IMPROVEMENT OF TEACHING HIGHER MATHEMATICS IN TECHNICAL UNIVERSITY

Малыгина О.А.

ORCID: 0000-0002-6340-5959, Кандидат педагогических наук, доцент,

Московский технологический университет

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОБУЧЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

Аннотация

В статье описана экспериментальная модель обучения студентов технического университета высшей математике. Выделены компетенции для технических направлений подготовки бакалавров и специалистов, формируемые в курсе высшей математики. Сформулированы принципы экспериментального обучения. Рассмотрены особенности содержания экспериментального курса высшей математики на примере раздела «Линейное пространство». Описаны методические материалы, обеспечивающие формирование выделенных компетенций. Результаты исследования использованы в Московском технологическом университете.

Ключевые слова: высшая математика, системный анализ, деятельность, компетенция, линейное пространство.

Malygina O.A.

ORCID: 0000-0002-6340-5959, PhD in Pedagogy,

Moscow Technological University

IMPROVEMENT OF TEACHING HIGHER MATHEMATICS IN TECHNICAL UNIVERSITY

Abstract

The article describes the experimental model of teaching higher mathematics of students in a technical university. Competences for technical directions of training bachelors and specialists, formed in the course of higher mathematics, are difined. The principles of experimental learning are formulated. The features of the contents of the experimental course of higher mathematics on the example of the Linear space section are considered. Methodical materials providing formation of the defined competences are described. The results of the research are used at the Moscow Technological University.

Keywords: higher mathematics, system analysis, activity, competence, linear space.

Перед техническими университетами поставлена цель обеспечить подготовку компетентных профессионально мобильных кадров, способных продуктивно работать в высокотехнологичных отраслях, развивать отечественную науку и производство c учетом современных достижений в экономике и моделировании [9]. Значительную роль здесь играют фундаментальные дисциплины, в частности, высшая математика.

Традиционная объяснительно-иллюстративная модель обучения высшей математике бакалавров и специалистов технического университета имеет определенные недостатки. При построении содержания курса обычно ограничиваются изложением математических понятий и доказательством теорем [2]. Система учебно-познавательных задач направлена на изучение только математических методов. Прикладные вопросы, связанные с аспектами будущей профессиональной деятельности обучаемого, не рассматриваются [8], [11], не обеспечивается полноценное формирование целого ряда компетенций. Устранение выделенных недостатков предполагает совершенствование обучения высшей математике.

Автором разработана экспериментальная модель обучения высшей математике студентов технического университета. Речь пойдет о подготовке бакалавров по направлениям «11.03.04-Электроника и наноэлектроника», «12.03.02-Оптотехника», «11.03.01-Радиотехника», «11.03.02-Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «11.03.03-Конструирование и технология электронных средств» и специалистов по специальностям «11.05.01-Радиоэлектронные системы и комплексы», «12.05.01-Электронные и оптико-электронные приборы». На основе анализа федеральных государственных стандартов (ФГОС3+) выделены общекультурные компетенции ОК-1 (способность к абстрактному мышлению, анализу и синтезу) и ОК-2 (готовность к саморазвитию, самореализации, использованию творческого потенциала); общепрофессиональные компетенции ОПК-3 (способность представлять адекватную современному уровню знаний научную картину мира на основе законов и методов естественных наук и математики) и ОПК-4 (способность  выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат); профессиональная компетенция ПК-5 (способность выполнять математическое моделирование объектов и процессов по типовым методикам, в том числе с использованием стандартных пакетов прикладных программ). Формирование этих компетенций начинается в процессе изучения высшей математики с первого курса технического университета.  

Экспериментальное обучение строится на основе следующей системы принципов: построение содержания курса высшей математики в логике системного исследования; описание математического содержания в единстве общего, особенного и частного; оптимальное сочетание фундаментальности и профессиональной направленности обучения высшей математике; принцип предметной деятельности учащегося; принцип развивающего обучения; интеграция технологий обучения. Детально система принципов описана в работах автора [5], [6].

