INTERVAL INFORMATION AGGREGATION

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2022.120.6.011

АГРЕГИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Научная статья

Левкина И.А.^1, *, Леденева Т.М.²

¹ ORCID: 0000-0003-4041-1907;

²ORCID: 0000-0002-3944-2266;

^{1, 2} Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия

* Корреспондирующий автор (levkinain[at]mail.ru)

Аннотация

В данной статье предложены подходы к агрегированию приближенной информации в рамках многоатрибутного (или многокритериального) оценивания. Исходная информация задается в виде векторной оценки объекта, каждая компонента которой является интервальным числом. В первой части статьи представлен краткий обзор существующих операций агрегирования из класса средних и выделено семейство порядковых взвешенных операторов агрегирования −OrderedWeightedAveragingAggregationOperator−OWA, ассоциированных с вектором весов, которые определяются на основе лингвистических кванторов, в частности, на основе квантора «нечеткого большинства». Показано, что известные средние являются частными случаями OWA. Преимуществом данного семейства является наличие числовых характеристик, позволяющих оценить стратегию агрегирования, наличие компенсационных свойств, отношение к риску, что важно для проектирования процедуры агрегирования. На основе OWA предложено несколько подходов к «свертке» интервальных чисел в результирующий интервал, который интерпретируется как интервальная обобщенная оценка объекта.

Ключевые слова: интервальное число, агрегирование, класс средних, OWA-оператор.

INTERVAL INFORMATION AGGREGATION

Research article

Levkina I.A.^1, *, Ledeneva T.M.²

¹ ORCID: 0000-0003-4041-1907;

² ORCID: 0000-0002-3944-2266;

^{1, 2} Voronezh State University, Voronezh, Russia

* Corresponding author (levkinain[at]mail.ru)

Abstract

The article presents approaches to aggregation of approximate information within the framework of multi-attribute (or multi-criteria) evaluation. The baseline information is given as a vector evaluation of the object, each component of which is an interval number. The first part of the article presents a brief overview of existing aggregation operations from the middle class and highlights the assemblage of sequential weighted aggregation operators−Ordered Weighted Averaging Aggregation Operator−OWA, associated with the weight vector, which are defined on the basis of linguistic quantifiers, in particular, on the basis of the quantifier of «fuzzy majority». It is shown that the known averages are particular cases of OWA. The advantage of this assemblage is the presence of numerical characteristics to assess the aggregation strategy, the compensating properties, the attitude to risk, which is important for the design of the aggregation procedure. On the basis of OWA, several approaches to «turn» of interval numbers into resulting interval are proposed, which is interpreted as an interval generalized estimator of the object.

Keywords: interval number, aggregation, middle class, OWA-operator.

Введение

В структуру большинства систем поддержки принятия решений входит подсистема оценки, которая базируется на понятии многоатрибутной (или многокритериальной) модели, и имеет свой целью сформировать обобщенную (интегральную, комплексную) оценку вариантов решений (объектов, систем, проектов и т.д.), учитывая множество показателей (атрибутов, критериев, признаков, характеристик и т.п.), каждый из которых имеет собственную шкалу. В подавляющем большинстве случаев предполагается, что шкалы являются числовыми. Оценку варианта решения в шкале некоторого показателя будем называть частной. Если для оценки используется несколько показателей, то множество частных оценок образует векторную оценку. Для формирования обобщенной оценки применяются различные функции агрегирования, обеспечивающие «свертку» частных оценок в скалярную обобщенную оценку, которая характеризует вариант решения в целом. На основе обобщенных оценок решаются задачи выбора, ранжирования вариантов по предпочтительности, разбиения на группы однородных в некотором смысле (кластеризация) и отнесения к известному классу (классификация). В [1] введено понятие оценочной модели, и сформированы этапы построения многоатрибутной оценки сложного объекта. Введем ряд предположений, важных для организации процедуры агрегирования.

