ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В НЕУПРУГОЙ НИТИ

ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В НЕУПРУГОЙ НИТИ

Научная статья

Комаров А.Д.

Московский физико-технический институт, Москва, Россия

Аннотация

В работе показывается, что в основе поперечных волн лежит явление качения, когда линейное смещение и поворот неотделимы.  

Возьмем гибкую нерастяжимую нить, при помощи которой во всех курсах физики начинается знакомство с волновыми явлениями, но вместо традиционного «малого» возмущения, рассмотрим возмущение в виде плоской кольцеобразной петли, катящейся вдоль нити. Пусть Т - натяжение нити, μ-   линейная плотность, гравитация отсутствует. Толщина нити только для понятности рисунка.

Рис 1. Катящееся кольцо из гибкой нерастяжимой нити.  

Такое возмущение может существовать лишь при скорости петли относительно нити , когда натяжение нити в любой точке петли становится равным натяжению вне петли.

Самый простой и эффективный способ исследования возмущений в гибкой нити заключается в обращении движения. Достаточно рассмотреть вращающийся шкив, который охватывает при своем движении гибкая нерастяжимая нить, и найти ту скорость, при которой нить перестает взаимодействовать с опорой. Интересно, что скорость V_c не зависит ни от радиуса шкива,  ни от угла охвата, что позволяет предположить о возможности построения произвольного плоского контура (даже замкнутого и  вечного») из нити, движущейся со скоростью V_c. Это явление известно под названием эффекта Эткина-Радингера [1].

К сожалению, в большинстве учебников к распространению поперечных возмущений в нерастяжимой бесконечной нити подходят, как к распространению поперечных колебаний, порождаемых силами упругости. Такой подход не может считаться корректным. В отрезке нити, зажатом с концов, можно говорить о колебаниях и силах упругости, стремящихся вернуть струну в начальное состояние. Но неправильно говорить о «поперечных волнах упругости» в бесконечной нити, в бесконечной нерастяжимой нити нет поперечных сил упругости. Пример с катящимся кольцом говорит, что в волне должны присутствовать два вида энергии – вращательная и энергия поступательного движения, подобно электрической и магнитной составляющим в электромагнитном возмущении. Для каждого вида энергии действуют свои законы сохранения. Периодической перекачки энергии из одного вида в другой, как при колебаниях, не происходит.

Перемещение поперечных возмущений вдоль нерастяжимой нити – типичная волна. Скорость  - это скорость поперечных волн в  нити.

Движение волновое, если оно описывается функцией вида U=U(x±ct), которая всегда удовлетворяет волновому уравнению ²U/x²=(1/c²)·²U/t²  .

На рис.2 показан участок нити, движущейся со скоростью V вправо вдоль оси x.

Рис.2 Изменение направления движения нити на угол  φ

В начале координат нить за время Δt изменяет направление движения на угол φ и приобретает составляющую скорости ΔV в направлении оси U. Считая угол φ малым, и учитывая, что V= dx/dt=const , можно записать очевидные соотношения:

Волновое уравнение в данном случае имеет простой смысл: поперечное ускорение элемента нити пропорционально угловой скорости этого элемента. Коэффициент пропорциональности равен продольной скорости нити.

Масса участка нити, изменившей свое направление за время Δt , равна

Приравнивая произведение массы   на ускорение ωV  к величине вертикальной составляющей силы φТ , можно получить уравнение для определения скорости V_c, при которой нить не должна взаимодействовать с опорой.

Поскольку нить не взаимодействует с опорой, то остается допустить, что изменение направления движения происходит за счет внутренней, уже имеющейся в нити энергии вращения. Эта энергия легко вычисляется, если учесть, что энергия вращения полного кольца при скорости качения V_c равна  πRT. Участок кольца с углом поворота φ обладает запасом энергии вращения , где Δs длина участка нити, обладающего энергией вращения. Этот же участок имеет импульс вдоль оси U , равный p = Tφ Δt  =  T/R Δs и  момент импульса L=TR Δt = T/ω Δs . Причем этот участок с «вращением» смещается относительно нити влево (на рис.2) со скоростью 

В результате можно утверждать, что распространение возмущений в нити связано с распространением «вращательного» возмущения. То есть вдоль нити смещается момент количества движения и обязательно сопутствующее ему количество поперечного движения. Наиболее близко к описанию данного процесса подходит термин качение, который свидетельствует о неотделимости смещения от поворота.  Нельзя сместить нить поперек, не придав ей угла поворота, и нельзя повернуть нить без поперечного смещения.  Это чисто кинематическая связь, подобная связи вращения катящегося обруча с его поступательным движением V=ωR . Волновое уравнение – кинематическое уравнение.

Поэтому правильнее говорить о волнах качения или о катящихся волнах в нити.

На рис.3 нарисована треугольная волна, двигающаяся справа налево .

Рис.3 Треугольная волна  

Для простоты все углы имеют одинаковый радиус R. Нижний левый угол соответствует схеме на рис.2. Под волной изображены диаграммы вертикальной составляющей скорости и угловой скорости. Понятно, что треугольная волна образуется тремя «катящимися» вдоль нити «вращательными» возмущениями, каждое со своей энергией.

И самое интересное. Из рис.1 можно сделать замечательный вывод. Если очень ловко и быстро  разрезать петлю в точке А и склеить отдельно детали кольца и покоящейся нити, то кольцо будет катиться вдоль нити вплоть до точки В, где пути кольца и нити разойдутся. Произойдет «излучение».  Другими словами, замкнутая кольцевая петля, катящаяся со скоростью V_c, может существовать независимо от породившей ее нити.

Список литературы / References

1. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. – Москва: Наука, 1980
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики в 5т. Т.1 Механика. Изд. МФТИ. 2004