно, подпространство операторов , представимых в виде . Норма в  определяется формулой . Сразу же отметим, что так как , то трансформаторы . Причем они переводят .

Из [22], [23] следует теорема о блочной диагонализации оператора A.

Теорема 3. Можно найти такое , что оператор  подобен оператору  имеющему блочно-диагональную структуру, где . При этом оператор  такой, что  осуществляет преобразование подобия оператора A в оператор .

Рассмотрим еще одно подпространство операторов . Для его описания нам понадобятся две ненулевые последовательности чисел ,  из пространства . Оператор . Такое весовое пространство впервые было рассмотрено в работе [24], затем использовалось в работах [25], [37]. В [24] и [25] приводятся его свойства и показано, что оно является банаховым пространством с нормой . Далее считается выполненным следующее предположение.

Предположение 1. Последовательности  таковы, что ,  для некоторых ненулевых последовательностей положительных чисел .

В этом случае возмущение B принадлежит . Еще раз отметим, что, как и в предыдущем случае, так как  вложено в , то трансформаторы J и Г уже построены.

Применяя к возмущенному оператору  результаты, например из [37, теорема 1], получаем следующую теорему

Теорема 4. Пусть  и выполнено условие

тогда оператор  подобен оператору , имеющему диагональную матрицу, где  является решением нелинейного операторного уравнения (5). Преобразование подобия оператора A в оператор  осуществляет оператор .

Теперь поясним, зачем нужна диагонализация (блочная диагонализация) исходного оператора. Например, она необходима для оценки собственных значений и собственных векторов, и не только, мы просто приводим это как пример. Из теоремы 3 о блочной диагонализации немедленно следует

Теорема 5. Собственные значения оператора A имеют асимптотическое представление

где последовательность  принадлежит . Собственные векторы  удовлетворяют оценке   где последовательность  принадлежит   – стандартный базис в .

Преобразование подобия в весовых операторных пространствах полезно, например, для оценки матричных элементов спектральных проекторов возмущенных операторов. Из теоремы 4 о диагонализации получается следующий результат.

Теорема 6. Пусть оператор  подобен оператору . Тогда для спектральных проекторов возмущенного оператора   имеют место оценки матричных элементов

Заключение

В работе рассмотрен разностный оператор, матрица которого в стандартном базисе пространства  является трехдиагональной. Получены теоремы об условиях диагонализуемости такого оператора в различных пространствах при использовании метода подобных операторов. получены асимптотическое представление собственных значений, оценки собственных векторов и элементов матриц спектральных проекторов. 

Финансирование Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 19-01-00732).

Funding This article supported in by RFBR grant 19-01-00732.

 

