Boundary value problem for partial derivative equation with argument deviation
Boundary value problem for partial derivative equation with argument deviation
Abstract
In this work, the boundary value problem for a differential equation with a deviating argument, namely with an argument transformation which is an involution, is studied. Differential equations with a deviating argument occur in the modelling of various physical and geophysical processes, economic problems, and are important in the description of medical models, where the deviation of the argument is of particular importance. The question of solvability of the problem in the required class of functions, by the method of separation of variables, is reduced to the solvability of the equivalent problem for an ordinary differential equation with an involutive deviation of the argument. The theorems establishing existence and uniqueness of the solution of the problem under study are proved.
1. Введение
Тщательное изучение мира вокруг нас приводит к тому, что скорость процессов в физических системах определяется не только их текущим состоянием, но и предысторией этих процессов. Эти факторы неизбежно приводят к появлению в дифференциальных уравнениях некоторого отклонения аргумента. Хорошо известно, что дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом является дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента. Дифференциальные уравнения с аргументом, имеющим отклонение, находят широкое применение в теории автоматического управления, при исследовании вопросов горения в ракетных двигателях, в исследованиях систем с автоколебаниями, при рассмотрении задач долгосрочного прогнозирования в экономике, а также в ряде биофизических исследований и других научно-технических областях, которые постоянно расширяются .
Систематическое исследование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом было начато в середине прошлого века отечественными учеными Л.Э. Эльсгольцем , С.Б. Норкиным , А.Д. Мышкисом , а также зарубежным исследователями Р. Беллманом и Дж. Хейлом . С того времени актуальность их применения, сложность и новизна возникающих задач привлекали и продолжают привлекать к дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом множество исследователей.
Современная математическая литература изобилует трудами, как российских, так и зарубежных ученых, посвященными исследованию краевых задач для уравнений с отклоняющимся аргументом. В качестве примера приведем лишь некоторые публикации последних лет, ярко демонстрирующие актуальность данной проблематики (см. также приведенные в них ссылки). В работе
получены оценки решения краевой задачи для неявного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Исследованию нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием и периодическими коэффициентами в линейной части посвящена работа , в которой установлены условия асимптотической устойчивости тривиального решения. К такому классу уравнений относится уравнение колебаний перевернутого маятника, точка подвеса которого совершает произвольные периодические колебания вдоль вертикальной линии. В статье анализируется функционально-дифференциальное уравнениеСреди быстро развивающихся направлений в области дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом можно выделить исследования, посвященные разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений, преобразования аргументов которых являются инволюциями. Инволюцией или инволютивным отображением называется отображение для которого
. Основные виды инволюции приведены в работе .
Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением аргумента были упомянуты в работе Чарльза Бэббиджа, опубликованной в 1816 году
. Необходимо отметить, что такие уравнения встречаются в различных геометрических задачах , а также в задачах, связанных с теорией фильтрации и изучением субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации .В настоящее время в математической литературе имеются многочисленные работы, в которых ставятся и исследуются краевые задачи как для обыкновенных дифференциальных уравнений с инволюцией
, , так и для уравнений в частных , и дробных производных , с инволютивным отклонением аргумента (см. также источники, указанные в этих работах). В большинстве этих работ рассматриваемые уравнения либо имеют специальный вид, либо же инволюция в них является линейной.В данной работе исследуется разрешимость краевой задачи для одного частного случая инволютивного отклонения аргумента. В отличие от ранее проведенных исследований, данная работа посвящена изучению разрешимости краевой задачи при определенном отклонении аргумента , представляющем особый интерес. Впервые это отклонение аргумента было представлено в работе .
Таким образом, настоящая цель данного исследования заключается в изучении краевой задачи для дифференциального уравнения с аргументом, имеющим отклонение, а именно с инволютивным отклонением аргумента вида .
2. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
в конечной прямоугольной области , где
— заданные действительные числа, причем
,
.
В данной области исследована следующая
Задача 1. Определить функцию , являющуюся решением уравнения (1) и такую, что удовлетворяет условиям
где — заданная достаточно гладкая функция,
,
.
Хорошо известно, что данная задача достаточно подробно изучена в случае отсутствия в уравнении инволютивного отклонения аргумента.
3. Исследование разрешимости задачи
Решение задачи (1)–(3) будем искать методом разделения переменных, а именно в виде
где определяются из соотношений
где
Исследование задачи (4)–(5) будем проводить аналогично методу, предложенному в работе .
Продифференцировав обе части уравнения (4), получим
С другой стороны из (4) при будем иметь
Подставляя (7) в (6), а также учитывая (5) задача (4), (5) сведется к следующей эквивалентной ей начальной задаче: найти решение уравнения
удовлетворяющее условиям (5) и
С учетом результатов, приведенных в , общее решение уравнения (8) имеет вид:
Тогда, удовлетворяя в неподвижной точке условиям (5), (9), получим
откуда имеем
,
.
Следовательно, единственное решение задачи (8), (5), (9) представимо в виде:
Непосредственной подстановкой (10) в (4) и (5) не трудно убедиться, что данная функция также представляет собой решение задачи (4) и (5).
Таким образом, для задачи (4), (5) доказана следующая
Теорема 1. Решение обыкновенного дифференциального уравнения (8) с начальными условиями (5) и (9) будет также решением задачи (4), (5) и имеет вид (10).
Следовательно, искомым решением задачи (1)–(3) будет функция:
Лемма 1. Если функция удовлетворяет условиям
,
,
, то для нее справедлива оценка:
где
Доказательство. Трижды применив метод интегрирования по частям к интегралу
и учитывая условия леммы 1 на функцию , будем иметь
где
Используя неравенство Бесселя, а также учитывая свойство непрерывности функции на отрезке
, согласно условиям леммы 1 легко убедиться, что ряд сходится
Доказательство леммы завершено.
Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1, тогда для любого и
при достаточно больших значениях
верными являются нижеследующие оценки:
где .
Доказательство. Для доказательства теоремы найдем производные и
, получим:
На основе леммы 1, нетрудно подтвердить правильность следующих оценок:
где
Доказательство теоремы завершено.
Теорема 3. Если существует решение задачи (1)–(3), то оно единственно для любого .
Доказательство. Действительно, пусть тогда на основании равенства (11) и в силу полноты системы
,
в пространстве
, будем иметь
Следовательно, убеждаемся в том, что для однородной задачи (1)-(3) существует лишь тривиальное решение. Из этого вытекает, что задача (1)–(3) имеет единственное решение.
Теорема доказана.
Таким образом, если выполняются условия теоремы 2 и теоремы 3, то существует единственное решение задачи (1)–(3), и оно может быть представлено в виде суммы сходящегося ряда (11), где
4. Заключение
В настоящей работе для одного частного случая инволютивного отклонения аргумента впервые предложена и исследована разрешимость краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных. Применяя метод разделения переменных, вопрос о разрешимости задачи в искомом классе функций был сведен к разрешимости эквивалентной ей задаче для обыкновенного дифференциального уравнения с инволютивным отклонением аргумента. Полученные в работе результаты могут быть оценены как с теоретической точки зрения, поскольку позволяют ответить на некоторые вопросы, связанные с краевыми задачами для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, так и с прикладной точки зрения, в связи со значительным спектром прикладных задач, сводящихся к уравнениям с отклоняющимся аргументом.