MULTILEVEL ANALYTICAL AND ANALYTICAL-SIMULATION MODELS FOR EVALUATING THE PROBABILISTIC AND TEMPORAL CHARACTERISTICS OF MULTIMACHINE COMPUTING COMPLEXES WITH REGARD TO RELIABILITY

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.131.8
Issue: № 5 (131), 2023
Suggested:
01.02.2023
Accepted:
18.04.2023
Published:
17.05.2023
94
0
XML PDF

Abstract

The article describes multilevel analytical and simulation models of faults and failures control in the evaluation of problem-solving efficiency in multi-machine computer complexes (MMC). Functional and structural decomposition principles of formalized models of MPS with failures and malfunctions taken into account are described. Mathematical models of functioning of MPS resources taking into account hardware and software failures that meet the requirements of parameter configurability are reviewed. Analytical relations for parametric tuning of elementary models are obtained, which take into account the mechanism of influence of different types of failures and malfunctions on processing. The functional equations and analytical relations which allow transforming a multiphase problem and system level QS with unreliable operating devices (OA) into an equivalent multiphase QS with reliable OA are derived. An approach for constructing approximating distribution functions of equivalent problem-level OA, which takes into account the mechanism of application processing in case of failures, is designed. A methodology for analysing the time characteristics of MPS with regard to the reliability of system elements is developed, which is implemented in the form of basic and interface parametrically adjustable analytical and simulation submodels.

1. Введение

Многомашинные вычислительные комплексы являются центральным звеном сбора, передачи и обработки информации в автоматизированных системах обработки данных (АСОД) различного назначения. Основными показателями качества функционирования МВК, входящих в состав АСОД, являются своевременность и достоверность выдаваемой информации. Задачи определения временных характеристик и характеристик надежности МВК решаются, как правило, независимо друг от друга, и влияние отказов учитывается с помощью поправочных коэффициентов. При этом не учитывается механизм процесса обработки при возникновении отказов. Поэтому такой подход позволяет оценить только среднее время выполнения задачи. В МВК АСОД недопустимо получение результатов позже директивного срока и при определении временных характеристик возникает необходимость оценить не только среднее время обработки заявок, но и такие характеристики, как дисперсия и вероятность выполнения заявки к директивному сроку в условиях возникновения отказов. В настоящее время предложен целый ряд моделей, с помощью которых можно описать процесс обработки заявок с учетом возникающих отказов. Однако в этих моделях не учитывается мультипрограммный режим работы современных МВК, влияние программных отказов и делаются другие упрощающие предположения, что приводит к уменьшению достоверности получаемых результатов и снижению качества проектирования. Поэтому разработка математических методов и моделей, позволяющих увеличить степень адекватности моделей анализа процессов обработки информации в МВК с учетом возникающих отказов, является актуальной задачей.

Методы имитационного моделирования

,
,
,
позволяют анализировать модели сложных систем при удовлетворении требований к параметрической настраиваемости. Однако непосредственное применение методов имитационного моделирования при определении временных характеристик вычислительных систем в условиях отказов оказывается неэффективным, так как требует значительных затрат времени на моделирование. Исследование вычислительных систем с помощью аналитических методов теории массового обслуживания
,
,
,
применимо лишь для анализа простых структур и ориентировано, как правило, на анализ либо временных характеристик без учёта влияния отказов, либо показателей надежности вычислительных систем. При анализе временных характеристик современных вычислительных комплексов не учитывается влияние программных отказов.

Целью данной работы является разработка многоуровневых аналитических и аналитико-имитационных моделей анализа вероятностно-временных характеристик переработки информации в МВК АСОД с учетом отказов в условиях информационной, структурной и временной избыточности для автоматизации определения показателей качества функционирования МВК при многовариантном анализе различных схем обработки информации с учетом надежности.

