PONTRYAGIN’S MAXIMUM PINCIPLE FOR A STATE-CONSTRAINED OPTIMAL CONTROL PROBLEM GOVERNED BY A BIHARMONIC EQUATION

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2022.119.5.042

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ БИГАРМОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Научная статья

Сугак Д.В.^*

ORCID: 0000-0002-5405-5360,

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, Россия

^* Корреспондирующий автор (dima_sou[at]mail.ru)

Аннотация

В статье рассмотрена задача оптимального управления бигармоническим уравнением с фазовыми ограничениями. Сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. Этот результат может быть полезен как для организации последующей вычислительной процедуры типа метода последовательных приближений, так и для качественного анализа задачи, возможно, не приводящего к окончательному ответу, но устанавливающего важные свойства решения, то есть оптимального процесса. Отметим также, что бигармонические уравнения, описывающие здесь поведение объекта управления, постоянно возникают в задачах математической теории упругости и связанных с ними задачах оптимизации. Наличие фазовых ограничений в постановке рассматриваемой задачи оптимального управления как правило существенно осложняет процесс отыскания ее решения.

Ключевые слова: принцип максимума Понтрягина, бигармоническое уравнение, оптимальный процесс.

PONTRYAGIN’S MAXIMUM PINCIPLE FOR A STATE-CONSTRAINED OPTIMAL CONTROL PROBLEM GOVERNED BY A BIHARMONIC EQUATION

Research article

Sugak D.V.^*

ORCID: 0000-0002-5405-5360,

Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Saint-Petersburg, Russia

^* Corresponding author (dima_sou[at]mail.ru)

Abstract

The article considers the problem of optimal control of biharmonic equation with constraint on the state. The necessary condition of optimality in the form of the Pontryagin's maximum principle was formulated and proved. This result can be useful both for organizing a subsequent computational procedure of successive approximations method, and for qualitative analysis of the problem, perhaps not leading to a final answer, but establishing important components of the solution, meaming an optimal process. It must also be noted that the biharmonic equations describing the features of the optimal control object constantly arise in problems of the mathematical theory of elasticity and related problems of optimization. Phase limitations in setting the optimal control within the problem in question, tend to make it difficult to find a solution.

Keywords: Pontryagin's maximum principle, biharmonic equation, optimum process.

Введение

Принцип максимума [1] в математической теории управления, сформулированный и доказанный Л.С. Понтрягиным и его сотрудниками В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко для задач оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами, то есть системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одним из самых известных и самых цитируемых результатов в современной математике. Необходимо отметить, что открытие принципа максимума произошло под влиянием запросов прикладных задач, оказавшихся полностью недоступными для решения методами классического вариационного исчисления. Непригодность вариационного исчисления в данной ситуации легко объясняется тем, что подавляющее большинство прикладных технических задач описывались дифференциальными уравнениями, линейными относительно управляющих параметров. Тем самым принцип максимума Понтрягина связал классическое вариационное исчисление с огромным количеством современных прикладных исследований оптимизационных задач. Среди них здесь особо отметим задачи с распределенными параметрами, то есть задачи оптимизации в математической физике, которые сегодня становятся все более актуальными.

Благодаря прикладному и общенаучному значению перехода теории оптимального управления от приложений в задачах классической механики к приложениям в гидродинамике, газодинамике и обширном поле других физических исследований, вскоре после основополагающей публикации принципа максимума Понтрягина [1] появилось большое количество его «перенесений» на различные прикладные задачи оптимального управления для систем с распределенными параметрами. В данной статье рассмотрена одна из таких задач. Предполагается, что поведение объекта управления описывается бигармоническим дифференциальным уравнением [2]. Данный класс уравнений в частных производных является частью более широкого класса полигармонических уравнений [2], [3] и активно используется во многих задачах математической теории упругости [4]. Следует также отметить, что в статье рассматривается случай фазовых ограничений, которые заметно усложняют задачу. Такие ограничения требуют, чтобы фазовый вектор системы не покидал заданного множества. Задачи оптимального управления уравнениями в частных производных при наличии фазовых ограничений вызывают повышенный интерес в настоящее время. В подтверждение этого факта можно указать, например, следующие публикации в ведущих международных математических журналах [5], [6], [8], [9].

Постановка задачи и формулировка основного результата

Доказательство Теоремы 1.

Задача оптимального управления (1)-(3) представляет собой частный случай более общей задачи оптимального управления, рассмотренной в [12]. Поясним, что в [12] исследовалась задача, в которой объект управления описывался системой уравнений произвольного порядка эллиптической в одной из наиболее широких трактовок этого понятия, а именно эллиптической в смысле Даглиса - Ниренберга. Системы такого типа охватывают большинство встречающихся в приложениях эллиптических систем, в том числе и системы бигармонических уравнений. Соотношения (4)-(6) в утверждении сформулированной здесь теоремы 1 представляют собой необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, а их справедливость следует из доказанной в [12, §3] теоремы 3.1. Отметим здесь, что доказательство соотношений (4)-(6) теоремы 1 основано на проверке выполнения условий 3.1-3.8 в [12, §3], которые в свою очередь являются предположениями теоремы 3.1 в [12, §3]. В случае управляемого бигармонического уравнения в задаче (1)-(3) нетрудно проверить, что условия 3.1-3.8 [12, §3] выполнены.

