ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА В ТЕОРИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО УСРЕДНЕНИЯ

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА В ТЕОРИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО УСРЕДНЕНИЯ

Научная статья

Агранович Ю.Я.¹, Концевая Н.В.²

¹Воронежский государственный технический университет, Воронеж, Россия

²Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва, Россия

 

Аннотация

В данной работе решена задача минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена. Решение используется для определения параметров окна скользящего суммирования в сглаживании временных рядов. Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова:  сглаживание, скользящее усреднение, оптимизация интервала, кубическая кривая.

Keywords: the smoothing of time series, sliding averaging, interval optimization, a cubic curve.

Сравнительная простота в использовании методов скользящего усреднения определяет основные недостатки их адекватного применения. Результаты сглаживания зависят в первую очередь от размера интервала усреднения и, во-вторых, собственно, от самого метода. В [1, 2] был  разработан  метод для определения весовых коэффициентов при усреднении , включающий  параметр, который может варьироваться в зависимости от того, какие члены ряда желательно учитывать с большим весом, что способствует устойчивости процедуры обработки ряда [1, с. 71-76].

В данной работе ставится задача  определения оптимального интервала усреднения, основанная на формуле Эйлера-Маклорена. Такой подход позволил  проводить скользящее усреднение при изменяющемся окне усреднения, исключая субъективные моменты в выборе размера интервала сглаживания.

Рассмотрим формулу суммирования, связывающую частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

             (1)

здесь   - числа Бернулли.

И зададимся следующей задачей: будем искать такой интервал интегрирования, когда невязка обращается в нуль,  т.е. чтобы сумма значений функции в целых точках была равна  интегралу от функции на рассматриваемом интервале. Иными словами, в формуле Эйлера-Маклорена мы будем считать величиной невязки сумму с числами Бернулли. В численных методах такое соотношение известно как формула прямоугольников для приближенного вычисления интегралов.

Можно показать, что для четных степеней полинома остаток,  вообще говоря, отличен от нуля и задача имеет лишь, в некотором смысле, «ограниченные» решения, Однако для многочленов нечетных степеней это не так. Здесь появляется возможность выбирать сколь угодно большие длины интервала усреднения. Неожиданная роль в решении появляется у арифметических средних  значений симметрических многочленов от корней исходного многочлена.  Так, для  многочлена 5-й степени:

                                  (2)

Решение определяет некоторую кубическую кривую следующего вида:

                         (3)

Здесь:   среднее арифметическое корней исходного многочлена;  среднее арифметическое попарных произведений корней;  среднее арифметическое произведений по три.

В качестве исходной базы   были выбраны следующие исторические данные:    дневные  котировки (цены открытия)   валютного  курса  USD/JPY  за  200  дней на разных временных интервалах.  Исследование данного метода скользящего усреднения включало следующие этапы:

• Для исходных данных рассчитываются аппроксимирующий полином пятой степени, параметры которого определяются МНК.
• Используя коэффициенты полученного полинома, определяются параметры кубической кривой, отображающей связь между центром интервала усреднения и размером интервала.
• В дальнейшем, используя полученную кубическую кривую, можно выбирать как номограмму оптимальные центр интервала и собственно ширину интервала сглаживания.
• Используя переменную ширину окна усреднения, производится процедура выравнивания временного ряда.

Данная задача была реализована в пакете MATLAB. На первом рисунке представлены результаты моделирования исходного временного ряда полиномом 5-ой степени.

 

Рис.1. Аппроксимация исходного ряда полиномом пятой степени

На рис.2 представлена кубическая кривая, определяющая размер окна сглаживания в зависимости от центра интервала. На горизонтальной оси – номер наблюдения (порядковый номер дня), по вертикальной оси изображен размер половины ширины интервала усреднения.

 

Рис.2. Ширина интервала сглаживания в зависимости от центра интервала

На заключительном этапе исследования проведено сглаживание исходного ряда с изменяющимся окном усреднения. На рис.3 представлены исходный временной ряд и сглаженный с помощью разработанного метода.

 

Рис.3. Исходный ряд и результаты сглаживания

Метод скользящего усреднения с изменяющимся окном сглаживания позволяет абстрагироваться от значительных изменений в середине ряда за счет увеличения размера окна сглаживания и максимально точно отобразить динамику крайних уровней. Вместе с тем, полученный сглаженный ряд отображает общее направление динамики процесса и может быть использован как для повторения предлагаемой процедуры, так и для возможного моделирования динамики. Например, аппроксимация полученного ряда с помощью полинома пятой степени становится более существенной (коэффициент детерминации увеличивается с 0,57 до 0,88).

При выявлении, в результате сглаживания, объективных закономерностей, информация о них может быть использована во многих областях: при обосновании управленческих решений, при планировании на микро и макроэкономических уровнях, при оценке ожидаемой доходности инвестиций и пр.

Список литературы / References

1. Агранович  Ю.Я. и др. Метод многоугольных чисел в процедуре сглаживания временных рядов и приложения к исследованию финансовых рынков / Ю.Я. Агранович, Н.В. Концевая, В.Л. Хацкевич // Экономика и математические методы, т. 46; вып.3 (2010), с. 71-81.
2. Агранович  Ю.Я. и др.  Сглаживание временных рядов показателей  финансовых рынков на основе многоугольных чисел / Ю.Я. Агранович, Н.В. Концевая, В.Л. Хацкевич // Прикладная эконометрика,  № 3 (19) 2010, с.3-8.
3. Агранович  Ю.Я., Концевая Н.В. Метод определения параметров сглаживания временных рядов на основе минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена // Современная экономика: проблемы и решения, № 7(19) 2011,  с. 131-137.