При разработке математического аппарата исследования многоуровневых моделей решаются задачи:

- декомпозиции многоуровневых формализованных моделей;

- разработки математических моделей функционирования ресурсов МВК с учетом отказов, отвечающие требованиям параметрической настраиваемости;

- получения аналитических соотношений для параметрической настройки элементарных моделей, учитывающих механизм влияния на процесс обработки различных типов отказов;

- разработки алгоритмов определения временных характеристик обработки заявок и показателей качества функционирования МВК, учитывающих влияние отказов аппаратуры и программные отказы;

- вывода функциональных уравнений и аналитических соотношений, позволяющих преобразовать многофазную СМО проблемного и системного уровней с ненадежными обслуживающими аппаратами (ОА) в эквивалентную СМО с надежными ОА.

Основная научная новизна предложенного автором подхода оценки вероятностно-временных характеристик МВК с помощью многоуровневых моделей заключается в обосновании применения аналитических методов расчета на структурном уровне. При сравнении результатов аналитического и имитационного моделирования впервые было установлено, что на аппаратном уровне (сетевая модель процессоров и каналов) при описании процессов обработки требований с учетом возникающих отказов реальные потоки заявок можно аппроксимировать пуассоновскими потоками. Это позволяет применить для расчетов известные формулы промежуточной теории массового обслуживания, осуществив предварительно декомпозицию модели аппаратного (структурного) уровня на элементарные аналитические модели процессора и каналов

. Такой эффект возникает из-за вложенности модели структурного уровня по отношению к модели проблемного уровня и из-за того, что ошибки аппроксимации потоков в элементарных моделях процессора и каналов взаимно компенсируют друг друга. Введение пуассоновских потоков на аппаратном уровне позволяет не только декомпозировать модель структурного уровня, но и осуществить декомпозицию семейства многоуровневых моделей на модели различных уровней.

2. Декомпозиция многоуровневых моделей

Взаимодействия между аппаратными и программными ресурсами МВК в процессе обработки заявок сводятся к двум видам. Первый вид взаимодействия передача заявок на обработку от ресурса к ресурсу, то есть взаимодействие через информационные потоки. Второй вид взаимодействия проявляется в изменении параметров законов обработки информации в отдельных ресурсах. Такие взаимодействия возникают при комплексировании ЭВМ с помощью адаптеров «канал-канал» и двухвходовых устройств управления внешними устройствами. Методы структурной декомпозиции, позволяют представить многомашинный ВК в виде совокупности подструктур, каждая из которых описывает структуру отдельной ЭВМ, входящей в МВК. Структурная декомпозиция основана на принципе корректировки функций распределения времени выполнения требований обрабатывающих программ на аппаратном уровне. При корректировке учитывается дополнительная задержка начала обслуживания требования, обусловленная обслуживанием требований альтернативного канала другой ЭВМ. Отметим, что методы структурной декомпозиции остаются в силе и при формализации процесса обработки с учётом отказов, если комплексирование осуществляется на уровне внешних устройств. Однако в этом случае при определении вероятности img того, что устройство комплексирования занято обслуживанием заявки альтернативного канала, необходимо учитывать дополнительные потоки, обусловленные отказами другой ЗВМ. Отметим, что при случайном характере запросов на обмен информацией img, где img стационарная загрузка устройства комплексирования заявками альтернативного канала. Необходимость структурной декомпозиции возникает в режиме распределения задач. Метод структурной декомпозиции в условиях отказов описывается следующей процедурой:

1. Осуществить декомпозицию МВК на подструктуры в условиях надёжной работы, пользуясь соотношением настройки:

img
(1)

где img преобразование Лапласа-Стильтьеса (ПЛС) функции распределения (ФР) времени обмена;

img ПЛС ФР времени дообслуживания заявки альтернативного канала.

2. Для каждой из подструктур определить загрузку устройства комплексирования с учётом дополнительных потоков, обусловленных отказами img. При определении дополнительных потоков в исходных данных вместо n-ых моментов img использовать img (определяется из соотношения (1)).

3. Осуществить корректировку моментов img с помощью соотношения (1), используя значение img, определенное в пункте 2.