Заключение

В статье рассмотрена задача оптимального управления, в которой поведение объекта управления описывается бигармоническим уравнением. В постановке задачи присутствуют фазовые ограничения, требующие, чтобы фазовый вектор системы управления не покидал заданного множества. Сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в рассматриваемом случае.

Конфликт интересов	Conflict of Interest
Не указан.	None declared.

 

Список литературы / References

1. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и др. – М.: Наука, 1983. -392 с.
2. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. – М., Высшая школа, 1977. – 431 с.
3. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. – М.: Физматлит, 1948. -296 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1966. -708 с.
5. Casas E. Second-Order and Stability Analysis for State-Constrained Elliptic Optimal Control Problems with Sparse Controls / E. Casas, F. Troltzsch // SIAM Journal on Control and Optimization. Vol. 52. -pp. 1010 - 1033.
6. Gugat M. Penalty Techniques for State-Constrained Optimal Control Problems with the Wave Equation / M. Gugat // SIAM Journal on Control and Optimization. Vol. 48. -pp. 3026 - 3051.
7. Casas E. Critical cones for sufficient second order conditions in PDE constrained optimization / E. Casas, M. Mateos // SIAM J. Optim. Vol. 30. -pp. 585 - 603
8. Bonnans J. Asymptotic Expansion for the Solutions of Control Constrained Semilinear Elliptic Problems with Interior Penalties / J. Bonnans, F.Silva // SIAM J. Control Optim. Vol. 49. -pp. 2494 - 2517.
9. Antil H. Optimal control of fractional elliptic PDEs with state constraints and characterization of the dual of fractional-order Sobolev spaces / H. Antil, D. Verma, M. Warma // Journal of optimization theory and applications. Vol. 186. -pp. 1 - 23.
10. Макаров Б.М. Лекции по вещественному анализу / Б.М. Макаров, А.Н. Подкорытов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 688 с.
11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. – 5-е издание. – М.: Наука, 1988. - 512 с.
12. Сугак Д.В. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления системой эллиптического типа высокого порядка с фазовыми ограничениями / Д.В. Сугак // Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика. №3. – 2000. – с. 57 – 69.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Pontryagin L.S. Matematicheskaja teorija optimal'nyh processov [Mathematical theory of optimal processes] / S. Pontryagin, V.G. Boltyansky, R.V. Gamkrelidze et al. – M.: Nauka, 1983. -392 p. [in Russian]
2. Mikhlin S.G. Linejnye uravnenija v chastnyh proizvodnyh [Linear partial differential equations] / S.G. Mikhlin. – M., Higher School, 1977. – 431 p. [in Russian]
3. Vekua I.N. Novye metody reshenija jellipticheskih uravnenij [New methods for solving elliptic equations] / I.N. Vekua. – M.: Fizmatlit, 1948. -296 p [in Russian]
4. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoj teorii uprugosti [Some basic problems of the mathematical theory of elasticity] / N.I. Muskhelishvili. – M.: Nauka, 1966. -708 p. [in Russian]
5. Casas E. Second-Order and Stability Analysis for State-Constrained Elliptic Optimal Control Problems with Sparse Controls / E. Casas, F. Troltzsch // SIAM Journal on Control and Optimization. Vol. 52. -pp. 1010 - 1033.
6. Gugat M. Penalty Techniques for State-Constrained Optimal Control Problems with the Wave Equation / M. Gugat // SIAM Journal on Control and Optimization. Vol. 48. -pp. 3026 - 3051.
7. Casas E. Critical cones for sufficient second order conditions in PDE constrained optimization / E. Casas, M. Mateos // SIAM J. Optim. Vol. 30. -pp. 585 - 603
8. Bonnans J. Asymptotic Expansion for the Solutions of Control Constrained Semilinear Elliptic Problems with Interior Penalties / J. Bonnans, F.Silva // SIAM J. Control Optim. Vol. 49. -pp. 2494 - 2517.
9. Antil H. Optimal control of fractional elliptic PDEs with state constraints and characterization of the dual of fractional-order Sobolev spaces / H. Antil, D. Verma, M. Warma // Journal of optimization theory and applications. Vol. 186. -pp. 1 - 23.
10. Makarov B.M. Lekcii po veshhestvennomu analizu [Lectures on real analysis] / B.M. Makarov, A.N. Podkorytov. – St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2011. - 688 p [in Russian]
11. Vladimirov V.S. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics] / V.S. Vladimirov. - 5th edition. – Moscow: Nauka, 1988. - 512 p. [in Russian]
12. Sugak D.V. Princip maksimuma Pontrjagina dlja zadachi optimal'nogo upravlenija sistemoj jellipticheskogo tipa vysokogo porjadka s fazovymi ogranichenijami [Pontryagin maximum principle for optimal control of a high-order elliptic type system with phase constraints] / D.V. Sugak // Vestnik molodyh uchenyh. Serija: Prikladnaja matematika i mehanika [Bulletin of Young Scientists. Series: Applied Mathematics and Mechanics]. 3. – 2000. – pp. 57-69. [in Russian]