Обучение высшей математике в соответствии с описанными принципами предполагает существенные изменения в изложении математического материала и в организации его усвоения по сравнению с традиционной моделью. Движение по предмету разворачивается в логике системного исследования математических объектов. Описание содержания обучения строится посредством многоуровневой системы понятий. Используются понятия системного подхода [1], общие математические понятия и термины конкретного математического раздела.

В качестве примера рассмотрим изложение раздела «Линейное пространство». Математический объект, подлежащий изучению, - это «линейное пространство». Его структура создается из различных элементов, например, «матриц», «функций», «геометрических векторов». Аксиомы линейного пространства выступают системообразующими связями. Если в этой системе рассматривать в качестве элементов многочлены, то речь пойдет о таком виде системы (подсистемы), как линейное пространство многочленов. Если элементами служат матрицы, то изучается линейное пространство матриц. Конкретные математические методы позволяют находить базис, размерность изучаемой подсистемы, работать с преобразованиями (линейными операторами) в рамках ее частного вида. Изучение высшей математики на основе системного анализа открывает студентам важные методологические понятия (система, структура, системообразующие связи и др.). Системный анализ представляет структуру системы как инвариантное понятие. Математика через описание различных алгебраических структур (структура линейного пространства, поля, группы) демонстрирует их конкретное выражение в зависимости от элементов и системообразующих связей.

Линейное пространство и его конкретные виды широко используются в аналитической геометрии, математическом анализе, дифференциальных уравнениях. В экспериментальной модели такие межпредметные связи открываются учащимся посредством введения прикладных задач. Так, предлагается сюжетная задача из курса физики, сводящаяся к системе линейных неоднородных уравнений. Полученное решение системы структурируется и раскрывается через взаимосвязи с пространством решений соответствующей однородной системы. Изучение свойств линейного пространства непрерывных функций закладывает основы успешного усвоения теории дифференцирования, интегрирования, теории рядов.

Представление математического объекта с позиций системного анализа открывает взаимозависимости между элементарной (школьной) и высшей математикой. Например, рассмотрение конкретного вида системы «линейное пространство» предполагает умение находить координаты векторов и их длины на базе школьной планиметрии. При нахождении базиса пространства используются известные еще со школы методы решения систем уравнений. Исследование квадратичной формы с параметром, заданной в линейном пространстве, строится на умении работать с неравенствами.

Для студентов новым и интересным моментом становится использование системного подхода в курсе высшей математики, что значительно развивает мотивационные аспекты обучения. Абстрактные методологические термины наполняются конкретным содержанием. Что касается   математических понятий, то для студентов они подразделяются на «известные» и «новые». Среди первых (известных) фигурируют понятия по элементарной алгебре и геометрии, например, уравнение, неравенство, функция и др. Новыми для обучающихся выступают общие термины высшей математики и понятия конкретного раздела аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и т.д. В этом случае даются строгие математические определения (определитель матрицы, линейное пространство, базис, линейный оператор, предел функции и др.). Свойства изучаемой математической системы раскрываются посредством теорем и специальных математических методов. В рассматриваемом контексте высшая математики предстает во взаимосвязи с методологией познания, показывается движение математической науки от элементарного знания (школьный уровень) к высшей математике (уровень технического университета).

В экспериментальной модели особое место отводится системе учебно-познавательных задач, которая включает как стандартные математические задания, так и задачи с профессиональным содержанием, задачи на усвоение общенаучных и частных методов. Формирование способностей использовать различные методы вооружает будущего выпускника университета мощным аппаратом для успешного решения профессиональных проблем [12]. Классификация типов заданий основана на видах формируемой при их решении деятельности, что непосредственно связано с формированием компетенций обучаемого ОК-1, ОК-2, ОПК-3, ОПК-4, ПК-5. Выделяются задачи на усвоение методологических знаний и общих методов познания (системного анализа, математического моделирования, синтеза и др.), математических знаний и умений. Отдельный класс – это задания исследовательского плана, направленные на развитие способностей самостоятельно изучать новый материал, искать решение проблемы. Публичное обсуждение подобных вопросов на семинарах позволяет студентам овладеть навыками работы в коллективе, аргументировать и отстаивать свою точку зрения.

