Toward Robust Stability Margin Evaluation in Continuous and Discrete Systems
Toward Robust Stability Margin Evaluation in Continuous and Discrete Systems
Abstract
The work presents the problem of determining the robust stability margin, i.e. the stability margin in conditions of uncertainty in setting all or part of parameters of continuous and discrete dynamic systems. A procedure for determining the maximum stability margin, based on the introduction of the parameter determining the value of the stability margin into the characteristic equation in explicit form, is suggested. When determining the robust stability of reduced polynomials, the Routh–Hurwitz theorem for continuous dynamical systems and the Korsakov criterion for discrete dynamical systems, as well as the basic statements of the theory of robust stability, which allows to take into account the initial parametric uncertainty, are used. Examples of finding the maximum robust stability margin in concrete continuous dynamical systems with the second and third order characteristic polynomials are presented.
1. Введение
Запасом устойчивости называют количественную характеристику, определяющую степень удаления параметров системы от границы устойчивости . Для нормального функционирования конкретных технических систем необходимость обеспечения достаточного запаса устойчивости является естественной задачей , , . А поскольку точное определение параметров реальной системы часто бывает затруднительно, возникает задача оценивания запасов устойчивости систем с интервальными параметрами (т.е. робастного запаса устойчивости) , . При этом, традиционно при решении задачи определения запасов устойчивости используется критерий Найквиста , .
В настоящей работе рассматривается задача об определении максимального запаса устойчивости в пространстве параметров для непрерывных и дискретных систем с использованием других критериев устойчивости. Пересчет параметра, характеризующего запас устойчивости в динамических системах, в коэффициенты их характеристических уравнений, позволяет использовать известные критерии устойчивости , , , , не только в случае заданного запаса устойчивости, но и распространить их на случай его интервального задания. В качестве примера рассмотрено нахождение максимального робастного запаса устойчивости в непрерывных динамических системах с характеристическими полиномами второго и третьего порядка.
Актуальность указанного подхода связана прежде всего с задачами, где речь идет не только о качественных исследованиях, но и получении некоторых количественных характеристик интервально неопределенных как непрерывных, так и дискретных систем. В частности с задачей получения оценок длительности переходных процессов в интервально неопределенных системах.
2. Запас устойчивости непрерывных систем и метод Рауса-Гурвица
Будем характеризовать запас устойчивости величиной
удовлетворяют условию
коэффициенты которого определяются из тождества
и равны
Известно , что переход корней полинома
при условии, что при
где
где
При такой постановке вопроса
Представим
Такое представление
Здесь черта у
Для оценки величины
а черта у
3. Алгоритм оценивания максимального значения робастного запаса устойчивости и его применение к непрерывным системам с характеристическими полиномами второй и третьей степени
Как следует из приведенных выше рассуждений, при
Предположим, что при
1) Находим аналитически или с помощью известных алгоритмических процедур корни уравнений
2) Образуем последовательность действительных положительных чисел
3) Определяем
4) Строим область робастной устойчивости в плоскости параметров
1. Пусть характеристическое уравнение
После введения величины
Для определения
Из (15) определяем
Предположим, что
Рисунок 1 - Область робастного запаса устойчивости полинома второй степени
В реальной системе характеристический полином имеет вторую степень, скажем, в математической модели автоколебаний в основной стойке шасси самолета при бесконечной жесткости на кручение, когда момент инерции ориентирующей части стойки относительно оси стойки и коэффициент демпфирования колебаний по углу равны нулю .
2. Предположим теперь, что характеристический полином
Такая ситуация имеет место в математической модели автоколебаний в основной стойке шасси самолета в случае бесконечной жесткости на кручение без учета момента инерции ориентирующейся части стойки относительно оси стойки . Полином
где
Уравнения для определения
В безразмерных переменных
где в качестве параметров для выделения области робастной устойчивости выбраны
а если учесть ограничения на параметры, получим
В плоскости выбранных параметров
Рисунок 2 - Область робастного запаса устойчивости полинома третьей степени
4. Некоторые предложения по оцениванию максимального значения робастного запаса устойчивости для дискретных систем
Запас устойчивости дискретных динамических систем может быть охарактеризован параметром
где
При использовании критерия Корсакова как для проверки устойчивости
Проверка условия
Для анализа условия
Процедура определения
При рассмотрении выполнимости условия
после замены
а значит
и условие
т.е. представляет собой уже полином от
И получение достаточных оценок тем сложнее, чем больше
5. Заключение
В работе приведены результаты разработки оригинальной методики определения значений параметров, при которых достигается максимальный запас устойчивости и, следовательно, минимальная длительность переходных процессов с непрерывных и дискретных системах, допускающих построение линеаризованных математических моделей, в условиях начальной неопределенности параметров. Показано, что при введении в характеристическое уравнение параметра, характеризующего запас устойчивости, исходные коэффициенты оказываются в линейных комбинациях в новых пересчитанных коэффициентах. В результате при решении вопроса о том, является ли запас устойчивости робастным, исследование с помощью реберной теоремы в любом случае превратилось бы из необходимого и достаточного в достаточное. Поэтому приобретает смысл использования более простых достаточных оценок для исследования робастной устойчивости. Такого типа оценки и получены в работе.