Список литературы / References

1. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. Т.3. – М.: Мир, 1974.
2. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб,Ч. Ван Лоун. – М. Мир, 1999 – 548с.
3. Лебедев, В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика : учебное пособие. / В. И. Лебедев– 4-е изд. , перераб. и доп. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 296 с.
4. Скрынников А.В. О квазинильпотентном варианте метода Фридрихса в теории подобия линейных операторов / А.В. Скрынников // Функц. анализ и его прил. – 1983 – Т. 17. – №3 – С. 89 – 90.
5. Hinkkanen A. On the diagonalization of a certain class of operators / A. Hinkkanen // Michigan Math. J – 1985 32 – p.349 – 359
6. Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов / Г.В. Гаркавенко // изв. вузов. Матем. – 1994. – №11. – С. 14 – 19.
7. Бройтигам И.Н. Асимптотика собственных значений бесконечных блочных матриц / И.Н. Бройтигам, Д.М. Поляков // Уфимский матем. жур. – 2019. – Т. 11. – № 3. – C. 10-29.
8. Malejke M. Asymptotic behaviour and approximation of eigenvalues for unbounded block Jacobi matrices / M. Malejke // Opuscula Mathematica. – 2010. – V. 30. – №3 – P. 311 – 330.
9. Malejke M. Asymptoticsof large eigenvalues for some discrete unbounded Jacobi matrices / M. Malejke // Linear Algebra and its Applications. – 2009. – V. 431 – P. 1952 – 1970.
10. Malejke M. Eigenvalue for some complex infinite tridiagonal matrices / M. Malejke // Journal of Advances in Mathematics and Computer Science. – 2018. – V.26. – №5 – P. 1 – 9.
11. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков // Сиб. матем. журн. – 1983. – Т. 24 – №1. – С. 21 – 39.
12. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. – 1994. – Т. 58. – №4. – С. 3 – 32.
13. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков // Известия РАН. Сер. матем. – 2011. – Т. 75, №3. – С. 3–28.
14. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом / А.Г. Баскаков, Д.М. Поляков // Матем. сб. – Т. 208 – №1 – 2017 – С. 3–47.
15. Гаркавенко Г.В. О спектральных свойствах одного класса возмущенных операторов / Г.В. Гаркавенко // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. – 2019. – Т. 171. – C. 57–69.
16. Гаркавенко Г.В. Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Изв. Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2016. – Т. 16. – №4 – С. 395-402.
17. Garkavenko G. V. Spectral analysis of a difference operator with a growing potential. / G. V. Garkavenko, A. R. Zgolich, N. B. Uskova // J. Phis.: Conf. Series. – 2018. – V.973. – 012053.
18. Гаркавенко Г. В. Спектральный анализ разностных операторов второго порядка с растущим потенциалом / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Таврический вестник информатики и математики. – 2015. – №3(28). – С. 40 – 48.
19. Гаркавенко Г.В. Асимптотика собственных значений разностного оператора с растущим потенциалом и полугруппы операторов / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Математическая физика и компьютерное моделирование. – 2017. – Т. 20. – № 4. – С. 6 – 17.
20. Ускова Н.Б. Теорема о расщеплении линейных операторов и асимптотика собственных значений разностных операторов с растущим потенциалом / Н. Б. Ускова, Г. В. Гаркавенко // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. –– 2018 – Т. 18. – №1. – C. 91 – 106.
21. Garkavenko G.V. Decomposition of linear operators and asymptotic behavior of eigenvalues of differential operators with growing potencial / G. V. Garkavenko, N. B. Uskova // J. of Math. Sciences. – 2020. – V. 246. – № 6 – p.812 – 827.
22. Baskakov A. G. Similarity techniques in the spectral analysis of perturbed operator matrices / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N.B. Uskova // J. Math. Anal. Appl. – 2019. – V.477. –p. 930–960.
23. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе операторных бесконечных матриц / А. Г. Баскаков, И. А. Криштал, Н. Б. Ускова // Прикладная математика & Физика. – 2020. – Т. 52. – №2. – С. 71 – 85.
24. Баскаков А. Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. вузов. Математика. – 1991. – №1. – С. 3 – 11.
25. Ульянова Е. Л. О спектральных свойствах относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов / Е. Л. Ульянова // Известия высших уебных заведений – 1997 – №10 (425) – С. 75 – 78.
26. Garkavenko G. V. Spectral analysis of one class of the integro-differential operators. / G. V. Garkavenko, A. R. Zgolich, N. B. Uskova // J . Phis.: Conf. Series. – 2019. – V.1203. – 012102.
27. Baskakov A. G. Linear differential operator with an involution as a generator of an operator group / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova // Operators and Matrices. – 2018. – V. 12. – №3. – P. 723 – 756.
28. Баскаков А. Г. Обобщенный метод Фурье для системы дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов / А. Г. Баскаков, Н. Б. Ускова // Дифференциальные уравнения. – 2018. – Т. 54. – №2. – С. 276 – 280.
29. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с инволюцией и группы операторов / А. Г. Баскаков, Н. Б. Ускова // Дифференциальные уравнения. – 2018. – Т. 54. – №9. – С. 1287 – 1291.
30. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в исследовании спектральных свойств возмущенных дифференциальных операторов первого порядка / А. Г. Баскаков, И. А. Криштал, Н. Б. Ускова // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. – 2019. – Т. 171. – С. 3 – 18.
31. Баскаков А. Г. Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов / А. Г. Баскаков, Н. Б. Ускова // Уфимск. матем. журн. – 2018. – Т. 10. – №3. – С. 11 – 34.
32. Криштал И. А. Спектральные свойства дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией и группы операторов / И. А. Криштал, Н. Б. Ускова // Сиб. электрон. матем. изв. – 2019. – Т. 16. – С. 1091 – 1132.
33. Бурлуцкая М. Ш. Классичесское и обобщенное решение смешанной задачи для системмы уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом / М. Ш. Бурлуцкая // Ж. Вычисл. матем. и матеь. физ. – 2019. – Т. 59. – №3. – С. 380 – 390.
34. Бурлуцкая М. Ш. Оператор Дирака с потенциалом специального вида и периодическими краевыми условиями / М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов // Дифференциальные уравнения – 2018. – Т. 54. – №5. – С. 592 – 601.
35. Бурлуцкая М. Ш. Смешанная задача для системмы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом / М. Ш. Бурлуцкая // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. – 2016. – Т. 16. – №2. – С. 145 – 151.
36. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе бесконечных операторных матриц. Примеры I. / А. Г. Баскаков, И. А. Криштал, Н. Б. Ускова // Прикладная математика & Физика. – 2020. – Т. 52. – №3. – С. 185 – 194.
37. Ускова Н. Б. Матричный анализ спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов / Н. Б. Ускова // Сиб. электрон. матем. изв. –2019. – Т.16. – С. 369 – 405.

