UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF THE MONGE-AMPERE A CLASS AT A SPHERE AS TWO-DIMENSIONAL MANIFOLDS

Филимонова А.П.¹, Юрьева Т.А.²

¹Кандидат физико-математических наук, доцент, ² Кандидат педагогических наук, Амурский государственный университет

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МОНЖА-АМПЕРА НЕКОТОРОГО КЛАССА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ

 Аннотация

Восстановление поверхностей по заданным геометрическими характеристикам является одной из важных и сложных задач современной дифференциальной геометрии. В статье приводится доказательство теоремы единственности решения отрицательно эллиптичного дифференциального уравнения Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии методом линеаризации. На основании рассмотренной теоремы доказывается следствие о единственности выпуклой гомеоморфной сфере поверхности в евклидовом пространстве с заданной функцией гауссовой кривизны. Сформулированы условия единственности поверхности в гиперболическом пространстве и эллиптическом пространстве.

Ключевые слова: отрицательно эллиптичное уравнение, кривизна поверхности, двумерное многообразие, квадратичная форма.

Filimonova A.P.¹, Yuryeva T.A.²

¹PhD in Physics and Mathematics, assосiate professor, ²PhD in Pedagogy, The Amur State University

UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF THE MONGE-AMPERE A CLASS AT A SPHERE AS TWO-DIMENSIONAL MANIFOLDS

 Abstract

Restoring surfaces for given geometric characteristics is one of the most important and difficult tasks of modern differential geometry. The article presents the proof of uniqueness of solutions adversely elliptical differential equation of the Monge-Ampere equation on the sphere as a two-dimensional manifold linearization method. On the basis of the theorem proved considered a consequence of the uniqueness of a convex surface homeomorphic to a sphere in Euclidean space with a predetermined function of the Gaussian curvature. The conditions for the uniqueness of the surface in the hyperbolic space and elliptic space.

Keywords: negative elliptical equation, curvature of the surface, two-dimensional manifold, quadratic form.

Литература

1. Верещагин Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. – ЛГПИ им. А.И. Герцена. – Л., 1979. – С. 7-12.
2. Филимонова А.П. Оценки в метрике С² и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с заданной гауссовой кривизной в // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. – ЛГПИ им. А.И. Герцена. – Л., 1979. – С. 64-68.
3. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Линеаризация как метод доказательства единственности решения для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений на сфере // Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки. – 2016. – № 73. – С. 25-28.

References

1. Vereshhagin B.M. Vosstanovlenie zamknutoj vypukloj poverhnosti po dannoj funkcii gaussovoj krivizny // Voprosy global'noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. – LGPI im. A.I. Gercena. – L., 1979. – S. 7-12.
2. Filimonova A.P. Ocenki v metrike S2 i edinstvennost' vypukloj gomeomorfnoj sfere poverhnosti s zadannoj gaussovoj kriviznoj v // Voprosy global'noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. – LGPI im. A.I. Gercena. – L., 1979. – S. 64-68.
3. Filimonova A.P., Yuryeva T.A. Linearizacija kak metod dokazatel'stva edinstven-nosti reshenija dlja nekotorogo klassa nelinejnyh differencial'nyh uravnenij na sfere // Vestnik Amurskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Estestvennye i jekonomicheskie nauki. – 2016. – № 73. – S. 25-28.