ON PRESERVATION OF THE QUADRATIC LYAPUNOV FUNCTION OF A LINEAR DISCRETE SYSTEM UNDER STATIONARY PERTURBATIONS OF THE SYSTEM COEFFICIENTS
ON PRESERVATION OF THE QUADRATIC LYAPUNOV FUNCTION OF A LINEAR DISCRETE SYSTEM UNDER STATIONARY PERTURBATIONS OF THE SYSTEM COEFFICIENTS
Abstract
For a discrete system described by a linear pointwise mapping, sufficient conditions on the smallness of perturbations of the system coefficients are obtained, under which the quadratic Lyapunov function constructed for the original system will be a Lyapunov function for the perturbed system as well. The fact of negativity of the first difference in the power of the system is determined by the fact of negativity of the roots of the auxiliary polynomial, whose coefficients depend on the coefficients of the system. Sufficient conditions for preserving the fact of negativity of the roots of the constructed polynomial at finite perturbations of the system coefficients are obtained. One of the methods for determining the coefficients of the quadratic Lyapunov function possessing the given properties is examined: a Lyapunov function satisfying the restriction on the value of its first difference and convenient for use in evaluating the quantitative characteristics of the system.
1. Введение
Развитие теории дискретных динамических систем в направлении исследования макроструктуры пространства состояний является перспективным как с теоретической, так и с прикладной точек зрения, т.к. такая постановка вопроса оказывается естественной при решении задач различного технического содержания . Для решения задачи исследования макроструктуры пространства состояний дискретных динамических систем имеет смысл использовать прямой метод Ляпунова, распространенный на дискретные системы , и позволяющий оценивать макроструктуру пространства состояний на основе принципа достаточности .
Важное место в прямом методе Ляпунова занимает задача о построении в явном виде функции Ляпунова для тех или иных классов дискретных систем. Для исследования поведения систем вблизи их равновесных состояний, а также решения задач прикладного характера таких, как построение областей притяжения, определение быстродействия и т. д. могут быть использованы функции Ляпунова квадратичного вида , . При этом функции Ляпунова могут строиться в соответствии со специальными требованиями, упрощающими решение рассматриваемой задачи. Например, при решении прикладных задач возникает потребность в ограничениях на первую разность квадратичной функции Ляпунова
В данной работе изучается вопрос о том, при каких условиях квадратичная функция Ляпунова, построенная для дискретной динамической системы, описываемой линейным точечным отображением, будет оставаться функцией Ляпунова при изменении коэффициентов системы. (Подобная задача для непрерывной линейной динамической системы рассмотрена в ).
2. Квадратичная функция Ляпунова, удовлетворяющая заданному ограничению для линейного точечного отображения
Для фиксированного
и квадратичную форму с постоянными коэффициентами
Элементы постоянных
Далее считаем, что собственные значения
Теорема 1. Пусть квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова дискретной системы (1) и на заданной поверхности уровня
Замечание 1. В дальнейшем матрицу
в которых учтена симметричность матрицы
Доказательство теоремы, приведённое в работе , основывается на решении соответствующей экстремальной задачи. Дадим другое её доказательство.
Доказательство. Так как (2) – положительно определённая квадратичнаяформа, то корректно задан регулярный пучок
(все корни этого уравнения вещественные ). Тогда, согласно , имеет место равенство
Так как отношение указанных в (7) квадратичных форм на любой прямой, проходящей через начало координат, принимает, за исключением точки
Из равенств (7) и (8) заключаем, что
В случае 1) обозначим через
В случае 2) собственному значению
Выберем тот вектор
Теорема доказана.
Заметим, что уравнение (6) может быть записано в виде
(причем
Предположим, что построена квадратичная форма (2), которая является функцией Ляпунова для отображения (1). Пусть коэффициенты (1) изменились, т.е. функции последования отображения приняли вид
где
Поэтому величины
уравнение (6) примет вид
а вместо многочлена (10) получим многочлен
где
здесь
где
Задача, рассматриваемая в работе, состоит в нахождении условий, которым должны удовлетворять возмущения, чтобы квадратичная функция Ляпунова (2), построенная для дискретной (1), оставалась бы функцией Ляпунова и для возмущённой дискретной системы (12). Уточним постановку задачи.
2.1. Об условиях, дающих решение задачи
Функция Ляпунова (2) построенная для системы (1), будет оставаться функцией Ляпунова и для системы (12), если и только если все собственные значения матрицы
Теорема 2. Квадратичная форма (2), являющаяся функцией Ляпунова для дискретной системы (1), будет оставаться функцией Ляпунова и для возмущенной системы (12), если и только если для матрицы
Таким образом, чтобы проверить, будет ли квадратичная форма (2), являющаяся функцией Ляпунова дискретной системы (1), также и функцией Ляпунова возмущенной системы (12), нужно в дополнение к найденным положительным коэффициентам
параметр
Обозначим через
Лемма 1. Если многочлен
Заметим, что матрица
Лемма 2. Если матрица
где
Из леммы 2 очевидно вытекает
Лемма 3. Если матрица
2.2. Примеры построения в двух частных случаях квадратичной функции Ляпунова с заданным максимумом на её поверхности уровня первой разности
Пусть квадратичная функция Ляпунова для системы (1) строится в соответствии с методикой работы , основанной на переходе к каноническим координатам.
1. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения дискретной системы (1) вещественны и различны; без нарушения общности считаем, что
(У матрицы
Таким образом, не ограничивая общности, можно предполагать, что система (1) имеет канонический вид (21). Тогда равенства (5) примут вид
а уравнение (6) запишется следующим образом:
Построим для системы (1) квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую равенству
Квадратичную функцию Ляпунова с
где
а
То есть матрица
Несложно убедиться, что при условии
2. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) различны, причём среди корней с наибольшей вещественной частью имеются комплексно-сопряжённые между собой.
Если
а
В самом деле, пусть корни характеристического уравнения
При этом квадратичные формы (2) и (3) перейдут соответственно в квадратичные формы
Таким образом, не ограничивая общности, можно предполагать, что система (1) имеет канонический вид (26).
Нетрудно убедиться, что корнями уравнения (6) являются:
Рассмотрим теперь случай, когда среди корней
Если искать квадратичную функцию Ляпунова для канонической системы в виде можно искать в виде (23), где
Случай, когда среди корней характеристического уравнения имеется несколько пар комплексно-сопряженных корней, рассматривается аналогично.
Таким образом, если наибольшему значению действительных частей корней характеристического уравнения соответствует пара комплексно-сопряженных корней, корнями уравнения (6) являются:
Переходя обратно от канонических переменных к исходным переменным, мы получим квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую заданным ограничениям.
3. Заключение
Представленная работа посвящена вопросу о сохранении квадратичной функции Ляпунова дискретной системы, описываемой линейным точечным отображением, при изменении коэффициентов системы. Получены достаточные условия ан величину возмущений коэффициентов, при которых функция Ляпунова исходной системы останется функцией Ляпунова системы возмущенной. Результаты, полученные в работе, являются продолжением исследований работы .