Список литературы на английском языке / References in English*

1. Dunford N. Linejnye operatory. Spektral'nye operatory [Linear operators. Spectral operators] / N. Dunford, J. T. Schwartz. Vol. 3. - M.: Mir, 1974. [in Russian]
2. Golub J. Matrichnye vychislenija [Matrix calculations] / J. Golub, Ch. Van Lawn – - M. Mir, 1999-548 p. [in Russian]
3. Lebedev, V. I. Funkcional'nyj analiz i vychislitel'naja matematika [Functional analysis and computational Mathematics]: a textbook. / V. I.-Lebedev 4th ed., reprint. and additional – Moscow: FIZMATLIT, 2005. - 296 p. [in Russian]
4. Skrynnikov A.V. O kvazinil'potentnom variante metoda Fridrihsa v teorii podobija linejnyh operatorov [On the quasinilpotent variant of the Friedrichs method in the similarity theory of linear operators] / A.V. Skrynnikov // Funkc. analiz i ego pril. [Function. analysis and its adj]. - 1983-Vol. 17. - No. 3-p. 89-90. [in Russian]
5. Hinkkanen A. On the diagonalization of a certain class of operators / A. Hinkkanen // Michigan Math. J – 1985 32 – p.349 – 359
6. Garkavenko G. V. O diagonalizacii nekotoryh klassov linejnyh operatorov [On diagonalization of certain classes of linear operators] / G.V. Garkavenko // izv. vuzov. Matem. [Russian Math. Iz. VUZ]. – 1994 – V.38, №11 – p.11 – 16. [in Russian]
7. Braeutigam I.N. Asimptotika sobstvennyh znachenij beskonechnyh blochnyh matric [Asymptotics of eigenvalues of infinite block matrices]. / I.N. Brojtigam, D.M. Poljakov // Ufimskij matem. zhur. [Ufa Math. J]. – 2019. – Vol. 11 №.3 – p.11 – 28. [in Russian]
8. Malejke M. Asymptotic behaviour and approximation of eigenvalues for unbounded block Jacobi matrices / M. Malejke // Opuscula Mathematica. – 2010. – V. 30. – №3 – P. 311 – 330.
9. Malejke M. Asymptoticsof large eigenvalues for some discrete unbounded Jacobi matrices / M. Malejke // Linear Algebra and its Applications. – 2009. – V. 431 – P. 1952 – 1970.
10. Malejke M. Eigenvalue for some complex infinite tridiagonal matrices / M. Malejke // Journal of Advances in Mathematics and Computer Science. – 2018. – V.26. – №5 – P. 1 – 9.
11. Baskakov A. G. Metody abstraktnogo garmonicheskogo analisav teorii vozmoscheniy lineynih operatorov [Methods of abstract harmonic analysis in the theory of perturbations of linear operators] / A. G. Baskakov // Siberian Math. J. – 1983. – V.24 - №1 – P.17–32 [in Russian]
12. Baskakov A. G. Spektral'nyj analiz vozmushhennyh nekvazianaliticheskih i spektral'nyh operatorov [Spectral analysis of perturbed non-quasi-analytical and spectral operators] / A. G. Baskakov // Izv. RAS. Ser. matem. - 1994. - Vol. 58. - No. 4. - p. 3-32. [in Russian]
13. Baskakov A. G. Metod podobnyh operatorov v spektral'nom analize nesamosoprjazhennogo operatora Diraka s negladkim potencialom [The method of similar operators in the spectral analysis of a non-self-adjoint Dirac operator with a non-smooth potential] / A. G. Baskakov, A.V. Derbushev, A. O. Shcherbakov // Izvestiya RAS. Ser. matem. - 2011. - Vol. 75, No. 3. - p. 3-28. [in Russian]
14. Baskakov A. G. Metod podobnyh operatorov v spektral'nom analize operatora Hilla s negladkim potencialom [The method of similar operators in the spectral analysis of the Hill operator with a non-smooth potential] / A. G. Baskakov, D. M. Polyakov // Matem. sb. - Vol. 208-No. 1-2017-p. 3-47. [in Russian]
15. Garkavenko G. V. O spektralnih svoeystvah odnogo klassa vozmushchennih operatorov [About spectral properties of one class of perturbed operators] / G. V. Garkavenko // Itogi nauki i tehniki, Ser. Sovremen. Math. and its applications – 2019. – Т. 171. – P. 57–69. [in Russian]
