STUDY OF UNIVERSAL FINITE-TIME OPTIMAL METHOD OF FILTERING AND FORECASTING OF NAVIGATION DISCRETE SIGNALS
STUDY OF UNIVERSAL FINITE-TIME OPTIMAL METHOD OF FILTERING AND FORECASTING OF NAVIGATION DISCRETE SIGNALS
Abstract
As an alternative to the classical Kalman filtering and prediction method based on it, the research article proposes a universal finite-time optimal method of filtering and prediction of navigation discrete signals without feedback. The reviewed method is characterized by universality, simplicity in implementation, and the parameters of quality and dynamic characteristics of processing with increasing memory size r (number of measurement results) asymptotically tend to the values of Kalman filtering.
The study provides a comparative analysis of the universal finite-time optimal method of processing and prediction of navigation signals with filtering and Kalman prediction method in terms of accuracy, transient time, robustness and noise immunity. The comparative analysis is carried out on the example of a linear measurement model with additive error, where a Gaussian stationary Markov random process is used as a useful signal, and an uncorrelated stationary white Gaussian noise is used as an interference.
The work presents the main advantages and disadvantages of the examined processing methods. A summary of the finite-time method of filtering and forecasting without using feedback is presented.
1. Введение
Как известно, в процессе пилотирования и навигации летательного аппарата любые измерения, полученные с датчиков пилотажно-навигационного комплекса, предполагают наличие помех, которые могут быть вызваны как наличием внутренних возмущений и шумов, так и каким-либо воздействием извне. Выделение полезного сигнала измерений на фоне любого рода помех осуществляют фильтры – устройства, в основе которых лежит использование математических алгоритмов. Наиболее используемым на сегодняшний день математическим алгоритмом является рекурсивная фильтрация Калмана, обладающая следующими основными достоинствами: оптимальность по критерию среднего квадрата ошибки оценки, использование всех измерений с момента начала работы при формировании текущих оценок и рекуррентность оценивания сигналов, позволяющая снизить требования к памяти устройства обработки информации. Фильтрация Калмана также имеет и недостатки: использование им рекуррентной обработки возможно лишь при наличии свойства марковости процесса, что делает его ограниченным в использовании, а также, в связи с наличием обратной связи, недостаточные показатели помехозащищенности и робастности алгоритма при изменении как входных параметров, так и параметров обработки сигналов. Кроме того, для оценки качества фильтрации Калмана требуется большой объем вычислительных затрат. Это обусловлено решением сложного дифференциального уравнения Риккати и необходимостью в использовании формирующего фильтра, т.е. представление модели сигналов в пространстве состояний , , .
В качестве альтернативы фильтрации Калмана и методу прогноза на его основе в настоящее время разработан новый метод обработки навигационных измерений: универсальный финитно-временной оптимальный метод фильтрации и прогнозирования навигационных дискретных сигналов . В его основе лежит обработка измерений без обратной связи на финитном интервале времени.
Рассматриваемый метод фильтрации не требует свойства марковости процесса, что делает его универсальным в плане вида используемых сигналов, он инвариантен к наличию или отсутствию свойства коррелированности помехи измерения, а его реализация не предусматривает решения уравнения Риккати, что существенно упрощает вычислительный процесс. Критерий оценки качества, представляющий из себя сумму дисперсий ошибки оценки, с ростом объема памяти
К недостаткам финитно-временного оптимального метода фильтрации и прогнозирования можно отнести наличие требования в накоплении памяти процесса
В связи с этим, целью исследовательской работы является проведение сравнительного анализа предлагаемого универсального финитно-временного оптимального метода фильтрации и прогнозирования навигационных дискретных сигналов и рекурсивной фильтрации Калмана и его метода прогноза по параметрам точности, времени переходного процесса, робастности и помехозащищенности. В сравнении рассмотрим фильтрацию навигационного измерения и прогнозирование на нескольких интервалах времени. Моделирование исследуемых алгоритмов проводится в программном пакете MathCAD 15.
2. Описание универсального финитно-временного оптимального метода фильтрации и прогнозирования
Пусть исследуемый сигнал на входе фильтра рассматривается как линейная модель измерения навигационного сигнала с аддитивной некоррелированной погрешностью, которая описывается уравнением:
где
Для осуществления финитно-временной фильтрации и оценки прогноза, необходимо линейную модель сигнала (1) представить в виде вектора размерностью
В основе финитно-временного метода алгоритма оценивания дискретных сигналов лежит следствие теоремы ортогонального проецирования В. С. Пугачева, по которому определяется оптимальная по критерию среднего квадрата ошибки оценки матрица преобразования
где
где
В случае некоррелированности измерения и помехи, матрица преобразования
Оптимальный вектор оценок финитно-временного алгоритма определяется следующей формулой:
Корреляционная характеристика оптимальной оценки финитно-временного алгоритма размерностью
Оценить точность финитно-временной фильтрации и оценки прогноза в момент переходного процесса и при установившемся значении в
Оптимальная оценка точности финитно-временного алгоритма и оценки прогноза при завершенном переходном процессе в
После окончания переходного процесса корреляционные матрицы (8) и (9) должны совпасть.
Статистическая оценка дисперсии финитно-временной фильтрации и оценки прогноза в
где
где
Примечание – Для формул (1)-(12) моменты времени
3. Сравнительный анализ рассматриваемых алгоритмов
В качестве критерия оптимальности условно принимаем дисперсию ошибки оценки. Исследуемым объектом для оценивания используется радиотехнический высотомер, модель измерения которого описывается линейным уравнением (1).