1. Будем считать, что показатели характеризуют объект с различных точек зрения, поэтому важно, чтобы они были независимыми и обеспечивали полноту описания. При формировании множества критериев важно использовать такие, относительно которых имеется цель, заключающаяся в их оптимизации.
2. В большинстве ситуаций предполагается, что информация для формирования обобщенной оценки является количественной (как правило, для этого используется промежуток [0,1] − безразмерная шкала), но при использовании приближенной информации (например, для оценивания привлекаются эксперты, так как нет возможности получить точную количественную информацию) должны использоваться соответствующие модели ее представления, к которым относятся нечеткие, интервальные и лингвистические переменные. Современный подход к обработке информации предполагает не переход от, например, вербальных, качественных значений оценок к количественным, а разработку и использование методов, которые работают именно с данным типом информации информацией. В [2] введены понятия различных типов переменных, и приводятся подходы к решению задач (кластеризация, восстановление зависимостей и др.), основанных на этих переменных.
3. Актуальной проблемой является обобщение классических методов на случай нечисловой информации, а также разнородной информации, когда можно выделить группы показателей с закрепленными за ними шкалами, и тогда при формировании обобщенной оценки в единую обобщенную оценку нужно свести и числовую, и интервальную, и лингвистическую и какого-либо другого типа информацию.
4. «Свертка» частных оценок в обобщенную оценку осуществляется с использованием функций и операций агрегирования [3], [4], [5]. В настоящее время сформировался достаточно обширный арсенал данных инструментов. Значительный класс составляют средние, их свойства достаточно хорошо изучены, известны рекомендации по их использованию для различных задач [1], [6]. Также развиваются подходы для построения гибридных операций на основе некоторых базовых форм средних. Существенные результаты имеются в теории ассоциативных средних, основанных на их представлении с помощью аддитивных генераторов, что позволяет перейти к аддитивной форме операции осреднения [3]. Большой интерес для приложений представляют операции порядкового взвешенного агрегирования OWA из-за наличия ряда важных характеристик, позволяющих спроектировать процедуру агрегирования с заданной стратегией агрегирования и рядом желательных свойств [7].

Заметим, что подавляющее большинство существующих операций агрегирования предназначены для работы с числовой информацией из [0,1]. Цель статьи заключается в развитии подходов к агрегированию интервальной информации на основе порядковых операторов взвешенного агрегирования.

Постановка задачи и обзор основных классов функций агрегирования для построения обобщенной оценки

К основным алгебраическим свойствам OWA-оператора относятся коммутативность, идемпотентность, монотонность, однако данный оператор не является ассоциативным. OWA-операторы имеют ряд числовых характеристик, которые позволяют целенаправленно организовать процедуры агрегирования, ориентируясь на дизъюнктивное (orness) или конъюнктивное (andness) агрегирование, равномерность учета частных оценок (ndisp), склонность оптимистической или пессимистической позиции (tradeoff) [5], [7], [8].

Заметим, что OWA-оператор имеет две существенные особенности. Во-первых, обобщенная оценка, вычисленная на основе OWA-оператора, есть результат скалярного произведения вектора весов  на вектор, полученный из упорядочения элементов по невозрастанию. Во-вторых, в отличие от взвешенных форм средних весовые коэффициенты в данном случае не связаны с важностью отдельных показателей и определяются на основе специальной процедуры [9]. Важно, что в результате ее использования вектор весов оказывается упорядоченным определенным образом (по невозрастанию или по неубыванию). Учитывая, что векторная оценка также упорядоченная, получаем, что обобщенная оценка, по сути, соответствует максимальному или минимальному значению скалярного произведения векторов  и − в этом особенность OWA и принципиальное отличие от аддитивной взвешенной свертки.

Для нахождения весов при использовании технологии порядкового взвешенного агрегирования применяются специальные подходы: на основе лингвистических кванторов, формализующих принцип «нечеткого большинства» [9]; на основе решения оптимизационных задач для нахождения вектора весов, максимизирующих энтропию [10], [11], минимизирующих вариабельность весов [12]; на основе стандартных параметрических функций путем такой настройки параметра, которая соответствует определенной стратегии агрегирования, заданному уровню компенсационных свойств или желаемым значениям числовых характеристик OWA-операторов [13].

В [14] представлен обзор операций агрегирования, относящихся к классу OWA, а также подходы к моделированию процедур агрегирования, учитывающих свойства этих операций.

Широко распространенным подходом для определения весов OWA является использование понятия лингвистического квантора, формализация которого осуществляется на основе непрерывной и неубывающей функции квантификации  [9]. В отличие от классической логики с двумя кванторами  и , в нечеткой логике можно рассматривать различные кванторы, такие как большинство, много, мало, по крайней мере, половина и подобные, которые помимо основных свойств должны удовлетворять дополнительным ограничениям. Так, к функции квантификации для понятия «нечеткого большинства» предъявляются следующие требования: , . Использование лингвистических кванторов позволяет учитывать в обобщенной оценке то количество частных оценок (причем лучших или худших), которое соответствует выбранному квантору. Если задана функция квантификации , то весовые коэффициенты определяются по правилу

5) исходя из предпочтений выбрать функцию min или max и сформировать результирующий интервал. Заметим, что для реализации данной процедуры потребуется три вектора весов. Особенностью интервальных чисел является то, что в приложениях иногда целесообразно учитывать не только их положение на числовой прямой, но и ширину. В следующей таблице представлены различные варианты определения скалярного произведения вектора весов и векторов упорядоченных левых и правых границ, при этом будем ориентироваться на базовое определение OWA, когда векторная оценка упорядочена по невозрастанию (подчеркивание для символа w используется, чтобы показать к какой границе относится данный вектор весов; символы , используются для того, чтобы показать тип упорядочения).