Приведем примеры учебно-познавательных задач (УПЗ) в рамках экспериментальной модели.

Задача 1 (УПЗ). «Задано множество матриц определенного типа. Выделить элементы множества, установить системообразующие связи. Будет ли заданное множество матриц иметь структуру линейного пространства (подпространства)?».  Цель: формирование деятельности системного анализа и компетенций ОК-1, ОПК-3.

Задача 2 (УПЗ). «Задано множество векторов определенного вида. Проверить, что заданное множество векторов имеет структуру линейного подпространства в пространстве арифметических векторов. Выделить базис подпространства». Цель: формирование деятельности системного анализа, математических методов, компетенций ОК-1, ОК-2, ОПК-3.

Задача 3 (УПЗ). «Вычислить смешанное произведение заданных векторов». Цель: формирование математических методов и компетенций ОК-1, ОПК-3.

Задача 4 (УПЗ). «Найти объем пирамиды, если известны координаты вершин».  Цель: формирование математических методов и компетенций ОК-1, ОК-2, ОПК-3.

Задача 5 (УПЗ).  «Построить функцию с заданными свойствами». Цель: формирование деятельности синтеза и компетенций ОК-1, ОК-2, ОПК-3.

Задача 6 (УПЗ). «Описать с помощью математического аппарата системообразующие связи в заданной технической системе (объект-оригинал).  Исследовать полученную математическую модель на основе системного анализа и математических методов. Сформулировать выводы о работе объекта-оригинала». Цель: формирование деятельности математического моделирования, компетенций ОК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-5.

Полноценное формирование компетенций бакалавра и специалиста технического университета обеспечивается путем организации усвоения содержания курса высшей математики в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий [10]. Для каждого типа задач разработаны учебные карты. В отличие от учебных карт, описанных в работе [10], предлагается следующая структура учебной карты: цель как формирование деятельности и компетенций, формулировка задачи, фиксация метода, описание полной и развернутой деятельности решения на основе указанного метода, результат как сформированные компетенции. Так, учебная карта по системному исследованию объекта описывает все действия деятельности системного анализа, при этом формируются методологические и математические знания и умения, компетенции ОК-1, ОПК-3, ОПК-4.  Учебная карта по формированию математического моделирования раскрывает этапы этой сложной деятельности: системный анализ объекта-оригинала, описание системообразующих связей с помощью математического аппарата, системный анализ объекта-модели, перенос результатов с модели на оригинал. Далее каждый этап представляется своим процедурным составом. При этом формируются все ранее выделенные компетенции. Разработаны учебные карты, направленные на формирование математических знаний и умений (проверка аксиом линейного подпространства, нахождение базиса линейного пространства, исследование квадратичной формы на знакоопределенность и др.).

Фонд оценочных средств (ФОС) для проверки степени сформированности компетенций ОК-1, ОК-2, ОПК-3, ОПК-4, ПК-5 включает задания теоретического и практического плана. Приведем примеры.

Задача 1 (ФОС). «Найти координаты проекции точки на заданную плоскость (известны координаты точки и уравнение плоскости в пространстве)». Цель: проверить сформированность математических знаний и умений, компетенции ОК-1.

Задача 2 (ФОС). «Среди нескольких заданных множеств арифметических векторов выделить объекты со структурой линейного подпространства. Найти базис и размерность подпространства, дополнить выделенный базис до базиса всего пространства». Цель: проверить сформированность деятельности системного анализа, математических знаний и умений, компетенций ОК-1, ОПК-3, ОПК-4.

Задача 3 (ФОС). «Задана многоконтурная электрическая схема. Исследовать переходный процесс». Цель: проверить сформированность деятельности системного анализа, математического моделирования, математических умений, компетенций ОК-1, ОК-2, ОПК-3, ОПК-4.

Задача 4 (ФОС). «С помощью рядов Фурье исследовать процесс передачи сигнала. Построить графики частичных сумм ряда Фурье на основе использования программных средств. Подготовить сообщение по теме, выступить с докладом на семинаре». Цель: проверить сформированность компетенций ОК-1, ОК-2, ОПК-3, ОПК-4, ПК-5.