16. Garkavenko G. V. Spektralniy analis odnogo klassa raznostnih operatorov s rastushchim potencialom [Spectral analysis of one class of difference operators with growing potential] / G. V. Garkavenko, N. B. Uskova // Izvestiya Saratovskogo universiteta Novaya seriya Matematika Mehanika Informatika. – 2016. – V. 16. – №4 – P. 395-402. [in Russian]
17. Garkavenko G. V. Spectral analysis of a difference operator with a growing potential. / G. V. Garkavenko, A. R. Zgolich, N. B. Uskova // J. Phis.: Conf. Series. – 2018. – V.973. – 012053.
18. Garkavenko G. V. Spektralniy analis raznostnih operatorov vtorogo poradka s rastushchim potencialom [Spectral analysis of second-order difference operators with growing potential] / G. V. Garkavenko, N. B. Uskova // Tavricheskiy Vestnik informatiki i matematiki. – 2015. – №3(28). – P. 40 – 48. [in Russian]
19. Garkavenko G. V. Asimptotika sobstvennih znacheniy raznostnogo operatora s rastushchim potencialom i polugruppi operatorov [Asymptotics of the eigenvalues of a difference operator with growing potential and a semigroups of operators] / G. V. Garkavenko, N. B. Uskova // Matematicheskaya fizika i komputernoe modelirovanie [Mathematical physics and computer modeling]. – 2017. – V. 20. – № 4. – P. 6 – 17. [in Russian]
20. Garkavenko G. V. Teorema o rasshcheplenii lineynih operatorov I asimptotika sobstvennih znacheniy raznostnih operatorov s rastushchim potencialom [A theorem on the splitting of linear operators and the asymptotics of the eigenvalues of difference operators with growing potential] / G. V. Garkavenko, N. B. Uskova // Sib. J. Chist. i prikl. matem. –– 2018 – V. 18. – №1. – P. 91 – 106. [in Russian]
21. Garkavenko G.V. Decomposition of linear operators and asymptotic behavior of eigenvalues of differential operators with growing potencial / G. V. Garkavenko, N. B. Uskova // J. of Math. Sciences. – 2020. – V. 246. – № 6 – p.812 – 827.
22. Baskakov A. G. Similarity techniques in the spectral analysis of perturbed operator matrices / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N.B. Uskova // J. Math. Anal. Appl. – 2019. – V.477. –p. 930–960.
23. Baskakov A. G. Metod podobnih operatorov v spektralnom analise operatornih beskonechnih matric [The method of similar operators in the spectral analysis of operator infinite matrices] / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova // Prikladnaya matematika & Fizika [Applied Mathematics & Physics]. – 2020. – V. 52. – №2. – P. 71 – 85. [in Russian]
24. Baskakov A. G. Spektralniy analiz otnositelno konechnonernih vizmushcheniy spektralnih operatorov [Spectral analysis with respect to finite-dimensional perturbations of spectral operators] / A. G Baskakov // Soviet Math. (Iz. VUZ), 35:1 (1991) - P.1–11 [in Russian]
25. Ul'yanova Y. L. O spektralnih svoystvah otnositelno konechnomernih vizmushcheniy samosopryazhennih operatorov [Spectral properties of relatively finite-dimensional perturbations of selfadjoint operators] / Y. L. Ul'yanova // Russian Math. (Iz. VUZ), 41:10 (1997), - P.72–75. [in Russian]
26. Garkavenko G. V. Spectral analysis of one class of the integro-differential operators. / G. V. Garkavenko, A. R. Zgolich, N. B. Uskova // J . Phis.: Conf. Series. – 2019. – V.1203. – 012102.
27. Baskakov A. G. Linear differential operator with an involution as a generator of an operator group / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova // Operators and Matrices. – 2018. – V. 12. – №3. – P. 723 – 756.