4. Определить временные характеристики обработки заявок с учётом отказов в каждой из подструктур, учитывая результаты корректировки, выполненные в пункте 3.

Подход, согласно которому различные типы отказов учитываются с помощью различных моделей, совокупность которых образует семейство многоуровневых моделей, по сути дела является функциональной декомпозицией задачи анализа временных характеристик ВК с учётом отказов. Он позволяет значительно упростить задачу анализа и выявить наиболее существенные факторы, характеризующие надёжность при определении временных характеристик обработки заявок и при определении показателей качества функционирования ВК

,
,
,
. Необходимо ввести допущения, которые позволили бы произвести декомпозицию многоуровневых моделей на совокупность элементарных базисных моделей, что позволит разработать эффективные методы анализа. В частности, допущение о пуассоновском характере потоков на структурном уровне позволяет декомпозировать модель структурного уровня на элементарные модели процессоров и каналов, каждая из которых является СМО типа M/G/1 с абсолютными или относительными приоритетами. Дополнение моделей процессора и каналов интерфейсными моделями корректировки потоков и функций распределения времени выполнения требований обрабатывающих программ позволяет разработать эффективный аппарат анализа процесса обработки на структурном уровне многоуровневых моделей в условиях отказов. Более того, именно предположение о пуассоновском характере потоков на структурном уровне позволяет произвести декомпозицию многоуровневых моделей на модели различных уровней, которые можно анализировать независимо друг от друга. Взаимосвязь моделей осуществляется с помощью соответствующих уравнений настройки.

Интенсивность потока требований обрабатывающих программ к процессору и каналам определяется соотношениями:

img
(2)

где img  интенсивность потока заявок j-го типа;

img  число обращений i-ой программы к процессору при обработке j-ой заявки;

img  число обращений i-ой программы к каналу ввода-вывода при обработке j-ой заявки.

Отметим, что если i-ая программа не принадлежит треку обработки j-ой заявки (то есть маршрут j-ой заявки по обрабатывающим программам не включает i-ую программу), то img, img. Селекторный канал вместе с устройствами управления и внешними устройствами представляет собой один ресурс, поскольку моменты занятия и освобождения канала УУ и ВУ практически совпадают. В соответствии с концепциями операционной системы, требования одной и той же обрабатывающей программы не образуют очередей к процессору и каналам ввода-вывода. Поэтому при определении характеристик обработки требований программ на структурном уровне предположение о пуассоновском характере потоков относится к фоновым потокам других обрабатывающих программ и применяется для суммы потоков. Сходимость суммы рекуррентных потоков к пуассоновскому (теорема Хинчина-Ососкова

) на практике хорошо выполняется уже для 4-5 составляющих. Погрешность, обусловленная предположением о пуассоновском характере потоков на структурном уровне, находится в допустимых пределах. Отметим, что с помощью модели структурного уровня определяются только моменты времени выполнения требований обрабатывающих программ в процессоре и каналах. Моменты ФР времени выполнения обрабатывающих программ определяются дифференцированием по s соотношения:

img
(3)

где img  ПЛС ФР времени выполнения требований i-ой программы в процессоре;

img  в канале.

При разработке математического аппарата анализа модели проблемного уровня возникает ряд задач, которые можно разбить на следующие классы:

- задачи преобразования многофазных СМО с ненадёжными ОА в эквивалентные многофазные СМО с надёжными ОА;

- задачи построения аппроксимирующих функций распределения, учитывающих механизм обработки заявок в условиях отказов;

- задачи исследования возможности декомпозиции модели проблемного уровня на элементарные базисные модели {М/G/1} на основе допущения о пуассоновском характере потоков на проблемном уровне.

При определении времени выполнения требований обрабатывающих программ в процессоре и каналах в режиме мультипрограммирования в качестве исходных данных используются моменты ФР времени обработки этих требований img

Время обмена в канале определяется соотношениями:

img
(4)

где img  моменты ФР времени поиска информации на ВУ;

img  моменты ФР объема обмениваемой информации;

img – производительность канала, определяемая быстродействием обслуживаемого ВУ.

