Algebraic Criterion and Robustness of the Stability Margin of a Discrete Dynamic System

Задача определения запаса устойчивости любой конкретной реальной системы (т.е. степень удаления параметров системы от границы устойчивости) является очень важной задачей, т.к. позволяет определить область работоспособности системы в пространстве ее параметров. К настоящему времени большинство работ, посвященных определению запасов устойчивости, в основном связаны с исследованием непрерывных динамических систем

В настоящей работе рассматривается задача об определении робастности запаса устойчивости в пространстве параметров для дискретных систем с использованием алгебраического критерия устойчивости, что является возможным благодаря пересчету параметра, характеризующего запас устойчивости, в коэффициенты характеристического полинома. Рассмотрен пример установления робастности запаса устойчивости в случае характеристического полинома четвертого порядка.

Запас устойчивости дискретных динамических систем может быть охарактеризован параметром  таким, что , где  – корни характеристического полинома

(1)

Поскольку устойчивость (1) имеет место при , задача обеспечения заданного запаса устойчивости является более общей задачей по отношению к определению условий устойчивости характеристического полинома. Параметр  можно ввести формально в (1) за счет замены . В этом случае при любом  корни полинома должны лежать в единичном круге, т.е. так, как это имеет место при исследовании устойчивости. При таком подходе

(2)

где

(3)

Наличие простых соотношений (3) позволяет воспользоваться схемой

Поскольку необходимо исследовать вопрос об устойчивости интервального полинома , нам потребуется решить вопрос о расположении его корней относительно единичного круга. Вообще говоря, сведения о расположении корней характеристического полинома относительно единичного круга являются исходными при решении многих прикладных проблем, в частности, задачи о длительности переходных процессов в дискретной динамической системе. В случае числового задания коэффициентов полинома для решения этого вопроса могут быть использованы как алгебраические критерии устойчивости

В работе

При  опорные значения коэффициентов , при которых будет проводиться счет, могут быть заданы соотношениями  , а погрешность  –

(4)

Из теоремы работы

Теорема. При выполнении условий

(5)

где  задается формулой (4), а для остальных  (j= 1,2,...,n-1) имеют место рекуррентные формулы

(6)

где , , , а величины   определяются рекуррентными соотношениями

(7)

(8)

полином  имеет столько же корней внутри и вне единичного круга, сколько и полином  с коэффициентами . 

Следствие. При выполнении условий теоремы полином  имеет столько же корней внутри и вне круга радиуса , сколько и полином  с коэффициентами .

Приведенные утверждения означают, что если полином  устойчив (а значит, полином  имеет запас устойчивости ), то и все семейство полиномов (1) имеет тот же запас устойчивости. Конечно, оба приведенных выше утверждения носят достаточный характер. Если условия их не выполняются, то мы не можем утверждать, что число корней полиномов  и  внутри единичного круга различно (т.е. число корней полиномов  и  внутри и вне круга радиуса  различно). Но в этом случае можно воспользоваться более детальными теоремами

Пример. Рассмотрим в качестве примера интервальный полином

(9)

где , , , , . Тогда полином  будет иметь вид

(10)

Корнями (10) являются , , . То есть полином (10) удовлетворяет ограничению . Проверим, будет ли  запасом устойчивости для всего семейства полиномов (9).

Введем значение параметра  в (10) за счет замены . Получим полином

(11)

Значение  будет равно 0,01.

Проверку выполнения условий теоремы можно сделать более наглядной, если, подобно

Из приведенной таблицы видно, что если величина  (предпоследний столбец таблицы), то условия теоремы выполняются и, следовательно, для любого полинома семейства (9) будет обеспечен запас устойчивости .

Замечание

Если бы величина  была равна , т.е. рассматривался интервальный полином (9), где , , , , (последний столбец таблицы), то условия теоремы были бы не выполнены, т.к. , и нельзя было бы сделать вывод о запасе устойчивости семейства полиномов.

Представленная работа посвящена вопросу о сохранении запаса устойчивости интервально неопределенной дискретной системы в случае, если этот запас устойчивости обеспечен для системы с конкретными значениями параметров. Это означает не только заданную степень удаленности параметров систем всего семейства, определяемого интервальностью коэффициентов, от границы области устойчивости, но и ограничение на длительность переходных процессов в линеаризованных системах семейства. При этом в работе получены условия, при выполнении которых все полиномы интервально неопределенного семейства будут иметь одинаковое число корней внутри и вне круга радиуса  (и, в частности, единичного круга). Также приведены достаточные условия, при выполнении которых запас устойчивости некоторого конкретного характеристического полинома для дискретной системы может обеспечиваться и для семейства полиномов, определяемых интервальностью коэффициентов. При получении этих условий был использован алгебраический критерий устойчивости относительно единичного круга, доказанный в работе