Особое место в ФОС занимают прикладные исследовательские задачи по расчету производительности радиотехнической (электротехнической) системы.  По существу, речь идет об обязательном разделе дипломной работы. При традиционном обучении такие задачи ставится перед студентами на момент подготовки диплома и вызывают значительные сложности. На самом деле, их решение становится возможным уже к концу второго курса. Расчет производительности технической системы строится на основе использования деятельности системного анализа технического объекта, математического моделирования, знаний и умений по математическому анализу и теории вероятностей. К концу четвертого семестра на основе ОК-1, ОК-2, ОПК-3, ОПК-4, ПК-5 и компетенций, сформированных в специальных дисциплинах, становится возможным правильное и аргументированное выполнение такого задания. В работе автора [4] выполнен анализ типичных ошибок студентов по расчету производительности системы и приведен алгоритм исследования информационной системы. В экспериментальной модели на семинарах организована защита подобных заданий, где студенты демонстрируют свои способности отстаивать предложенное решение, оперативно устранять недостатки работы, строить отношения в коллективе.

В представленной модели используется системно-деятельностная технология, проблемное обучение и элементы контекстного обучения. Задействованы такие интерактивные технологии, как «мозговой штурм» и ролевая игра.

Внедрение экспериментальной модели обучения высшей математике осуществляется в Московском технологическом университете. Экспериментальная модель строится в соответствии со стандартным распределением часов по высшей математике на основе учебных планов для выделенных выше направлений подготовки бакалавров и специалистов. Модель не затрагивает уменьшения теоретической части курса высшей математики, не предполагает отказа от доказательств теорем. Усвоение общих и конкретных методов познания в единстве с методологическими, математическими, специальными знаниями при изучении высшей математики, формирование умений применять их в будущей профессиональной деятельности осуществляется посредством эффективной организации обучения и активизации самостоятельной работы студентов. Начиная с первого семестра, формируется необходимый перечень общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций. В результате в курсе высшей математики закладывается ориентировочная основа профессиональной мобильности будущего выпускника технического университета [3], [7].