Моменты времени обработки требований в процессоре определяются выражением:

img
(5)

где img 1-ый и 2-ой моменты числа команд, выполняемых процессором при обработке требований i-ой программы;

img производительность процессора;

img коэффициент замедления производительности процессора.

Замедление производительности процессора при обработке команд обусловлено ожиданием запросов процессора к блокам оперативной памяти из-за конфликтов с каналами.

img 1.002 - 1.02 для различных типов ЭВМ. Поэтому при практическом использовании многоуровневых моделей можно принять img и не рассматривать командный уровень обработки заявок.

В общем виде задача формулируется следующим образом: при заданных интенсивностях поступления заявок на обработку в МВК, маршрутах прохождения заявок по обрабатывающим программам, распределении требований обрабатывающих программ по процессорам и каналам, характеристиках программ в однопрограммном режиме, директивных временах обработки заявок, приоритетах программ и заявок, параметрах, характеризующих отказы, определить вероятность обработки заявок к директивному сроку.

Модели и алгоритмы учёта сбоев рассмотрены в работах

,
,
.

3. Учет влияния программных отказов на процесс обработки заявок в ВК

В настоящее время в связи с возросшей сложностью программного обеспечения МВК и возрастанием его относительной стоимости по сравнению со стоимостью аппаратуры становится актуальной задача учета программных отказов при разработке моделей функционирования МВК. Надежность аппаратуры и надежность программного обеспечения (ПО) – две составляющие надежности вычислительного процесса.

Влияние программных и аппаратных отказов на практике часто оказывается эквивалентным и неразличимым. Однако за редким исключением, неизвестны модели, которые учитывают одновременно ошибки, вызываемые указанными двумя типами отказов. Введение резервирования на аппаратном уровне увеличивает относительное влияние программных отказов. Для учета программных отказов при определении характеристик обработки заявок в МВК необходимо выбрать модель поведения системы программного обеспечения при появлении ошибок, вызванных ошибками разработки ПО.

В качестве модели надежности ПО выберем кусочно-экспоненциальную модель программных отказов, в основе которой лежат статистически проверенные гипотезы о кусочно-экспоненциальном распределении времени наработки на отказ и пропорциональности интенсивности отказов количеству неисправленных ошибок img 

,
.

Учитывая значительные затраты времени на исправление ошибок и жесткие ограничения на время обработки заявок в специализированных МВК, можно считать, что при возникновении программного отказа с вероятностью, равной единице, заявка не может быть обработана в директивные сроки. Поэтому показатели качества функционирования МВК img с учетом программных отказов определяются из соотношения:

img
(6)

где img  ФР времени обработки j-го сообщения с учетом отказов аппаратуры;

img  вероятность того, что во время обработки j-го сообщения не произойдет программных отказов.

Учитывая пуассоновский характер программных отказов и то обстоятельство, что ошибка разработки обнаруживается только во время выполнения обрабатывающей программы, img можно определить из следующего соотношения:

img
(7)

где img  интенсивность программных отказов при выполнении i-ой обрабатывающей программы;

img  ФР времени обработки j-го сообщения i-ой программой в однопрограммном режиме.

Интенсивность программных отказов кусочно-экспоненциальной модели можно оценить по результатам тестирования, оценивая значение img.

img
(8)

где img – коэффициент пропорциональности;

img – первоначальное количество программных ошибок;

img – число ошибок, обнаруженных при тестировании.

Плотность вероятности для интервалов времени между ошибками, обнаруженными при тестировании img, для кусочно-экспоненциальной модели определяется выражением:

img
(9)

Соотношение (9) справедливо в том случае, если при устранении обнаруженных ошибок в программное обеспечение не вносят новые ошибки

,
. Параметры img и img определяются с помощью метода наибольшего правдоподобия. Функция правдоподобия имеет вид: img

Логарифмическая функция правдоподобия определяется выражением:

img
(10)

Заменив в (10) дискретный параметр img непрерывным img и приравняв частные производные img по img и img нулю, получим:

img
(11)
img
(12)

где img.