Пусть модель полезного сигнала канала представляет собой гауссовский стационарный марковский случайный процесс первого порядка, корреляционная характеристика которого имеет вид:
где
Модель помехи представляется в виде некоррелированного стационарного белого гауссовского шума, корреляционная характеристика которого имеет вид:
где
Сравнительный анализ рассматриваемых алгоритмом фильтраций и прогнозирования выполнен при следующих исходных данных:
– объем выборки
– среднеквадратическое отклонение полезного сигнала
– среднеквадратическое отклонение помехи
– параметр корреляционной функции
– память, требующаяся для финитно-временной обработки
– дискрет
– интервалы времени прогноза
Моделирование дисперсий ошибки оценки рассматриваемых фильтраций приведены на рисунках 1-3. Численные результаты обработок занесем в таблицу 1. Обозначения на рисунках следующие:
– для рисунка 1:
– для рисунков 2, 3:
Рисунок 1 - Графики зависимостей теоретических и статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной обработки и фильтрации Калмана на интервале от 0 до N
Рисунок 2 - Графики зависимостей теоретических и статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогноза Калмана на интервале от 0 до N при T = 10 с
Рисунок 3 - Графики зависимостей теоретических и статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогноза Калмана на интервале от 0 до N при T = 20 с
Таблица 1 - Численные результаты обработок
Обработка | Интервал времени прогноза Т | Теоретическая точность, м2 | Статистическая точность, м2 | Время переходного процесса, с |
Фильтрация Калмана | - | 7,479 | 8,220 | 651 |
Финитно-временная обработка | 8,088 | 7,549 | 867 | |
Прогноз Калмана | 10 | 30,343 | 29,405 | 686 |
Финитно-временная оценка прогноза | 30,617 | 28,951 | 674 | |
Прогноз Калмана | 20 | 40,617 | 38,353 | 910 |
Финитно-временная оценка прогноза | 40,740 | 38,382 | 896 |
По результатам моделирования, отраженных на рисунках 1-3 и в таблице 1, можно сделать вывод, что универсальный финитно-временной оптимальный метод фильтрации и прогнозирования навигационных дискретных сигналов при выбранном значении объема памяти
Финитно-временная оценка прогноза при выбранном значении объема памяти
На рисунках 4, 5 представлено изменение значений дисперсии ошибки оценки финитно-временной фильтрации и прогнозирования при изменении параметра
– для рисунка 4:
– для рисунка 5:
Рисунок 4 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной обработки и фильтрации Калмана от изменения параметра r на интервале от 2 до 6
Рисунок 5 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогноза Калмана от изменения параметра r на интервале от 2 до 6 при времени прогноза T = 10 с
Посмотрим как изменяется дисперсия ошибки оценки финитно-временного прогнозирования и прогноза Калмана при изменении интервала времени прогноза (рисунок 6). Обозначения на рисунке следующие:
Рисунок 6 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогноза фильтра Калмана от изменения параметра T на интервале от 0 до 20
Робастность представляет собой устойчивость характеристик точности при изменении параметров обработки сигнала. Показатель робастности определяется формулой :
где
Помехозащищенность представляет собой устойчивость характеристик точности системы при изменении параметров входных сигналов. Критерий показателя помехозащищенности определяется следующим образом :
где
Обозначения на рисунках следующие:
– для рисунков 7, 9, 11, 13:
– для рисунков 8, 10, 12, 14:
Рисунок 7 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной обработки и фильтрации Калмана от изменения среднеквадратического отклонения помехи σH на интервале от 3 до 7
Рисунок 8 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогнозирования Калмана от изменения среднеквадратического отклонения помехи σH на интервале от 3 до 7 при времени прогноза T = 10 с
Рисунок 9 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной обработки и фильтра Калмана от изменения среднеквадратического отклонения полезного сигнала σ на интервале от 5 до 9
Рисунок 10 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогноза фильтра Калмана от изменения среднеквадратического отклонения полезного сигнала σ на интервале от 5 до 9 при времени прогноза T = 10 с
Рисунок 11 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной обработки и фильтрации Калмана от изменения среднеквадратического отклонения помехи σH на интервале от 3 до 7
Рисунок 12 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогнозирования Калмана от изменения среднеквадратического отклонения помехи σH на интервале от 3 до 7 при времени прогноза T = 10 с
Рисунок 13 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной обработки и фильтра Калмана от изменения среднеквадратического отклонения полезного сигнала σ на интервале от 5 до 9
Рисунок 14 - Графики зависимостей статистических дисперсий ошибок оценок финитно-временной оценки прогноза и прогноза фильтра Калмана от изменения среднеквадратического отклонения полезного сигнала σ на интервале от 5 до 9 при времени прогноза T = 10 с
По рисункам 7-10 можно сделать следующие выводы:
– при изменении среднеквадратического отклонения помехи
– при изменении среднеквадратического отклонения полезного сигнала
По рисункам 11-14 можно сделать следующие выводы:
– при изменении среднеквадратического отклонения помехи
– при изменении среднеквадратического отклонения полезного сигнала
4. Заключение
Рассматриваемый в рамках исследования универсальный финитно-временной оптимальный метод обработки и прогнозирования навигационных дискретных сигналов предлагается в качестве альтернативы фильтрации и прогнозированию Калмана. Новый метод обработки отличается простотой реализации и универсальностью в плане вида используемых моделей сигнала, он инвариантен к наличию или отсутствию коррелированности помехи измерения и не требует от процессов наличия свойства марковости. По результатам сравнительного анализа двух методов можно сказать, что финитно-временная обработка не уступает фильтрации Калмана по точности и времени переходного процесса. При этом с ростом объема памяти
По показателям робастности и помехозащищенности, финитно-временной метод обработки и прогнозирования уступает фильтрации и методу прогнозу Калману лишь при изменении среднеквадратического отклонения помехи