PONTRYAGIN’S MAXIMUM PRINCIPLE FOR A MIXED-CONSTRAINED OPTIMAL CONTROL PROBLEM GOVERNED BY THE HEAT EQUATION

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.128.79
Issue: № 2 (128), 2023
Suggested:
12.01.2023
Accepted:
14.02.2023
Published:
17.02.2023
1214
8
XML
PDF

Abstract

The article investigates the problem of optimal control of a system of partial differential equations of second-order parabolic type in the case of mixed constraints. For this problem, a necessary optimality condition is formulated in the form of the Pontryagin’s maximum principle. This result can be useful both for organizing a subsequent computational procedure such as the method of successive approximations, and for a qualitative analysis of the optimization problem, which may not lead to a final answer, but establishes important properties of the solution, that is, the optimal process. As an example of the application of the maximum principle, the problem of optimal control of the heat equation is considered. In both problems, the controlled system with distributed parameters is singular according to Zh.L. Lyons. In the case of a singular system, the application of the classical theory of optimal control is either difficult or impossible. The presence of mixed constraints in the formulation of the problems under consideration significantly complicates the process of finding the optimal process.

1. Введение

Принцип максимума

в математической теории управления, сформулированный и доказанный Л.С. Понтрягиным и его сотрудниками В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко для задач оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами, то есть системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одним из самых известных и цитируемых результатов в современной математике. Открытие принципа максимума произошло благодаря прикладным задачам, оказавшимся полностью недоступными для решения методами классического вариационного исчисления. Непригодность вариационного исчисления в данной ситуации объясняется тем, что подавляющее большинство прикладных технических задач описывались дифференциальными уравнениями, линейными относительно управляющих параметров. Таким образом, принцип максимума Понтрягина связал классическое вариационное исчисление с современными прикладными исследованиями задач оптимизации. Особое место здесь занимают задачи с распределенными параметрами, возникающие в математической физике.

Благодаря прикладному и общенаучному значению перехода теории оптимального управления от приложений в задачах классической механики к приложениям в гидродинамике, газодинамике и обширном поле других физических исследований, вскоре после основополагающей публикации принципа максимума Понтрягина

этот результат был распространен на различные прикладные задачи оптимального управления для систем с распределенными параметрами. В данной работе будут рассмотрены именно такие задачи. Предполагается, что поведение объекта управления описывается дифференциальными уравнениями параболического типа
. Исследуются задачи оптимального управления при наличии смешанных ограничений, которые существенно усложняют поиск оптимального процесса. Задачи оптимального управления уравнениями параболического типа при наличии ограничений на фазовую и управляющую переменные вызывают повышенный интерес в настоящее время. В подтверждение этого факта отметим следующие публикации в ведущих международных математических журналах
,
,
,
. В частности, в
рассматривалась задача оптимального управления уравнением теплопроводности в случае смешанных ограничений, но принцип максимума Понтрягина был установлен в предположении, что управляющая переменная удовлетворяет условию Слейтера. Одним из преимуществ данной работы является то, что никаких дополнительных трудно проверяемых предположений о фазовых и управляющих переменных для обоснования принципа максимума Понтрягина здесь не используется.

2. Задача оптимального управления системой уравнений параболического типа. Случай смешанных ограничений

Пусть img – открытое и ограниченное подмножество img с img- гладкой границей img – непустое множество и img, img, img. Рассмотрим следующую систему управления:

img
(1)

Здесь img - состояние, img - управление и img – параболический дифференциальный оператор второго порядка: img, где img, img, img. Коэффициенты img – измеримые функции

с конечными нормами img, где img, а img есть некоторое заданное число, удовлетворяющее условию

img
(2)

В целях упрощения формулировки предположений считаем, что img. Функции img также измеримы и img для img и для почти всех img, img, при некоторых img. Предположим также, что заданы функции img, img, img и img, img. Обозначим

img
(3)

где img. Рассмотрим задачу

img
(4)

на множестве процессов img в системе (1), удовлетворяющих ограничениям

img
(5)
img
(6)

для почти всех img. В (1) img - заданная непрерывная функция, обращающаяся в нуль на границе области img и удовлетворяющая условию Гельдера:

img
(7)

Показатель img взят из теоремы 10.1

. Поясним это утверждение. Символом img обозначим банахово пространство непрерывных функций img, обращающихся в нуль на боковой поверхности img цилиндра img и имеющих конечную норму

img
(8)

Здесь

img
(9)
img
(10)

Положим img. Здесь img - гильбертово пространство со скалярным произведением, определенное в

. Согласно теореме 10.1
существует такое число img, что для любой удовлетворяющей (7) функции img и любых img, img, img начально-краевая задача

img
(11)

имеет, причем единственное, решение img.