Из (11) и (12) следует:

img
(13)

Уравнение (13) можно решить относительно img численными методами. Корень уравнения img принадлежит интервалу img, где img и img целочисленные величины: img. Разность правой и левой частей уравнения (13) меняет знак при переходе от img к img, где img сколько угодно малая величина.

Параметр img определяется из соотношения (12), а параметр img равен целой части img. Отметим, что оценку параметра img можно получить также, используя данные по другим проектам, простые интуитивные модели и статистические модели, использующие принцип внесения определенного количества известных ошибок

. Соотношения (6) ÷ (13) позволяют учесть влияние программных отказов на показатели качества функционирования МВК при наличии ограничений на время обработки заявок. 

4. Методический подход учета отказов аппаратуры при оценке вероятностно-временных характеристик ВК

На структурном уровне при определении характеристик i-ой программы необходимо учитывать дополнительные потоки требований на обработку, обусловленные повторным выполнением фоновых обрабатывающих программ при отказах внешних устройств, не используемых i-ой программой. Полные отказы img, отказы, приводящие к переключениям на резервные элементы img, и зависания системы img воздействуют одновременно на все обрабатывающие программы и учитываются путем корректировки моментов ФР времени выполнения обрабатывающих программ на проблемном уровне.

Вероятность того, что во время обработки j-го сообщения i-ой программой не произойдет отказ внешних устройств, используемых i-ой программой, определяется соотношением:

img
(14)

где img  ФР времени пребывания i-ой заявки в процессоре;

img ФР времени пребывания i-ой заявки в канале.

Корректировка потоков требований к процессору и каналам, учитывающая дополнительные потоки требований, осуществляется с помощью соотношения:

img
(15)

Здесь img  интенсивность потока заявок j-го типа, поступающих на обработку в ВК.

img
(16)

Соотношения (14) ÷ (16) служат для настройки модели структурного уровня. Отметим, что при определении загрузки процессора и каналов необходимо учитывать дополнительные потоки, обусловленные отказами других типов img, что легко сделать, заменив в выражениях (14) – (15) img на img.

img

Влияние отказов при определении загрузки учитывается также с помощью уменьшения эквивалентной производительности процессора и каналов, учитывающего потери времени на восстановление системы. Вычисление загрузки является тривиальной задачей, поскольку для ее решения необходимо знать только интенсивность потока заявок и 1-ый момент ФР времени обработки поступающих требований. Существенно более сложной является задача определения временных характеристик и показателей качества функционирования ВК.

5. Преобразование моделей с ненадежными ОА в эквивалентные надежные модели

Процесс обработки заявок в модели проблемного уровня формализуется с помощью многофазной СМО. ОА модели проблемного уровня являются ненадежными. Обработка заявок в модели проблемного уровня осуществляется с относительными приоритетами. Моменты функции распределения времени обработки j-го сообщения i-ой программой img определяются с помощью модели структурного уровня с учетом дополнительных потоков требований imgimg–ой обрабатывающей программы img, обусловленных отказами внешних устройств, используемых img–ой программой, причем отказы этих устройств не приводят к потере работоспособности всей системы. Функции распределения img являются произвольными. В настоящее время не существует приемлемых аналитических методов, позволяющих анализировать многофазные приоритетные СМО с произвольными законами обслуживания. Учитывая то, что каждый ОА модели проблемного уровня является ненадежным и интенсивность отказов существенно меньше интенсивности поступления заявок на обслуживание, применение методов имитационного моделирования также оказывается неэффективным.

Поэтому для определения временных характеристик в модели проблемного уровня предлагается использовать комбинированный аналитико-имитационный метод анализа, при котором ненадежные ОА аналитическими методами сводятся к эквивалентным надежным, а затем производится имитация процесса обработки заявок в СМО с надежными ОА

.

Два обслуживающих аппарата называются эквивалентными, если равны первые два момента функций распределения времени обработки заявок в этих ОА.