28. Baskakov A. G. Obobshchenniy metod Furie dlya sistemy differencialnih uravneniy pervogo poryadka s involuciey i polugruppi operatorov [A generalized fourier method for the system of first-order differential equations with an involution and a group of operators] / A. G. Baskakov, N. B. Uskova // Differential Equations. – 2018. – V. 54. № 2. – P. 277-281. [in Russian]
29. Baskakov A. G. Spektralniy analiz differencialnih operatorov i gruppi operatorov [Spectral analysis of differential operators with involution and operator groups ] / A. G. Baskakov, N. B. Uskova // Differential Equations. – 2018. – V. 54. № 9. – P. 1261 - 1265. [in Russian]
30. Baskakov A. G. Metod podobnih operatorov v issledovanii spektralnih svoistv vozmushchennih differencialnih operatorov pervogo poryadka [The method of similar operators in the study of spectral properties of perturbed first-order differential operators] / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova // Itogi nauki i tehniki, Ser. Sovremen. Math. and its applications – 2019. – Vol. 171. – P. 3–18. [in Russian]
31. Baskakov A. G. Metod Furie dlya sistemy differencialnih uravneniy pervogo poryadka s involuciey i gruppi operatorov [Fourier method for first order differential equations with involution and groups of operators] / A. G. Baskakov, N. B. Uskova // Ufa Math. J., 10:3 (2018), 11–34. [in Russian]
32. Krishtal I. A. Spektralnie svoistva differencialnih operatorov pervogo poryadka s involuciey i gruppi operatorov [Spectral properties of differential operators of the first order with involution and groups of operators] / I. A. Krishtal, N. B. Uskova // Sib. electron. math. izv. – 2019. – V. 16. – P. 1091 – 1132. [in Russian]
33. Burlutskaya M. Sh. Klassicheskoe i obobshchennoe reshenie smeshannoy zadachi dlya uravneniy pervogo poryadka s neprerivnim potencialom [Classical and generalized solution of a mixed problem for a system of first-order equations with a continuous potential] / M. Sh. Burlutskaya // J. Vichislit. mathem. and mathem. fiz. [Comput. Math. Math. Phys.] – 2019. – V. 59. – №3. – P. 380 – 390. [in Russian]
34. Burlutskaya M. Sh. Operator Diraka s potencialom specialnogo vida i periodicheskimi kraevimi usloviyami [Dirac operator with a potential of special form and with the periodic boundary conditions] / M. Sh. Burlutskaya, A. P. Khromov// Differential Equations. – 2018. – V. 54. № 5. – P. 586 – 595. [in Russian]
35. Burlutskaya M. Sh. Smeshannaya zadacha dlya sistemi differencialnih uravneniy pervogo poryadka s neprerivnim potencialom [Mixed problem for a system of first order differential equations with continuous potential] / M. Sh. Burlutskaya // Izvestiya Saratovskogo universiteta Novaya seriya Matematika Mehanika Informatika. – 2016. – V. 16. – №2. – P. 145 – 151. [in Russian]
36. Baskakov A. G. Metod podobnih operatorov v spektralnom analise operatornih beskonechnih matric. Primeri I [The method of similar operators in the spectral analysis of operator infinite matrices. Examples I.] / A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova // Prikladnaya matematika & Fizika [Applied Mathematics & Physics]. – 2020. – V. 52. – №3. – P. 185 – 194. [in Russian]
37. Uskova N. B. Matrichniy analiz spektralnih proektorov vozmushchennih samosopryazhennih operatorov [Matrix analysis of spectral projectors of perturbed self-adjoint operators] / N. B. Uskova // Sib. electron. math. izv. –2019. – V.16. – P. 369 – 405. [in Russian]