Допустимыми считаем управления img. Таким образом, задача состоит в минимизации функционала img на множестве img и справедливо (1), (5) и (6)}. При этом в (1) все производные понимаем как обобщенные

. Функционал img, а также функционалы img из (5) определены согласно (3). В силу стандартных предположений о дифференцируемости и измеримости функций img, перечисленных в
, все интегралы в (3) сходятся.

Все сделанные здесь предположения, однако, не гарантируют, что для заданного управления img, где img для почти всех img, нелинейная начально-краевая задача из (1) разрешима относительно img в цилиндре img. Это означает, что рассматриваемая управляемая система, вообще говоря, сингулярная по Лионсу

. Поясним, что управляемая система называется сингулярной по Ж.Л. Лионсу, если некоторым управлениям не соответствует никакое состояние, либо напротив, таких состояний много, в том числе бесконечно много, либо состояние одно, но неустойчивое, то есть малое возмущение управления вызывает немалое возмущение состояния. Эффект сингулярности не является надуманным. Как показано в
существует много имеющих прикладное значение сингулярных задач оптимального управления.

Обозначим через img показатель, сопряженный показателю img из (2), то есть img. Пусть заданы функции img, ⁣img и множители Лагранжа img. Обозначим символом * транспонирование и введем функцию Гамильтона img, где img и img – функции из (1), img – функции из (3).

Теорема 1

.

Пусть img – оптимальный процесс в задаче (1) – (6). Тогда существуют функции img, ⁣img, числа img и конечная регулярная борелевская мера img

, где img, такие что выполнены следующие соотношения:

img
(12)

для почти всех img, где img,

img
(13)

для почти всех img и всех img,

img
(14)
img
(15)

Доказательство Теоремы 1 в полном объёме приведено в работе

. Теперь установим с ее помощью необходимое условие оптимальности в конкретной задаче оптимального управления.

3. Задача оптимального управления уравнением теплопроводности. Случай смешанных ограничений

Важное место в теории уравнений в частных производных и ее приложениях занимает уравнение теплопроводности

:

img
(16)

Уравнение теплопроводности встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и в теории ценообразования на производные финансовые инструменты. Оно является наиболее простым представителем класса параболических уравнений. Уравнение теплопроводности было выведено и впервые исследовано в 1822 году в знаменитой работе Ж. Фурье «Аналитическая теория тепла», которая сыграла важную роль в развитии методов математической физики.

Пусть img – открытое и ограниченное подмножество img с img- гладкой границей img – непустое множество и img. Рассмотрим следующую систему управления:

img
(17)

Здесь img - состояние, img - управление и определим функционал

img
(18)

Рассмотрим задачу

img
(19)

на множестве процессов img в системе (17), удовлетворяющих ограничениям

img
(20)

для почти всех img. В (17) img - заданная непрерывная функция, обращающаяся в нуль на границе области img и удовлетворяющая условию Гельдера (7):

img

Напомним, что показатель img взят из теоремы 10.1

. Очевидно, что при сделанных предположениях задача оптимального управления (17) – (20) представляет собой частный случай задачи (1) – (6) и поэтому для нее справедлива Теорема 1
. При этом отметим, что задача минимизации функционала (18) имеет вполне содержательный технический смысл. Первое уравнение в системе (17) есть управляемое уравнение теплопроводности и поэтому задачу (17) – (20) можно переформулировать следующим образом – необходимо найти такой закон оптимального управления при заданных смешанных ограничениях (20), чтобы температура в области img на промежутке времени img была как можно дальше от своих экстремальных значений. Иначе говоря, нужно подобрать управление img таким образом, чтобы отклонение температуры от нулевого значения во всех точках области img было бы минимально возможным на протяжении всего временного интервала img.

Применим теорему 1

к задаче (17) – (20). Функция Гамильтона примет следующий вид img, где img и img. Соотношения (13) и (15) останутся без изменений, а соотношение (14) исчезнет. Таким образом, в условиях задачи (17) – (20) теорему 1
можно переформулировать следующим образом:

Теорема 2.

Пусть img - оптимальный процесс в задаче (17) – (20). Тогда существует такая функция img, что

img
(21)

для почти всех img, где img, img.

4. Заключение

В статье рассмотрены задачи оптимального управления системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа второго порядка и уравнением теплопроводности. В постановках обеих задач присутствуют смешанные ограничения. Исследованы сингулярные по Ж.Л. Лионсу системы с распределенными параметрами. В обоих случаях установлены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Article metrics

Views:1214
Downloads:8
Views
Total:
Views:1214