В данном разделе рассматриваются вопросы преобразования ненадежных ОА проблемного уровня в эквивалентные надежные и вопросы аппроксимации функций распределения времени обработки заявок эквивалентными ОА.

Вводится корректор системного уровня, предназначенный для учета дополнительного времени приема заявки на обслуживание, если требование на обработку заявки генерируется во время восстановления ВК после отказа.

Преобразование Лапласа-Стильтьеса функции распределения времени обработки i–го сообщения j–ым ОА проблемного уровня с учетом отказов определяется следующим соотношением:

img
(17)

где img функция распределения времени обработки j–го сообщения i–ой программой (моменты ФР img определяются с помощью модели структурного уровня);

img ФР времени восстановления поле отказов.

Выражение (17) можно легко получить, воспользовавшись методом катастроф

. Действительно, img есть вероятность того, что во время обслуживания j–го сообщения i–ым ОА проблемного уровня катастрофы не наступят. Для этого достаточно, чтобы во время обслуживания j–го сообщения не произошли ни катастрофы, ни отказы. Вероятность этого события равна img. Либо во время обслуживания наступила или катастрофа, или отказ. Вероятность этого события: img. Причем наступившее событие является отказом, вероятность равна img. Во время восстановления системы после отказа катастрофы не наступали (вероятность img) и во время обслуживания j–го сообщения после восстановления системы катастрофы не наступили (вероятность img). Моменты img функции распределения img определяются путем дифференцирования по s выражения:

img
(18)

При получении аналитических выражений для img аппроксимируем функцию распределения img гамма-распределением и проведем соответствующие преобразования с выражением (18). Плотность img для гамма–распределения определяется следующим соотношением

:

img
(19)

Параметры img и img следующим образом связаны с первыми двумя моментами функции распределения img:

img
(20)

Отметим, что преобразование Лапласа-Стильтьеса гамма–распределения определяется выражением:

img
(21)

Используя аппроксимирующее гамма – распределение img и учитывая (21), получим:

img
(22)

Используя соотношения (19) и (22), получим следующее выражение для img:

img
(23)

Дифференцируя (23) по s и произведя соответствующие выкладки, получим следующие соотношения для моментов функции распределения img:

img
(24)
img
(25)
img
(26)

В предельном случае img формулы (24), (25) и (26) описывают моменты img, когда img имеет экспоненциальное распределение img. После соответствующих преобразований в этом случае получим для моментов img выражения:

img
(27)

Выражения (27) совпадают с известными соотношениями для img и img при img

, что подтверждает справедливость (24) и (25). После корректировки моментов функции распределения времени обработки сообщений с помощью выражений (20), (24), (25) и (26) обслуживающие аппараты проблемного уровня сводятся к эквивалентным надежным. Строго говоря, приведенные выше соотношения позволяют свести ненадежные ОА к эквивалентным ОА, отказывающим в свободном состоянии. Однако из физических соображений очевидно, что при передаче обрабатываемой заявки на следующую фазу обслуживания, ОА, даже если он свободен, находится в работоспособном состоянии. Это связано с тем, что отказы действуют одновременно на все ОА проблемного уровня.

Для учета дополнительного времени ожидания приема заявки на обслуживание в ВК во время восстановления системы после отказа вводится вспомогательная модель корректировки входов модели проблемного уровня. Вспомогательная модель образует верхний системный уровень обработки заявок. Верхний уровень представляется ОА, отказывающим в свободном состоянии с интенсивностью обслуживания поступающих заявок, стремящейся к бесконечности. Моменты функции распределения дополнительного времени ожидания заявки типа j определяются соотношениями

:

img
(28)

где img и img  производные по z производящей функции img при z = 1.

img

где img вероятность того, что n–я заявка, покидая систему после окончания обслуживания, оставляет в ней k заявок.

img и img – моменты ФР времени обработки заявки в ОА. В установившемся режиме img и img определяются выражениями:

img
(29)

где img  интенсивность поступления в систему заявок j–го типа;

img - вероятность того, что за одну длительность жизни прибора вызовы не поступят.

