THE MATHEMATICAL EXPECTATION OF A SOLUTION OF THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION WITH UNIFORMLY DISTRIBUTED RANDOM COEFFICIENT

Research article
Issue: № 3 (34), 2015
Published:
2015/04/13
PDF

Боровикова М.М.

Кандидат физико-математических наук,

Военный Учебно-Научный Центр Военно-Воздушных Сил “Военно-Воздушная Академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина” (Воронеж)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМ СЛУЧАЙНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Аннотация

В статье рассматривается начальная задача для дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами. Решение этой задачи является случайным процессом. Получена формула для нахождения его математического ожидания в случае равномерного закона распределения случайного коэффициента.

Ключевые слова: математическое ожидание, уравнение со случайными коэффициентами, равномерное распределение.

Borovikova M.M.

PhD degree in Physics and Mathematics,

Air Force Military Training and Research Center “Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin” (Voronezh)

THE MATHEMATICAL EXPECTATION OF A SOLUTION OF THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION WITH UNIFORMLY DISTRIBUTED RANDOM COEFFICIENT

Abstract

The article considers an initial-value problem for the second-order differential equation with random coefficients. The solution of this problem is a stochastic process. Formula for the mathematical expectation of a solution is obtained for uniformly distributed random coefficient.

Keywords: mathematical expectation, equation with random coefficients, uniform distribution.

Постановка задачи

Рассмотрим начальную задачу для стохастического дифференциального уравнения второго порядка

                                16-05-2018 11-36-12                                     (1)

                                                                16-05-2018 11-37-18                            (2)

                                                                              16-05-2018 11-38-16               (3)

где R – вещественная ось, 16-05-2018 11-39-35 –  случайные величины, 16-05-2018 11-40-31 – случайный процесс. Тогда искомая функция 16-05-2018 11-41-14 также будет являться случайным процессом. Интерес представляет нахождение его статистических характеристик, в частности, математического ожидания.

Математическое ожидание решения будем искать в предположении, что 16-05-2018 11-42-39 независимы с 16-05-2018 11-43-27 и  в том смысле, что  и  16-05-2018 11-43-46, где  – математическое ожидание, вычисленное по функции распределения случайного процесса z(t). Причём возможна зависимость  16-05-2018 11-45-35 , а также  16-05-2018 11-46-10 .

Пусть  16-05-2018 11-46-10  заданы характеристическим функционалом [1]

16-05-2018 11-47-42

Здесь 16-05-2018 11-48-22  принадлежит пространству, сопряжённому к пространству реализаций процесса f(t).

Сведение стохастической задачи к детерминированной

Введём вспомогательный функционал

16-05-2018 11-49-43

Заметим, что 16-05-2018 11-50-49. Построим детерминированную задачу для нахождения y. Для этого умножим обе части равенств (1)-(3) на 16-05-2018 11-51-41 и вычислим среднее значение обеих частей

   16-05-2018 11-52-31  (4)

   16-05-2018 11-53-44   (5)

   16-05-2018 11-54-48   (6)

В терминах функционала y, с учетом независимости  16-05-2018 11-55-47 , соотношения (4), (5), (6) перепишутся в виде

16-05-2018 11-58-57

Так как нас интересует значение16-05-2018 11-59-38 , то, положив 16-05-2018 12-00-27 и для простоты записи обозначив 16-05-2018 12-00-36, приходим к системе

16-05-2018 12-01-32                           (7)

где  16-05-2018 12-02-26 – характеристическая  функция  случайной величины .

Таким образом, задача нахождения математического ожидания решения  исходного дифференциального уравнения со случайными коэффициентами была сведена к задаче  с детерминированными коэффициентами, правда, вместо обыкновенного дифференциального уравнения, возникло уравнение в частных производных. Точное решение задачи (7) выписывается с помощью формулы Даламбера [2] и имеет вид

16-05-2018 12-03-47

Полагая в последнем равенстве V=0, получим

                       16-05-2018 12-04-49(8)

Формула (8) является достаточно общей, так как она применима для любых законов распределения случайных параметров задачи. Более того, рассмотренный метод позволяет получить формулы для моментных функций и более высокого порядка.

Математическое ожидание решения задачи (1)-(3) в случае независимости  16-05-2018 11-46-10 

Если случайная величина ε и случайный процесс f(t) независимы между собой, то 16-05-2018 12-08-57, и формула (8) для вычисления математического ожидания решения задачи (1)–(3) примет вид

16-05-2018 12-10-04

Поменяв порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

                         16-05-2018 12-11-08 (9)

Математическое ожидание решения в случае стационарного случайного процесса f(t)

Пусть случайная величина ε независима со случайным процессом f(t)  и, кроме того,  f(t)– стационарный процесс, то есть 16-05-2018 12-12-51  – постоянная величина.

В формуле (9) вынесем 16-05-2018 12-12-51 за знак интеграла и вычислим внутренний интеграл. Тогда

 16-05-2018 12-14-45(10)

Далее, обозначим через 16-05-2018 12-15-27. Вычислим

16-05-2018 12-16-08

Подставив последние выражения в (10), получим

16-05-2018 12-16-42(11)

Заметим, что хотя для вывода формул для 16-05-2018 12-17-52 и требовалось знание функционала 16-05-2018 12-18-36, он в них не участвует, а в случае независимых  16-05-2018 11-43-27  математическое ожидание решения исходной задачи полностью определяется средними значениями  16-05-2018 12-19-41 и характеристической функцией случайной величины ε.

Математическое ожидание решения в случае равномерного распределения

Пусть случайная величина ε имеет равномерное распределение со средним значением 16-05-2018 12-20-54, тогда характеристическая функция имеет вид 16-05-2018 12-21-31.

Преобразуем

16-05-2018 12-22-59

Вычислим 16-05-2018 12-23-36

Подставляя полученное соотношение в (11), находим

                          16-05-2018 12-24-28 (12)

Итак, математическое ожидание решения задачи (1)-(3) в случае равномерно распределенной случайной величины  вычисляется по формуле (12).

Хотелось бы отметить, что формула (11) позволяет найти математическое ожидание решения исходной задачи для любого распределения случайной величины , если известна ее характеристическая функция.

Литература

  1. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. – М. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. – 316 с.
  2. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 799 с.

References

  1. Zadorozhnij V.G. Metody variacionnogo analiza / V.G. Zadorozhnij. – M. - Izhevsk: NIC "Reguljarnaja i haoticheskaja dinamika", Institut komp'juternyh issledovanij, 2006. – 316 s.
  2. Tihonov A.N. Uravnenija matematicheskoj fiziki / A.N. Tihonov, A.A. Samarskij. – : Izd-vo MGU, 1999. – 799 s.