3) с помощью функции квантификации можно сформулировать принцип агрегирования и найти вектор весовых коэффициентов, реализующий компромиссную стратегию, что делает процедуру агрегирования более «прозрачной» и повышает уровень ее интерпретируемости; 4) за счет выбора функций квантификации можно агрегировать левые и правые границы заданных интервалов с различными стратегиями, что позволяет регулировать ширину результирующего интервала, что важно при работе с интервальными данными, так как основной недостаток интервального исчисления заключается в том, что получаемый интервал имеет большую ширину, что соответствует увеличению уровня неопределенности; 5) существующие подходы к формированию весов OWA-операторов могут активно использоваться при агрегировании интервальной информации, тем самым, позволяя настраивать процедуру агрегирования на конкретного пользователя. 6) для середин интервалов, полученных после проведения процедуры агрегирования, характерно самое левое расположение в случае применения min , самое правое для max и промежуточное для квазиконъюнкции и квазидизъюнкции.

Заключение

Данная статья посвящена проблеме агрегирования интервальной информации. Анализ существующих подходов к агрегированию числовой информации позволил в качестве перспективного направления исследований рассматривать семейство порядковых операторов взвешенного агрегирования OWA. Его отличительной особенностью является возможность интерпретации важных характеристик процедуры агрегирования (стратегия, уровень компенсационных свойств, энтропийные характеристики и др.) на основе вектора весовых коэффициентов. Важно, что для определения весов существует значительное количество методов, некоторые из которых порождают специальные классы OWA-операторов. В статье предложены различные варианты использования порядковых операторов взвешенного агрегирования для интервальных чисел, при этом агрегирование можно осуществлять и для границ, и для центров интервалов. Новизна данного подхода заключается в возможности учета семантики соответствующей операции агрегирования, ориентированной или на положение результирующего интервального числа на числовой прямой, или на его ширину. За счет весовых коэффициентов можно обеспечить компромисс между этими двумя позициями. Важно, что предложенные обобщения данной техники агрегирования позволят использовать при решении практических задач весь арсенал существующих подходов к нахождению и интерпретации весовых коэффициентов с использованием компромиссной стратегии. Кроме того, анализ результатов вычислительных экспериментов показал, что на основе данной стратегии может быть успешно решена проблема «широких интервалов», которая возникает при использовании интервальной арифметики в приложениях. Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что предложенные варианты OWA могут использоваться для агрегирования приближенной информации в форме интервальных чисел в системах поддержки принятия решений, в состав которых входит оценочная подсистема, формирующая обобщенную (комплексную, интегральную) оценку каждого из сложных объектов (систем, проектов, вариантов решений).