Из (28) и (29), учитывая, что img, получим следующие выражения для первых двух моментов дополнительного времени ожидания:

img
(30)

Для каждого ОА необходимо выбрать соответствующее аппроксимирующее распределение. Отметим, что если коэффициент вариации ФР img, моменты которой определяются с помощью модели структурного уровня, как правило, меньше единицы img, то коэффициент вариации ФР img, как правило, больше единицы. Кроме того, повторение обработки заявки обрабатывающей программой после восстановления системы, если произошел отказ, может приводить к тому, что плотность распределения img не является унимодальной функцией и может иметь несколько экстремумов. Поэтому аппроксимация img двухпараметрическим распределением, например, гамма-распределением, может приводить иногда к значительным погрешностям при определении дисперсии времени обработки заявок в ВК и вероятности обработки запросов в заданные директивные сроки.

Как показано в работах

,
, любое распределение можно сколь угодно точно аппроксимировать гиперэрланговским распределением. Учитывая, что при целочисленных значениях параметра img (выражения (21) и (22)), гамма-распределение совпадает с распределением Эрланга img и, кроме того, гамма-распределение в отличие от распределения Эрланга может иметь коэффициент вариации С > 1, будем аппроксимировать img смесью гамма-распределений. Параметры аппроксимирующего распределения выберем, рассматривая механизм обработки заявки ОА с учетом возникающих отказов.

Вначале, используя соотношение (20) по моментам img и img, определенным с помощью модели структурного уровня, выберем параметры гамма-распределения, с помощью которого аппроксимируется функция распределения img.

Вероятность того, что во время обработки j–ой заявки i–ым ОА проблемного уровня не произойдет отказ равна:

img
(31)

Зная значение img, легко определить вероятность того, что во время обработки заявки произойдет ровно n отказов:

img
(32)

В работе

получены выражения для преобразований Лапласа-Стильтьеса условной функции распределения времени наработки на отказ img (img  время наработки на отказ, img – время обработки заявки) и условной функции распределения времени обработки заявки img. Воспользовавшись этими результатами получим:

img
(33)
img
(34)
img
(35)
img
(36)

Преобразование Лапласа-Стильтьеса условной функции распределения времени обработки заявки img при условии, что произошло n отказов определяется выражением:

img
(37)

Аппроксимирующее распределение для img имеет вид:

img
(38)

где img гамма-распределение, аппроксимирующее условную ФР img.

Моменты img определяются путем дифференцирования (37) по img с использованием соотношений (34) и (36). Параметры аппроксимирующего распределения img определяются из выражений (22).

Параметр img определяется из условий нормировки:

img
(39)

img  гамма распределение, параметры которого определяются из условий равенства первых двух моментов img соответствующим моментам результирующего аппроксимирующего распределения (38). Отметим, что если точность аппроксимации недостаточна, в результирующее распределение следует добавить член img и т.д.

6. Заключение

Разработаны принципы функциональной и структурной декомпозиции формализованных моделей МВК и проведена декомпозиция многоуровневых формализованных моделей на совокупность элементарных базисных моделей, описывающих различные ресурсы МВК.

Получены аналитические соотношения для параметрической настройки элементарных моделей, учитывающие механизм влияния на процесс обработки различных типов отказов.

Впервые с системных позиций рассмотрен подход по использованию моделей, характеризующих отказы, совместно с сетевыми многоуровневыми аналитическими и аналитико-имитационными моделями оценки вероятностно-временных характеристик МВК с учетом различных типов программных и аппаратных отказов.

Рассмотренные выше модели явились основой для разработки системы автоматизации проектирования МВК информационно-аналитических центров на базе многоуровневых аналитических и аналитико-имитационных моделей

,
,
, предназначенных для многовариантного анализа проектных решений при выборе рациональных режимов работы аппаратных и программных ресурсов вычислительной системы.

Article metrics

Views:94
Downloads:0
Views
Total:
Views:94