ON THE ABSOLUTE CONVERGENCE OF SPECTRAL EXPANSIONS IN A TWO-DIMENSIONAL CLOSED REGION FOR THE LAPLACE OPERATOR WITH A DISCONTINUOUS COEFFICIENT AND THE DIRICHLET PROBLEM

Эта работа является продолжением статьи

(1)

k1, k2 – положительные постоянные. Символы C-0 и C+0 означают предельные значения, соответственно, с внутренней и внешней стороны поверхности С по отношению к области .

Классической собственной функцией задачи (1) называется функция u(x) такая, что:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) при некотором удовлетворяет всем условиям задачи (1).

Из работы

В статье

Теорема. Пусть . Тогда ряд Фурье функции  по собственным функциям  задачи (1) сходится к  равномерно в замкнутой области .

В этой работе мы покажем, что эта сходимость будет не только равномерной, но и абсолютной.

Для доказательства этого мы воспользуемся видом и свойствами функции Грина  задачи (1), построенной в работах

(2)

– коэффициент Фурье функции  по системе собственных функции  задачи (1). Кроме того, так же как это делалось в статьях

(3)

Теорема Лионса (об интерполяции).

Пусть ,  два гильбертовых пространства ,  плотно в  и непрерывно в него вложено. Пусть  - другая пара гильбертовых пространств с аналогичными свойствами. Если оператор , то  для .

(В нашем случае  - оператор вложения)

, где

 - произвольный линейный самосопряжённый положительный оператор, действующий в пространстве , с областью определения .

(Одна пара интерполяционных пространств  и , а вторая  и , где , а  множество функций  и таких, что ряд  сходится. Тогда из оценки – эта оценка хорошо известна для обобщенных собственных функций задачи (1), с которыми совпадает наша система , вытекает неравенство (3)). Итак, докажем следующую теорему:

Теорема. Пусть . Тогда ряд Фурье функции  по собственным функциям  задачи (1) сходится к  абсолютно в замкнутой области .

Доказательство.

Используя неравенство Гёльдера, получим:

(4)

Здесь . Достаточно доказать теорему для . Тогда . Первый ряд в (4) сходится в силу оценки (2). Рассмотрим второй ряд. Из работ

.

Последнее неравенство вытекает из оценки (3), если доказано, что функция Грина  задачи (1) при фиксированном  как функция переменной  принадлежит классу  для рассматриваемого . Поэтому для доказательства теоремы осталось доказать это утверждение. Для этого мы воспользуемся видом и свойствами симметричной функции Грина , построенной в работах

,

где  – функция Грина задачи Дирихле в области  для оператора , продолженная нулём на всю область  (то есть: если хотя бы одна точка  или  не принадлежит , то ).  – функция Грина задачи Дирихле в области  для оператора , продолженная нулём на всю область . Если , то

; производные по

; производные по

Тогда, если , то  можно представить в виде:

(5)

где

– функция Грина задачи Дирихле в области  для оператора

есть решение задачи (6) при фиксированном

(6)

В работе

(7)

Функция  в (4)  имеет вид

(8)

где есть решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода

(9)

где .

Для интегрального уравнения (9) справедлива альтернатива Фредгольма, и его решение записывается в виде:

(10)

где .

После подстановки (10) → (8) → (5) получим:

, где

Теперь можно доопределить по непрерывности  и для , полагая  и . Приведённые выше факты о функции  изложены в работах

Докажем, что для фиксированного  функция  как функция переменной  принадлежит классу . Пусть сначала .

Тогда в силу свойств функции  имеем:

. Докажем, что . В силу непрерывности  при  и аддитивности классов  (см.

(12)

где  – некоторое фундаментальное решение оператора Лапласа.  есть решение задачи:

Причём для  справедливы оценки:

(13)

.

(Более точно:  как функция  равномерно относительно  принадлежит некоторому классу Гёльдера в ). Для  справедлива оценка: существует такое , что

(14)

для  известны оценки

(15)

.

Это оценки фундаментальных решений эллиптических операторов с гладкими коэффициентами. Тогда из (12)-(15) будет следовать, что  для любого достаточно малого .

Тогда из теоремы вложения вытекает требуемое включение  для любого достаточно малого .

Для доказательства сделанного предположения о функции Грина  при  осталось рассмотреть второе слагаемое в (11). Функция  как функция переменной  при фиксированном  непрерывна в  в силу оценок (7)-(10). Поэтому для того, чтобы доказать, что  достаточно доказать, что  (аддитивность классов  

(16)

для любого положительного . Константа , вообще говоря, зависит от . Применяя известную теорему о композиции полярных ядер и оценки (9), (16), имеем:

(17)

 – положительная константа, зависящая от ,

 – расстояние от точки  до поверхности ,

.

Фиксируем любое положительное . (Оно определяется из теоремы вложения по числу ). Положим . Тогда

(18)

Конечность последнего интеграла в (18) следует из неравенства Гёльдера, где первый подынтегральный сомножитель берётся с показателем , и известного соотношения  для , доказанного, например, в

Предположение в случае  доказано. Пусть теперь  (если , то ).

Поэтому

(19)

где

(20)

 в силу известных оценок функции Грина эллиптического оператора с гладкими коэффициентами.

 также принадлежит классу , так как при в (20) есть непрерывная функция аргумента , а для  уже установлены выше оценки (16)-(18), показывающие требуемое включение для любого достаточно малого положительного .

Замечание. Число  в теореме отбросить нельзя. Отсутствие разрывов () показывает, что для функций из класса  нельзя гарантировать абсолютной сходимости рассматриваемых спектральных разложений

В этой работе показано, что для оператора Лапласа с разрывным коэффициентом и задачи Дирихле в двумерной замкнутой области для достаточно гладких функций сходимость их спектральных разложений будет не только равномерной, но и абсолютной. Т.е. наличие разрыва у коэффициента не оказывает влияния на абсолютную сходимость спектральных разложений в замкнутой области, содержащей точки разрыва.