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Леденева, Т.М. Агрегирование информации в оценочных системах / Т.М. Леденева, С.Л. Подвальный // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. – 2016. − №4. − 155-164.
2. Billard L. Symbolic Data-Analyses: Conceptual Statistics and Data mining / L. Billard, E. Diday. – John Wiley and Sons, 2006. – 330 p.
3. Grabisch M. Aggregation Functions / M. Grabisch, J. Marichal, R. Mesiar et al. − Cambridge : Cambridge University Press, 2009. − 460 p.
4. Grabisch M. Aggregation functions: Means / M. Grabisch, J.-L. Marichal, R. Mesiar et al. // Information Science, 2011. − №181. − 1−22.
5. Beliakov G. Practical Guide to Averaging Functions / G. Beliakov, H. Bustince. T. Calvo. − Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-24753-3
6. Джини К. Средние величины / К. Джини. – М. : Статистика, 1970. – 448 с.
7. Yager R.R. The ordered weighted averaging operators: theory and applications / R.R. Yager, J. Kacprzyk. – Boston, Dordrecht, London : Kluwer Academic Publisher, 1997. – 357 p.
8. Леденева Т. М. Моделирование свойств порядковых операторов взвешенного агрегирования / Т. М. Леденева, М.Тафинцева // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Серия: Физика. Математика. – 2006. – № 1. – С. 66-72.
9. Yager R. R. Quantifier guided aggregation using OWA operators / R. R. Yager // International Journal of Intelligent Systems. – 1996. – Vol. 11. – P. 49–73. DOI: 10.1002/(SICI)1098-111X(199601)11:1<49::AID-INT3>3.0.CO;2-Z
10. Yager R. R. Analytic properties of maximum entropy OWA operators / R. R. Yager , D. Filev // Information Sciences. – 1995. – Vol. 85. – P. 11–27. DOI: 10.1016/0020-0255(94)00109-O
11. Majlender P. OWA-operators with maximal Renyi entropy / P. Majlender // Fussy sets and systems. – 2005. – Vol. 155. – P. 340–360. DOI: 10.1016/j.fss.2005.04.006
12. Fuller R. On obtaining minimal variability OWA operator weights / R. Fuller, R. Majlender // Fuzzy Sets and Systems. – 2003. – Vol.136. – P. 203–215. DOI: 10.1016/S0165-0114(02)00267-1
13. Larsen H.L. Construction of OWA operators with desired properties / H.L. Larsen // Fuzzy Sets and Systems. – 2002. – Vol. 94. – P. 167–183.
14. Леденева Т.М. Обзор основных классов операторов порядкового взвешенного агрегирования / Т.М. Леденева, И.А. Левкина // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии.– 2022. − №1. − 5-31
15. Dawood H. Interval Mathematics: Foundations, Algebraic Structures, and Applications / H. Dawood. – Saarbrucken: Lambert Academic, 2011. – 178 p.
16. Пегат A. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 798 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Ledeneva T. M. Agregirovanie informacii v ocenochnyh sistemah [Aggregation of information in evaluation systems] / T. M. Ledeneva, S. L. Podval'nyj // Vestn. Voronezh. gos. un-ta. Serija: Sistemnyj analiz i informacionnye tehnologii [Bulletin of Voronezh State University. System analysis and information technologies]. – 2016. – № 4. – P. 155-164. [in Russian]
2. Billard L. Symbolic Data-Analyses: Conceptual Statistics and Data mining / L. Billard, E. Diday. – John Wiley and Sons, 2006. – 330 p.
3. Grabisch M. Aggregation Functions / M. Grabisch, J. Marichal, R. Mesiar et al. − Cambridge : Cambridge University Press, 2009. − 460 p.
4. Grabisch M. Aggregation functions: Means / M. Grabisch, J.-L. Marichal, R. Mesiar et al. // Information Science, 2011. − №181. − 1−22.
5. Beliakov G. Practical Guide to Averaging Functions / G. Beliakov, H. Bustince. T. Calvo. − Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-24753-3
6. Dzhini K. Srednie velichiny [Average values] / K. Dzhini. – M.: Statistika, 1970. – 448 p. [in Russian]
7. Yager R.R. The ordered weighted averaging operators: theory and applications / R.R. Yager, J. Kacprzyk. – Boston, Dordrecht, London : Kluwer Academic Publisher, 1997. – 357 p.
8. Ledeneva T. M. Modelirovanie svojstv porjadkovyh operatorov vzveshennogo agregirovanija [Modeling of properties of weighted ordinal operators of aggregation] / T. M. Ledeneva, M. Tafinceva // Vestn. Voronezh. gos. un-ta. Serija: Fizika. Matematika [Bulletin of Voronezh State University. Physics. Math]. . –2006. – № 1. – P. 66-72. [in Russian]
9. Yager R. R. Quantifier guided aggregation using OWA operators / R. R. Yager // International Journal of Intelligent Systems. – 1996. – Vol. 11. – P. 49–73. DOI: 10.1002/(SICI)1098-111X(199601)11:1<49::AID-INT3>3.0.CO;2-Z
10. Yager R. R. Analytic properties of maximum entropy OWA operators / R. R. Yager , D. Filev // Information Sciences. – 1995. – Vol. 85. – P. 11–27. DOI: 10.1016/0020-0255(94)00109-O
11. Majlender P. OWA-operators with maximal Renyi entropy / P. Majlender // Fussy sets and systems. – 2005. – Vol. 155. – P. 340–360. https://doi.org/10.1016/j.fss.2005.04.006
12. Fuller R. On obtaining minimal variability OWA operator weights / R. Fuller, R. Majlender // Fuzzy Sets and Systems. – 2003. – Vol.136. – P. 203–215. DOI: 10.1016/S0165-0114(02)00267-1
13. Larsen H.L. Construction of OWA operators with desired properties / H.L. Larsen // Fuzzy Sets and Systems. – 2002. – Vol. 94. – P. 167–183.
14. Ledeneva T. M. Obzor osnovnykh klassov operatorov poryadkovogo vzveshennogo agregirovaniya [Overview of the main classes of weighted ordinal operators of aggregation] / T. M. Ledeneva, I. N. Levkina // Vestn. Voronezh. gos. un-ta. Serija: Sistemnyj analiz i informacionnye tehnologii [Bulletin of Voronezh State University. System analysis and information technologies]. – 2022. – № 1. – P. 5-31. [in Russian]
15. Dawood H. Interval Mathematics: Foundations, Algebraic Structures, and Applications / H. Dawood. – Saarbrucken: Lambert Academic, 2011. – 178 p.
16. Pegat A. Nechetkoe modelirovanie i upravlenie [Fuzzy Modeling and Control] / A. Pegat. – M. : BINOM. Laboratoriya znanij, 2009. – 798 p. [in Russian]