Список литературы / References

1. Блауберг И.В. Становление и сущность системного подхода / И.В. Блауберг, Э.Г. Юдин. - М.: Наука, 1973. - 270 с.
2. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее преподавании / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Физматлит, 2008. - 434 с.
3. Малыгина О.А. Формирование основ профессиональной мобильности в процессе обучения высшей математике / О.А. Малыгина. - М.: URSS, 2010. - 368 с.
4. Малыгина О.А. Реализация принципа развивающего обучения в курсе высшей математики // Вестник Тамбовского Университета / Сер. Естественные и технические науки, 2007. - т.12. - Вып.4. - с. 483-484.
5. Малыгина О.А. Система принципов обучения для формирования профессиональной мобильности студентов технических направлений подготовки // Среднее профессиональное образование, 2011. - №7. - с.36-39.
6. Малыгина О.А. Совершенствование учебного процесса в высшей школе на основе интеграции технологий обучения // Среднее профессиональное образование, 2011. - №6.- с.51-54.
7. Малыгина О.А.,Руденская И.Н.О формировании ориентировочной основы профессиональной мобильности бакалавров по радиотехническим направлениям подготовки в процессе изучения математического анализа // Письма в Эмиссия.Оффлайн (The Emissia.Offline Letters): электронный научный журнал. - 2018. - № 1 (январь). ART 2566. - Объем 0.5 п.л. URL:http://www.emissia.org/offline/2018/2566.htm .
8. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов / С.А. Розанова. - М.: Физматлит, 2003. - 176 с.
9. Садовничий В.А. Качество образования, эффективность НИОКР и экономический рост: количественный анализ и математическое моделирование / В.А. Садовничий, А.А. Акаев, А.В. Коротаев, С.Ю. Малков. - М.: URSS, 2016. – 352 с.
10. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний / Н.Ф. Талызина. - М.: Издательство московского университета, 1984. - 345 с.
11. Тихомиров В.М. Математика и ее преподавание в школе, вузе и университете // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования. - М.: РУДН, 2008. - с. 94.
12. Формирование системного мышления в обучении / под ред. З.А. Решетовой. - М.: Единство, 2002. - 344 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Blauberg I.V. Stanovleniye i sushchnost' sistemnogo podkhoda [Formation and Essence of System Approach] / I.V. Blauberg, E.G. Yudin. – Moscow: Nauka, 1973. – 270 p. [in Russian]
2. D. Kudryavtsev Mysli o sovremennoy matematike i yeye prepodavanii [Thoughts on Modern Mathematics and Its Teaching] / L.D. Kudryavtsev. – Moscow: Fizmatlit, 2008. – 434 p. [in Russian]
3. Malygina O.A. Formirovaniye osnov professional'noy mobil'nosti v protsesse obucheniya vysshey matematike [Formation of Foundations of Professional Mobility during Process of Higher Mathematics Studing] / O.A. Malygina. – M.: URSS, 2010. – 368 p. [in Russian]
4. Malygina O.A. Realizatsiya printsipa razvivayushchego obucheniya v kurse vysshey matematiki // Vestnik Tambovskogo Universiteta [Implementation of Principle of Developmental Learning during Course of Higher Mathematics] // Bulletin of Tambov University / Ser. Natural and technical sciences, 2007. – Vol.12. – Is.4. – P. 483-484. [in Russian]
5. Malygina O.A. Sistema printsipov obucheniya dlya formirovaniya professional'noy mobil'nosti studentov tekhnicheskikh napravleniy podgotovki [System of Principles of Training for Formation of Professional Mobility of Students in Technical Areas of Training] // Secondary vocational education, 2011. – No.7. – P.36-39. [in Russian]
6. Malygina O.A. Sovershenstvovaniye uchebnogo protsessa v vysshey shkole na osnove integratsii tekhnologiy obucheniya [Perfection of Educational Process in Higher School on Basis of Integration of Technologies of Training] // Average vocational training, 2011. – No.6. – P.51-54. [in Russian]
7. Malygina O.A., Rudenskaya I.N. O formirovanii oriyentirovochnoy osnovy professional'noy mobil'nosti bakalavrov po radiotekhnicheskim napravleniyam podgotovki v protsesse izucheniya matematicheskogo analiza [About Formation of Approximate Basis of Professional Mobility of Bachelors on Radio Engineering Directions of Preparation during Course of Studying of Mathematical Analysis] // Letters to Issision. Offline (The Emissia.Offline Letters): electronic scientific journal. – 2018. – No. 1 (January). ART 2566. - Volume of 0.5 pp. URL: http://www.emissia.org/offline/2018/2566.htm. [in Russian]
8. Rozanova S.A. Matematicheskaya kul'tura studentov tekhnicheskikh universitetov [Mathematical Culture of Students of Technical Universities] / S.А. Rozanova. – Moscow: Fizmatlit, 2003. – 176 p. [in Russian]
9. Sadovnichy V.A. Kachestvo obrazovaniya, effektivnost' NIOKR i ekonomicheskiy rost: kolichestvennyy analiz i matematicheskoye modelirovaniye [Quality of Education, Effectiveness of R&D and Economic Growth: Quantitative Analysis and Mathematical Modeling] // V.A. Sadovnichy, A.A. Akaev, A.V. Korotaev, S.Yu. Malkov. – M.: URSS, 2016. – 352 p. [in Russian]
10. Talyzina N.F. Upravleniye protsessom usvoyeniya znaniy [Management of Learning Process] / N.F. Talyzina. – Moscow: Publishing house of the Moscow University, 1984. – 345 p. [in Russian]
11. Tikhomirov V.М. Matematika i yeye prepodavaniye v shkole, vuze i universitete [Mathematics and Its Teaching in School, and University] // Functional spaces. Differential operators. General topology. Problems of mathematical education. - Moscow: RUDN, 2008. – P. 94. [in Russian]
12. Formirovaniye sistemnogo myshleniya v obuchenii [Formation of system thinking in teaching] / ed. By Z.A. Reshetova. – Moscow: Unity, 2002. – 344 p. [in Russian]